带干扰的双广义泊松风险模型

补爱军

(怀化学院 数学系，湖南 怀化 418008)

带干扰的双广义泊松风险模型

补爱军

(怀化学院 数学系，湖南 怀化 418008)

广义齐次泊松过程； 干扰； 破产概率

1 引言

2 模型的建立

(2-1)

称(2-1)式中所定义的盈余过程为带干扰的双广义泊松风险模型.

其直观意义如下：

保险公司的初始准备金为u，u≥0，u为常数.在某一时刻保险公司收到的保单保费可能不止一个，且每张保单的保费独立同分布.在某一时刻，要求索赔的人数可有不止一个，但索赔额独立同分布，W(t)为随机干扰.

令T=inf{t|R(t)<0|R(0)=u} 表示破产时刻；

Ψ(u)=P{R(t)<0,∃t>0} 表示最终破产概率；

Φ(u)=1-Ψ(u) 表示生存概率；

从而

带干扰的双广义泊松风险模型(2-1)可转化为模型：

3 主要结果

定理3.1 盈余过程{S(t);t≥0}具有：

(1)平稳独立增量；

(2)ES(t)=λ1β(1)t-λβαt.

证明 (1)由于泊松过程和布朗运动过程具有齐次独立增量性，且它们之间相互独立，故结论成立.

=λ1β(1)t-λβαt

定义相关安全负荷为：

定理3.2 盈余过程{S(t);t≥0}，存在函数g(r),使得E[e-rS(t)]=etg(r).

由于

其中Mm1(t)(t),MX(1)(t),MZ(t)分别表示m1(t),X(1),Zi的矩母函数.

得E[e-rS(t)]=etg(r).

定理3.3 方程g(r)=0在r>0有唯一正解R,称之为调节系数.

证明 显然g(0)=0

则g′(0)=-λ1β(1)+λαβ<0

从而对充分小的Δr∈(0,s)，有g(Δr)<0

又当r→∞时,g(r)→∞,故,必存在R>0,使得g(r)=0

又g″(r)=λ1M″X(1)(-r)+λM″Z(r)+σ2>0,知g(r)为下凸函数,有

故方程g(r)=0在r>0有唯一正解.

定理3.4 盈余过程{S(t);t≥0}，有E{exp[-R(S(t)-S(S(u)))]}=1.0≤u

证明 由定理3.3知

定理3.5 {Mu(t),u≥0}一FS鞅.

证明 (1)Mu是可测的；

因此结论成立.

证明 由于T为破产时刻，对于固定的t0，T∧t0为有界停时.

故e-Ru=Mu(0)=E[Mu(t0∧T)]

=E[e-R·R(T)|T

(3-2)

令t0→∞,运用单调收敛原理和控制收敛定理,得

利用上述方法，同理可得以下结果：

定理3.4 在带干扰的双广义泊松风险模型{R(t),t≥0}下，最终破产概率满足不等式：

Ψ(u)≤e-Ru

[1]Hans.U.Gerber.数学风险论导引(成世学，严颖)[M].北京：世界图书出版公司，1997：129-171.

[2]补爱军.保险费收取为泊松过程下的广义复合泊松风险模型[J].数学理论与应用，2005,25(4)：55-57.

[3]补爱军.双广义泊松风险模型[J].怀化学院学报，2008，27(2)：19-22.

[4]戚懿.广义复合Poisson模型下的破产概率[J].应用概率统计，1999(2):141-146.

[5]GrandllJ.AspectofRiskTheory[M].NewYork:Spring-verlag，1999.

Generalized Double Risk Model with Interference Item

BU Ai-jun

(DepartmentofMathematics,HuaihuaUniversity,Huaihua,Hunan418008)

The classical risk model assumes that the insurance company receives premium at the rate of time constant in per unit time.is a compound Poisson Process in surplus process.This article studies a risk model with the interference item in which both the premium arrival process and the claim counting processes are the generalized homogeneous Poisson processes and meanwhile random disturbance items are added in the model.By the method of Martingale,it puts forward the Lundberg inequality and the formula on the ruin probability based on the model.

the generalized homogeneous Poisson processes; interference; ruin probability

2015-04-01

湖南省教育厅资助项目“带干扰的广义复合泊松风险模型研究”(08C667).

补爱军，1970年生，男，湖南芷江人，副教授，研究方向：概率论与数理统计.

O

A

1671-9743(2015)5-0012-03