直观：催化数学的理解与表达——“认识乘法”的实践与思考

江苏南京师范大学附属小学（210008） 王 倩

近日，我上了一节“认识乘法”的公开课，几次磨课的经历，让我对“直观”地学数学产生了新的思考。

第一次试教前，我研究了乘法概念的核心——几个相同加数相加。在教学中，我直指知识本质，设计了一组算式，让学生通过计算算式并分类，引出加数都相同的算式，并在充分观察、交流认识这类算式特点的基础上，引导学生认识到像这样“具有相同加数的算式”，需要引入新的定义方式——乘法。

先算一算，再把下面的算式分一分类。

7＋8＝ 4＋5＋6＝ 4＋4＋4＝6＋6＝ 9＋1＋7＝ 4＋9＋2＝7＋7＝ 5＋5＋5＝ 2＋2＋2＋2＋2＝

几次实践之后，我发现这样的设计至少存在两个问题：一是开放度太大，学生分类的标准过于发散——有按照得数是否大于10来分类，有按照能否用凑十法来分类，有按照加数的个数来分类，等等，花费了大量时间却没聚焦到“相同加数相加”这一核心。二是抽象度太高，直接呈现较为抽象的算式，不符合了二年级学生的思维特征，由于缺少了直观形象作支撑，学生经历的“过程”是简单的模仿与记忆，经历的观察与发现都是形式上的观察与发现，学生所获得的关于“乘法”的知识可以说是教师一厢情愿的“告之”。

有了这样的认识，我们开始了新一轮尝试，从观察直观的实物图开始（如图1），让学生在观察、交流、解答的过程中一步一步加深对“相同加数相加”这一种现象的认识，实现对乘法内涵更为深刻的理解。

图1

【片断一：直观素材孕育深刻理解】

师：梨一共有多少个，你会求吗？

生1：我的算式是 3＋3＋3＋3＋…

师（生边汇报，师边板书，并不断地说）：你说慢点哦，我跟不上了。

师（故意写了9个3）：这个算式对吗？

生2：不对，老师少写了一个3。

师：哎呀，我都糊涂了，到底有多少个3？谁能把算式说得更清楚。

生3：这里一共有10盘梨，每盘梨有3个，所以应该是10个3相加。

生4：我们写的时候要特别细心，因为这里的3太多了，很容易写着写着就多写1个3或者少写1个3。我要提醒大家写完之后还要再数一数。

生5：这样写太浪费时间了，我有一种新的写法。

师：你真有想法，同学们看得懂他的意思吗？

生6：对的，我同意他的写法，这就表示10个3相加了。

生7：我还有比他更简便的，我还会写乘法呢！

师：乘法！谁听说过吗？谁来写一写？（生板书：3×10＝30）

师：我们的古人也发现，像这样好多个相同加数相加的算式写起来太麻烦了，于是就创造出了“乘法”，像这样“几个几相加是多少的问题”，就可以写成“几乘几”。大家还有什么想说的吗？

生8：我知道这里有10个盘子，每个盘子都是3个梨，就是 3×10。

生9：乘就是加，把长的加法变成了简单的乘法。

生10：我感觉乘法和加法有关系，“×”就是把“＋”斜过来看，说明有好多相同的加数。

师：有意思的发现！

【我的思考】

直观素材是揭示数学对象的性质和关系的有力工具。人们在认识和理解抽象数学概念的过程中往往要使用视觉形象来表征数学问题，从而更加直观、清晰地了解知识的实质和关键，从而达到理解和接受抽象的数学内容和方法的目的。

这里10盘梨的呈现，冲击了学生的感官，让学生首先直观地感受到每一盘的梨都是同样多的；其次，盘子的数量非常多；然后，在写加法算式的时候，教师通过“慢一点我都来不及写了”和“佯装漏写了一个3”这样的事实经验，让学生再次直观感受到这样的算式有加数相同和加数多的特点，让学生亲身体会到乘法产生的必要性，迫使学生自己去“发现”“说一个一个地相加，不如说几个几相加”，让学生自己创造出一种新的运算“几个几相加用乘法”，很自然地引入新的乘法运算与符号表示。

直观素材的呈现与现实活动的卷入，使得学生对于乘法本质的揭示不再是教师的“告之”，而是学生自己产生的主观需求，学生对“乘法”的理解达到了“概念性水平”，是对概念本质的把握，是在冲突、心里不舒服的状态下，迫切需要产生一种新的运算方法的情况。而学生“相同加数加得特别多的时候就可以把加号斜过来写成几乘几”的说法虽然语言不够规范，但是意义却非常深刻，可以说是有效地沟通了新知识和已有旧识知之间的本质联系。

【片断二：直观素材推动思维发展】

师：回顾刚刚解决的求总和问题，你还有什么想法吗？

生1：我发现这里有好几道算式都可以变成乘法算式！

师：是吗？比如呢？

生2：我发现苹果的问题是4＋4＋4，一共有3盘，每一盘都是4个苹果，也就是3个4相加，可以写成乘法算式3×4＝12。

生3：我有补充，苹果的算式也可以写成4×3。

生4：橘子也可以用乘法，因为每个盘子里的个数都是一样的，都是2个，相同的加数相加就可以了，一共有5盘，就是5个2相加，可以写成5×2或者2×5，都等于10个橘子。

师：桃子的这一题可以吗？

生5：桃子不行，因为第一盘桃子是1个，第二盘是5个，第三排是3个，每一盘的数量都不一样，不一样就不能用乘法了。

生6：我也觉得不行，因为只有相同的加数才可以。

生7：我觉得也可以，可以用 3×3。

生8：对，对，只要把第二盘移两个到第一盘去就可以了。

师：同学们听懂了吗？想一想，咱们干吗要移呢？

生9：从第二盘移两个到第一盘，这样第一盘也是3个，第二盘也是3个，第三盘也是3个，每一盘的数量就都一样了。

师：非常有意思的发现！看来想要写成乘法，必须要怎么样？

生：每一盘都是一样的。

师：真棒！加数如果相同我们就可以用乘法来写，有几个几相加，我们就写成几乘几。

师：草莓行吗？

生10：不行。因为虽然草莓前面4盘都是一样的，但是第五盘只有1个，加数不都是一样的，所以不行。

师：很有道理！

生11：这个可以把部分写成乘法，先算前面相同的4盘，用4×5，然后再把后面的1个草莓加上去就可以了。

师：你真有想法！这说明只要怎么样就能用乘法呢？

生：加数相同的情况下就可以了。

【我的思考】

直观素材是推动学生思维发展和深刻性的有利工具。小学生由于生活经验和认知水平的局限更易于接受直观的实物和实物图，直观素材有利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更丰富多彩的直观推理，进而洞察数学对象的结构和关系，获得数学结论。

这里学生通过想象和推理把“1＋5＋3”转变成“3×3”更可以说是直观素材引入的胜利！在新授课上，学生能够通过对直观材料的观察，在自主探索和合作交流中发现和再创造数学知识，用移一移的方法把不相同的加数转变成相同加数，并成功地转变为乘法，获得了对乘法知识内涵更深刻的理解。同样把“5＋5＋5＋5＋2”转变为“乘加算式”也表达了学生对乘法和加法联系与区别的把握。

对于学生来说，很多时候解题的灵感来源于对直观素材的观察，直观素材的提供使得学生展开想象和创造性的探求活动成为可能。可以说，直观素材启迪了学生的思维，不但丰富了学生对乘法的核心是“相同加数相加的运算”的理解，也促进了学生思维的发展。

【片断三：直观素材助力数学表达】

师：同学们都对乘法都有了一定认识，我们来放松一下，用耳朵听一听。（敲打节拍器：啪啪啪 啪啪啪）我刚刚拍了几下？你是怎么听出来的？

生1：拍了2次，每次拍了3下，2个3相加可以写成“2×3”。

师：声音里还藏着乘法，其他运动项目中也有——瞧，王老师是拍球高手，看看我拍了几下足球。（师拍球：每次拍4下，拍两组）

生2：每次拍4下，拍了2次，也就是2个4相加，可以用乘法2×4或者4×2。

师：这幅图你看出了什么？（如图2）可以横着看，可以竖着看，表示的几个几不同，但我们可以用相同的乘法算式3×5来表示。你能用自己的方法来表示3×5吗？大家可以画图，也可以想其他的表示方法。先自己独立思考、准备，然后小组内交流。

学生作品：

图2

生3：我是拍手的。啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪啪啪啪

生4：我也是拍手的，不过和他拍得不一样，啪啪啪啪啪啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪

师：两位同学拍得都对吗？

生5：都是对的，第一个同学拍了5个3相加，第二个同学拍了3个5相加，都可以用3×5来表示。

生6：我还可以跳绳。每次跳3个，跳5次，或者每次跳5个，跳3次都可以。

……

【我的思考】

直观素材帮助学生表达了自己的数学思想。数学抽象地反映了客观世界，客观世界的数量关系对应着数学的代数结构。在数学学习的过程中，学生由于受到知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的概念或者性质，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的自主思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的“数学事实”外显化。

这里为了让学生在初步理解了乘法含义的基础上，通过交流和碰撞把自己对乘法意义的理解表达出来，教师创设了“我来表示3×5”这个环节，引导学生借助具体形象的图形、声音、动作直观建立了多种多样的乘法意义模型，并且通过自己的创造体现出了“3×5”既可以表示为“3个5相加”，也可以表示为“5个3相加”，极大地丰富了乘法的内涵，激发了学生极大的创造性，让学生积极主动地建构了乘法的意义，从不同角度深刻体会了乘法的意义，初步获得了利用直观描述数学知识的经验。

总体说来，直观感受和直观表达是“直观”学习的两个重要方面。在小学的概念学习中化抽象为直观有利于促进学生对数学知识的理解和记忆，积累概念建构的经验，同时也为问题解决过程中表象的迁移提供了潜在的可能性，加深了学生对数学知识的理解。同时，数学的高度抽象性使得这个年龄段的学生很难用自己的语言表达出内心深处对于数学知识的理解，不利于相互之间的交流和碰撞。教师在教学的过程中可以充分利用数学学习材料数与行统一的特点，引导学生将数学知识的言语表征转化为形象表征，将对于抽象知识的理解外显为具体形象的图像或者模型，从而有助于培养学生的数学表达能力。

理解与表达，是儿童数学学习的两翼，直观的加盟，可以让这两翼更加丰满，更加有力，帮助学生在数学学习的天地里自由翱翔！