CDC-代数上中心化子的刻画

马 飞，张建华，尹琳娟

MA Fei1,ZHANG Jianhua2,YIN Linjuan1

1.咸阳师范学院 数学与信息科学学院，陕西 咸阳712000

2.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安710062

1.College of Mathematics and Information Science,Xianyang Normal University,Xianyang,Shaanxi 712000,China

2.College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

1 引言

设A是一个环或代数，如果对任意的a,b∈A，aAb={0}蕴涵a=0 或b=0，那么称A是素的；如果aAa={0}蕴涵a=0，那么称A是半素的。如果可加映射φ:A→A满足对任意的a,b∈A有φ(ab)=φ(a)b(φ(ab)=aφ(b)),那么称φ是一个左（右）中心化子；如果有φ(a2)=φ(a)a(φ(a2)=aφ(a))成立，那么称φ是一个左（右）Jordan 中心化子。如果φ既是左中心化子又是右中心化子，那么称φ是中心化子。与中心化子密切相关的一类重要映射是中心化映射：若映射φ:A→A满足对任意的a∈A，有φ(a)a-aφ(a)∈Z(A)（Z(A)为A的中心），则称映射φ是中心化的；特别的，若φ(a)a=aφ(a)，则称映射φ是可交换的。

关于中心化子的研究一直深受研究人员的关注。如Beidar[1]证明了若半素环R上的映射φ既是左Jordan中心化子，又是右Jordan 中心化子，则存在环R的扩展中心中的元素λ，使得φ(a)=λa对任意的a∈R都成立；Vukman[2]对2-非扰自由半素环R上的可加映射φ证明了，如果对任意的a∈R，有2φ(a2)=φ(a)a+aφ(a)，那么φ是中心化子；Zalar[3]证明2-非挠的半素环上的任意的左（右）Jordan 中心化子是左（右）中心化子；Benkovič和Eremita[4]证明2-非挠的素环上的可加映射φ如果满足对任意的a∈R,n≥2 都有φ(an)=φ(a)an-1，那么φ是左 中 心 化 子；Vukman[5]推 广Benkovič 和Eremita 的 结论，证明在标准算子代数A上，若可加映射φ满足对任意的a∈A，有φ(am+n+1)=amφ(a)an（其中m、n为正整数），则存在数域F中的常数λ，使得对任意的a∈A,有φ(a)=λa。杨[6]将Vukman 的结果推广到了套代数上，证明了在套代数上的可加映射φ若满足(m+n)φ(ar+1)=mφ(a)ar+narφ(a)（也 称 为 广 义Jordan 中 心 化 子）或φ(am+n+1)=amφ(a)an,则存在数域F中的常数λ,使得对任意的a∈A,有φ(a)=λa。文献[7]证明：设T是一个三角代数，如果一个可加映射φ:T→T满足，对任意的a∈T,有(m+n)φ(ar+1)-mφ(a)ar-narφ(a)∈Z(T)或φ(am+n+1)-amφ(a)an∈Z(T) 成 立（ 其 中m,n,r为 正 整数），那么存在T的中心中的元素λ∈Z(T)，使得对任意的a∈T，有φ(a)=λa。类似结果可见文[8-10]。

设H是一个复可分的Hilbert 空间，L是H上的子空间格。其子空间格代数为AlgL={T∈B(H):T(l)⊆L,∀l∈L}。如果一个子空间格L中的任意两个投影是可交换的，则称L是交换子空间格，简称CSL，相应的称AlgL为CSL 代数。一个全序子空间格N称为套，相应的代数AlgN称为套代数。若∀0 ≠e∈L,有e= ∨{l∈L:l⊄N-},则称CSL 是完全分配格，其中N-= ∨{P∈L:N⊄P}，相应的称完全分配格的CSL 代数为CDC-代数。本文主要讨论具有完全分配交换子空间格的代数，关于完全分配格代数的标准定义见文献[11-12]。显然，套是完全分配的交换子空间格，也是其最重要的模型。

由文献[13]可知，CDC-代数是由其包含的秩一算子弱*闭生成的算子代数，这个结果对研究CDC-代数具有重要的意义；文献[14-15]分别研究了CDC-代数上的代数同构、线性导子及线性Lie 导子。在CDC-代数AlgL中，记U(L)={e∈L:e≠0,e-≠H}, 称U(L) 中 的e,e′是连通的，如果存在e1,e2,…,en∈U(L),使得ei与ei+1可比，e0=e，en+1=e′(i=0,1,…,n)。设C⊆U(L),如果C中任意两个元素是连通的，并且C中的任何元素与U(L)C中的元素都不连通，那么称C是U(L)的一个连通分支。设L是复可分的Hilbert 空间H上的一个完全分配的交换子空间格，由文献[16]可知，AlgL是不可约的，当且仅当其交换子是平凡的，即其一次换位是FI，也等价于L∩L⊥={0,I},其中L⊥={e⊥:e∈L}。显然，套代数是一个不可约的CDC-代数。受中心化子和中心化映射及上述结论的启发，本文主要证明：CDC-代数AlgL上的可加映射φ,如果满足对任意的正整数m,n≥1 和a∈AlgL，有φ(am+n+1)=amφ(a)an，那么存在λ∈Z(AlgL)，使得对任意的a∈AlgL,有φ(a)=λa（见定理2.1）。

2 主要结果及证明

本文的主要结论如下：

定理2.1设AlgL是Hilbert空间H上的CDC-代数，φ:AlgL→AlgL是一可加映射。若存在正整数m,n≥1,使得对于任意a∈AlgL,有：

则存在Z(AlgL) 中的常数λ，使得对任意的a∈AlgL，有φ(a)=λa。

为了证明这个结论，首先考虑在不可约CDC-代数上的情形。在不可约CDC-代数上，文献[14]证明了下面的结论。

引理2.1[14]设AlgL是Hilbert 空间H上的不可约CDC-代数，则存在一个非平凡投影e∈L，使得e(AlgL)e⊥是忠实的AlgL-双边模。这里忠实的AlgL-双边模指的是对于任意的a∈AlgL，若ae(AlgL)e⊥={0}，则有ae=0；若e(AlgL)e⊥a={0}，则有e⊥a=0。

为了证明定理2.2，需要证明下面的结论：

引理2.2设AlgL是Hilbert 空间H上的不可约CDC-代数，φ:AlgL→AlgL是一可加映射。若存在正整数m,n≥1,使得对于任意a∈AlgL,有：

则存在数域F中的常数λ,使得对任意的a∈AlgL,有φ(a)=λa。

证明若L={0,H},即L只有平凡投影，则AlgL=B(H是素的，则由文献[10]的主要结论可知，存在数域F中的常数λ,使得对任意的A∈AlgL,有φ(a)=λa。

下面假设L是非平凡的。由引理2.1 可知，存在非平凡投影e∈L,使得e(AlgL)e⊥是忠实的AlgL-双边模。令e1=e,e2=I-e，则e1,e2∈AlgL且均为投影。则对于任意的a∈AlgL可分解为：

a=e1ae1+e1ae2+e2ae2

因而可将AlgL代数分解为：

AlgL=A11⊕A12⊕A22

其中Aij=ei(AlgL)ej。

在式（2）中用a+b代替a可得：

(m+n)φ(ab+ba)=mφ(a)b+naφ(b)+

特别的，在式（3）中令b=I，则有：

下面分三个步骤来完成本引理的证明。

结论1对于任意aij,bij∈Aij，有φ(Aij)⊆Aij(1 ≤i≤j≤2)。

由φ满足式（2）可得：

(m+n)φ(ei)=mφ(ei)ei+neiφ(ei)

上式两边分别左乘和右乘ei，则对于i=1,2,有：

又因为(m+n)φ(ei)=mφ(I)ei+neiφ(I)。对上式两边分别左乘和右乘ei，可得：

对任意aii∈Aii(i=1,2)，由式（3）可知：

对上式两边左乘和右乘ei，且由式（6）可知：eiφ(aii),φ(aii)ei∈Aii，即φ(aii)=eiφ(aii)ei∈Aii。

对任意a12∈A12，由式（4）可知：

(m+n)φ(a12)=mφ(I)a12+na12φ(I)

对上式两边分别左乘e2和右乘e1，则有：

(m+n)e2φ(a12)=me2φ(I)a12=mφ(I)e2a12=0

及 (m+n)φ(a12)e1=na12φ(I)e1=na12e1φ(I)=0

因而有φ(a12)e1=e2φ(a12)=0。即φ(a12)=e1φ(a12)=φ(a12)e2=e1φ(a12)e2∈A12。

结论2对于任意的aij,bij∈Aij，有：

（1）φ(a11b12)=φ(a11)b12=a11φ(b12)

φ(a12b22)=φ(a12)b22=a12φ(b22)

（2）φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)

φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)

由式（2）、（3）及结论1 可知，对任意的a11∈A11,b12∈A12有：

在上式中取a11=e1，有：

即φ(b12)=φ(e1)b12。

同理可证：φ(a12)=a12φ(e2)。从而有：

φ(a11b12)=a11b12φ(e2)=a11φ(b12)

和φ(a11b12)=φ(e1)a11b12=φ(a11)b12

类似可得：

对任意的a12∈A12，由式（7）可知：

φ(a11b11)a12=φ(a11b11a12)=φ(a11)b11a12

且φ(a11b11)a12=φ(a11b11a12)=a11φ(b11a12)=a11φ(b11)a12

在不可约CDC-代数中，由e(AlgL)e⊥是忠实的AlgL-双边模，因而A12是忠实的(A11,A22)-双模，因而有：

φ(a11b11)=φ(a11)b11=a11φ(b11)

对任意的a12∈A12，由式（8）可知，a12φ(a22b22)=φ(a12a22b22) =a12a22φ(b22) 且a12φ(a22b22) =φ(a12a22b22) =φ(a12a22)b22=a12φ(a22)b22。因而有：

φ(a22b22)=φ(a22)b22=a22φ(b22)

结论3对于任意的a∈A，有φ(a)=λa。

对于任意的a,b∈AlgL，则存在aij,bij∈Aij，使得：a=a11⊕a12⊕a22,b=b11⊕b12⊕b22。

由结论1 和结论2 可知：

上式中取B=I可得对任意的A∈AlgL有φ(A)=φ(I)A=Aφ(I)。因为在AlgL中其换位子是平凡的，即(AlgL)′=FI因而存在λ∈F，使得φ(I)=λI，从而对任意A∈A，有φ(A)=λA。

定理2.2 的证明在式（1）中用a+tI代替a（其中为数域F中的任意数），由φ的可加性得：

由t的任意性可知，对于任意的t的i次方，式（9）都成立。特别的，当t的次方为m+n-1 时，由等式两边系数相等可得：

当t的次方为m+n时，由等式两边系数相等可得：

对式（10）两边左乘和右乘A可得：

上两式相加得：

在式（11）中用a2代替a，得：

ma2φ(I)+nφ(I)a2=(m+n)φ(a2)

比较上两式可知：

(m+n)aφ(I)a=(m+n)(φ(a)a+aφ(a))-(m+n)φ(a2)

将式（14）带入式（12）与（13）可得：

将aφ(I)a,a2φ(I)及φ(I)a2带入式（10），从而得到一个关于aφ(a),φ(a)a及φ(a2)的等式：

化简得：

(m+n)φ(a2)=maφ(a)+nφ(a)a

即φ满足式（2）。由引理2.2 知，存在λ∈F，使得对任意a∈AlgL，有φ(a)=λa。

Gilfeather 和Moore 在文献[16]中证明了任何一个CDC-代数都可以分解成可数个不可约CDC-代数的直和，这个结果在研究CDC-代数的同构和导子等时具有非常重要的作用，下面给出这个结论。

定 理2.1 的 证 明设en=∨{e:e∈Cn,n∈Λ} 为 引 理2.3 所述的投影，则有：

并且显然有：

(AlgL)en=en(AlgL)en=Alg(enL)

因为en=∨{e:e∈Cn,n∈Λ}是Hilbert空间H上的投影，因此，其也是Hilbert空间。因而，(AlgL)en是Hilbert空间en上的不可约CDC-代数，并且这里的收敛指的是强收敛。由引理2.3 中的en的定义可知，其线性张的闭包就是Hilbert 空间H,并且{en,n∈Λ}⊆L∩L⊥两两正交，因而有∑en=I为AlgL的单位元。

对于任意的a∈AlgL和任意的n,由φ满足式（1），因而取a=en可得：

φ(en)=enφ(en)en

分别左右乘en,有：

φ(en)=enφ(en)en=enφ(en)=φ(en)en

又因为(AlgL)en是en上的不可约CDC-代数，从而由引理2.2 的证明可知，φ满足式（3），从而有：

结合引理2.2 的第一步，可得：

所以有：

φ(enaen)=enφ(enaen)en

设在Alg(enL) 上有φ=φn，即φn为φ在Alg(enL上的限制，则有φn:Alg(enL)→Alg(enL) 是可加映射并且在Alg(enL)=(AlgL)en=en(AlgL)en上满足引理2.2，则由引理2.2 知，对于任意的a∈Alg(enL),存在λ∈F，使得φn(a)=λa。

设an,a∈AlgL，an是强收敛于a的，则对于任意的H中的x,结合引理2.2的证明可知φ满足式（4），因而有：

从而，对于任意的a∈AlgL，有：

φ(a)=φ(I)a=aφ(I)

即φ(I)∈Z(AlgL)，因 而 存 在λ=φ(I)∈Z(AlgL), 使 得φ(a)=λa。

通过定理2.1 的证明过程，很容易得到下面的推论。

推论2.1设AlgL是Hilbert空间H上的CDC-代数，φ:AlgL→AlgL是一可加映射，则下面几个条件等价。

（1）存在λ∈Z(AlgL)，使得对任意a∈AlgL，有φ(a)=λa。

（2）存在正整数m,n，使得对任意的a∈AlgL,有：φ(am+n+1)=amφ(a)an。

（3）对任意的正整数m,n,r和任意的a∈AlgL，有：φ(am+n+1)=amφ(a)an。

（4）φ:AlgL→AlgL是中心化子。

3 结论

本文主要研究了CDC-代数AlgL上的满足φ(am+n+1)=amφ(a)an可加映射φ,有φ(a)=λa（其中λ∈Z(AlgL)）的固定形式，给出了CDC-代数上的保持映射的刻画，具有一定的理论意义。

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