基于内插外推的随机频率步进信号旁瓣抑制

刘俊豪， 付朝伟

（上海无线电设备研究所，上海200090）

0 引言

频率步进（Stepped Frequency，SF）信号具有瞬时窄带和合成宽带的优点，因此在高分辨雷达 中 广 泛 应 用［1］。随 机 频 率 步 进（Random Stepped Frequency，RSF）信号兼具频率步进信号优点的同时［2］，具有理想的“图钉形”模糊函数，且具有优良的低截获概率、电磁兼容性以及抗射频干扰等特性。同时，RSF 信号易于工程实现，能与普通雷达信号体制兼容［3］，已受到雷达领域的广泛关注。

但是，RSF信号的随机性导致合成高分辨距离（High Resolution Range，HRR）图像具有较高的随机调制噪声。同时，在有些应用中，如频带断续［4-6］、阻塞式干扰或波形周期受限的宽带信号等情况［7］，由于其频带不连续的影响，导致距离旁瓣电平进一步抬高，容易引起弱目标淹没在强目标旁瓣中，或多目标旁瓣叠加形成虚假目标等现象。

目前，对于RSF信号的旁瓣抑制，文献［5，6］从信号设计的角度，通过跳频编码的设计抑制匹配滤波后的旁瓣，但在频带缺失时该方法的旁瓣抑制性能有限。文献［8，9］采用CLEAN 算法逐次去除强目标旁瓣对其他目标的影响，得到旁瓣抑制效果，但该方法适用于距离单元相互独立的情况，因此在高分辨雷达应用中受到限制。文献［10］通过设计失配滤波器实现距离旁瓣抑制，但存在SNR 损失，并且当处理窗边缘处存在目标时，边缘效应会严重影响处理窗内的旁瓣抑制效果。

内 插 外 推 法（Interpolation and Extrapolation，IE）由Sacchi和Ulrych等人提出，用于提高谱估计的精度［11］。

本文在IE算法原理的基础上，由随机跳频编码设计相关矩阵，利用柯西-高斯模型先验信息的贝叶斯准则进行最大后验（Maximum a Posterior，MAP）概率函数的最小化，从而得到具有内插外推的高分辨离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）矩阵，并通过迭代算法实现，最后仿真分析验证了其旁瓣抑制性能和参数估计精度。

1 信号模型

假设RSF信号一个波形周期由M 个脉冲组成，每个脉冲的步进量从频率集｛0，Δf，…，（N-1）Δf｝（N ＞M）中随机抽取，即第m（m ＝0，1，…，M-1）个脉冲频率为Fm＝fc+fm，其中fc为载频，fm＝cmΔf，cm∈｛0，1，…，N-1｝为频率跳变编码，则一个波形周期发射信号可以表示为

式中：Tp为脉冲宽度；Tr为脉冲重复间隔（Pulse Repetition Interval，PRI）；rect（·）为 矩 形 窗函数。

由于fm随机变化，如图1所示，因此RSF信号具有良好的低截获概率和抗射频干扰特性。

图1 RSF信号频率步进示意图

设原始距离分辨单元（即脉宽Tp对应的距离）内有K 个目标，则对RSF回波信号在每个子脉冲上进行一次采样，得到对目标距离像的频域非均匀采样，其中第m 个采样点表示为

式中：c为光速；Rk和γk分别对应第k 个目标的距离和幅度。

因此，一个波形周期采样序列向量可表示为

一个波形周期采样序列匹配接收后的合成距离像记为x∈CN×1，其中CN×1为N×1维的复数集合，并受到方差为σ的高斯白噪声n的影响，即n～N（0，σIM），其中IM为M 维单位矩阵，则该过程表示为

式中：相关DFT 矩阵A ∈CM×N表示为

式中：Δr为距离分辨率

其中：

对于式（4），需要从采样序列s中恢复出距离像x，其最小二乘解为

式中：（·）H表示共轭转置。

式（6）又称为相关处理（Coherent Process-ing，CP）方法，由于频域采样序列s频点缺失，因此恢复出的距离像旁瓣较高。

同时，由于DFT 矩阵A 的秩rand（A）＝M ＜N，因此不能得到稳定的解。

下面通过贝叶斯准则，利用距离像的频谱特性等先验信息，对缺失的频点通过内插外推的迭代过程得到高分辨距离像。

2 内插外推算法原理

对于式（4）表示的线性欠定方程，存在多个解，为求取其唯一解，构造正则化目标函数为

式中：正则化矩阵Φ（x）对解的特征进行约束；‖·‖2表示2范数。

对于n～CN（0，σ2nIM）的复高斯白噪声，采样序列的条件概率密度分布函数为

如果x 的先验概率密度函数与参量σx有关，即表示为p（x｜σx），则似然函数表示为

因此，对于给定的σx和σn，当p（x｜s，σx，σn）最大时，得到MAP的估计值。

假设复变量xn服从柯西分布，即表示为

式中：σx为尺度参数。

因此，柯西分布的正则化矩阵Φ（x）为

故正则化目标函数式（7）可表示为

式（12）的解为

式中：λ＝σ2n／σ2x；Q ∈CN×N为对角矩阵，对角线上元素为

3 IE算法实现过程

式（13）表示的解与最小二乘解类似，但是对角矩阵Q 是非线性的，并且与xn有关，因此需要构造一种迭代的方法来求解x。

利用恒等式

得到式（13）表示的最优解还可表示为

令b＝（λIN+AQ AH）-1s，迭代过程数学形式为

因此，根据式（17）～式（18）得到内插外推法的迭代过程。

步骤1：

a）根据距离分辨率、距离范围等参数构造相关矩阵A；

b）初始化x（0）＝AHs，其中x（0）即为匹配接收结果；

c）由初始解x（0）得到矩阵Q（0）；带入式（17）和式（18）得到x（1），此时k＝1。

步骤2：由解x（k）得到矩阵Q（k）；k＝k+1；由式（17）～式（18）得到x（k+1）。

步骤3：判断迭代终止，如果满足式（19）则终止迭代，否则转到步骤2。

式中：ε为接近于0的常数。一般迭代次数在10次以内即可满足要求。

4 仿真与分析

仿真参数设置：

a）载频fc＝10GHz；

b）脉冲宽度Tp＝0.1μs；

c）脉冲重复间隔Tr＝2μs；

d）最小频率步进量Δf＝5 MHz；

e）可用频点数N＝512；

f）频率编码在0～511 内随机抽取M ＝64点，并且仿真过程中加入SNR 为20dB的高斯白噪声。

RSF信号合成成像过程中，通过少的频点合成全频带对应的高分辨距离像。为了验证本文IE算法对旁瓣的抑制性能，仿真过程中目标参数设置分两种情况：

一是检测窗内单个目标，距离为100m 且目标幅度为1；

二是检测窗内存在多个强弱目标，且其距离分别为100，101，102，110，115 m，目标幅度分别为1，1，0.3，0.3，1。

常规相关处理（CP）方法和本文IE 旁瓣抑制算法仿真结果，如图2所示。其中，当处理窗内只有一个目标时，如图2（a）所示，CP结果存在较高旁瓣基底，且主旁瓣电平（Peak Sidelobe Level，PSL）为10dB；而IE处理对缺失的频点进行内插外推并进行距离合成，其主旁瓣比明显提高，图中可以看出进行旁瓣抑制的IE 算法比CP 方法的旁瓣电平降低近30dB。

图2 基于IE的RSF信号旁瓣抑制仿真结果

当检测窗内存在多个目标时，CP处理结果和IE旁瓣抑制结果如图2（b）所示，由于多个目标的共同作用，导致相关处理结果旁瓣电平提高，此时强目标的PSL为5dB，使得弱目标在CP处理后较难识别。

IE处理结果虽然旁瓣电平有所提高，但旁瓣电平在-30dB附近，5个目标在处理窗内能够清晰辨别。

对于单目标情况，加入不同SNR 的高斯白噪声，进行200次Monte-Carlo实验得到相关处理方法和IE旁瓣抑制方法距离像恢复重建的均方误差曲线，如图3 所示，图中同时给出了不同SNR 对应的克拉美-罗下限（Cramer-Rao Lower Bound，CRLB）。

图3 距离像重建的均方误差曲线

图中可以看出，IE 方法的估计精度远优于CP方法，且IE 旁瓣抑制后的估计精度逼近CRLB且一致性较好。

5 总结

本文提出采用内插外推算法进行随机频率步进雷达信号旁瓣抑制，利用柯西-高斯模型的先验信息得到具有内插外推性质的DFT 矩阵，从而得到RSF信号在缺失频点情况下高分辨距离像的恢复。

理论分析和数值仿真表明，所采用的方法能够进行有效的RSF信号距离旁瓣抑制，并且参数估计精度接近CRLB。

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