基于逐次升阶的翼型参数化与气动优化方法研究

王 超，高正红，*，黄江涛，2，赵 轲，李 静，许 放

(1.西北工业大学翼型叶栅空气动力学国防科技重点实验室，陕西 西安710072; 2.中国空气动力研究与发展中心，四川绵阳 621000)

基于逐次升阶的翼型参数化与气动优化方法研究

王 超1，高正红1，*，黄江涛1，2，赵 轲1，李 静1，许 放1

(1.西北工业大学翼型叶栅空气动力学国防科技重点实验室，陕西 西安710072; 2.中国空气动力研究与发展中心，四川绵阳 621000)

研究了基本Bezier样条曲线的特性，对比了不同阶次Bezier曲线对超临界翼型的几何描述能力以及由几何偏差带来的气动性能的偏差。利用Bezier曲线的特性提出逐次升阶的翼型参数化方法，结合改进的粒子群优化算法，建立了逐步扩展设计空间的气动优化设计方法，兼顾设计空间和优化效率，很好地解决了设计质量和设计效率之间的矛盾。最后通过典型翼型的优化设计，对比了文中方法与传统Hicks-Henne型函数方法，验证了文中方法的可行性和高效性。

参数化;Bezier曲线;逐次升阶;粒子群算法;扩展设计空间

0 引 言

随着计算机以及CFD［1-2］技术的高速发展，用数值方法进行飞行器的气动外形优化设计［3］已成一种趋势。在气动外形优化设计中，外形的参数化是非常重要的一个环节，好的参数化方法不仅能提高优化效率而且能得到很好的结果。在翼型参数化的过程中，主要关心设计变量的个数以及设计空间的大小，少的设计变量有助于提高优化算法的收敛速度，充足的设计空间有助于找到可能的最优解，但二者互相矛盾。直接使用较少的设计变量可以提高优化搜索效率，但是可能由于设计空间小、设计几何外形变化生硬、缺乏必要的灵活性等，导致难以获得优良的结果;直接使用多的设计变量虽然设计空间充足，但是由于各个设计变量随机盲目变化，几何外形变化的过于灵活，中间过程可能会产生很多畸形无用的外形，导致优化搜索的效率大大降低，甚至难以获得收敛的优化设计结果。

本文以翼型设计为例，讨论了不同阶次Bezier样条曲线对超临界翼型的描述能力，然后基于该曲线发展了一套逐次升阶的翼型参数化方法，结合改进的粒子群优化算法，构建了逐步扩展设计空间的气动优化设计方法。该方法首先利用低阶Bezier曲线参数化构建的设计空间，优化搜索出性能较为优秀的翼型。在此基础上，利用曲线的升阶保形特性，对曲线进行升阶，传递设计变量，扩展更新粒子群，继续进行优化搜索，不断地增加设计变量个数，不断地扩大设计空间。由于设计变量个数由少到多，低阶优化搜索结果为高阶曲线指明了“方向”，使得该优化设计方法在提高优化质量的同时，提高了优化搜索的效率。

1 基于低阶Bezier曲线的翼型参数化

Bezier曲线［4-5］是一种参数样条曲线。不同于插值样条曲线，它是一种逼近多边形顶点的方法。Bezier曲线用参数方法表示自由曲线，具有几何不变性，可以处理无穷大斜率和多值曲线，并易于进行坐标变换等诸多优点。用Bernstein多项式作为基函数描述Bezier曲线的表达式为:

式中Vi(i=0，1，…，n)为特征多边形的顶点，Bn，i(u) =(1－u)n－iui(i=0，1，…，n)为Bernstein多项式，u∈［0，1］为变化参数。顶点的个数为n+1，而且顶点的位置一旦确定，曲线的形状就唯一确定。

由于超临界翼型下表面通常存在拐点，所以能很好地考验翼型参数化方法的能力。本文首先采用低阶(n=5)Bernstein多项式，对RAE2822超临界翼型采用最小二乘法进行拟合。翼型上下表面各采用5次Bezier曲线，各6个控制点(其中头部和尾部的顶点保持不动)，设计变量为顶点的纵坐标，共8个(上下表面各4个设计变量)。

图1显示了五次Bernstein多项式的函数图。由Bernstein多项式的混合性，可知:对任意给定参数u，Bezier曲线就是特征多边形顶点Vi的加权平均，其权值因子就是Bernstein多项式的值。

图1 五次Bernstein多项式函数图Fig.1 Figure of fifth-order Bernstein polynomial

图2为五次Bezier曲线拟合RAE2822翼型充分收敛［6］后的几何外形。图3给出了上下翼型表面的拟合误差。该算例中使用8个设计变量的Bezier曲线，描述翼型的最大几何误差为0.0011。为了检验翼型外形偏差对其气动特性的影响，本文利用CFD方法对拟合翼型的流场与气动特性进行了计算，并将计算结果与原始翼型RAE2822的计算结果进行了比较。计算状态为:

图2 五次Bezier曲线拟合RAE2822Fig.2 Approximation of RAE2822 using fifth-order Bezier curves

表1为拟合翼型与RAE2822翼型的几何误差与气动性能偏差。由表1可见，两个翼型的气动性能存在偏差，升力系数、阻力系数和力矩系数相对误差的平均值为2.24%。假设在某次优化设计中，RAE2822就是需要的“最优”翼型，8个设计变量的Bezier曲线由于变化空间有限，就不能很好的描述这个“最优”翼型。换言之，为了获得最佳的外形，必须提高曲线的参数化能力，扩大设计空间进而提高对某个翼型描述的精度。

图3 上下表面拟合误差Fig.3 Approximation residuals of the upper and lower surface

表1 实际翼型和拟合翼型的气动性能对比Table 1 Comparison of aerodynamic properties between RAE2822 and approximation

2 扩大Bezier曲线的设计空间

通过对RAE2822的参数化拟合，发现用较少的设计变量对翼型参数化时，每个设计变量的变化对曲线形状的影响程度过大，对曲线描述不够灵活，不能精准地描述翼型。因此，当用于翼型设计时，由于设计空间有限，导致设计结果质量不高。

文献［6］提出了广义Bezier曲线［7-8］的概念，即在给定控制顶点和相应Bernstein基函数的情况下，曲线的形状仍然可以再微调。图4显示了几组广义Bezier曲线，该组曲线只是单纯扩大了曲线的变化范围，但它在精确描述某个翼型方面能力有限。

图4 广义Bezier曲线Fig.4 General Bezier curves

为解决此问题，文中尝试曲线升阶的方法，即在保持原低阶拟合曲线形状不变的情况下，增加控制点的数量，提高曲线的阶次，增加曲线的柔性和变化的灵活性。

基于Bernstein基函数的升阶算法表示为:

图5 二次曲线升阶到三次曲线示意图Fig.5 Sketch map of two-order curve and three-order curve

在低阶曲线(8个设计变量)拟合结果的基础上，对曲线进行升阶，分别逐步升到12、16、20和24个设计变量，如图6～图9所示。

图 10显示了升阶后不同设计变量拟合RAE2822翼型的误差，发现曲线阶次的增加明显提高了曲线拟合的几何精度。图11和图12分别显示了不同设计变量收敛后翼型上下表面的拟合误差。图13和图14分别显示了不同设计变量收敛后翼型上下表面曲线的曲率半径归1化后的分布。由此可见，随着设计变量的4增加，拟合误差越来越小，但是翼型表面曲率的波动越来越明显。

表2对比了不同设计变量下的气动性能和相对误差的平均值(与上文的飞行状态相同)，发现超过20个(包括20)设计变量时，气动力系数的平均相对误差小于1%，达到了很高的精度。同时发现，设计变量达到24个时，由于曲线拐点增多，波动性加强，

图7 8个设计变量升到16个设计变量Fig.7 Increasing variables from 8 to 16

图8 8个设计变量升到20个设计变量Fig.8 Increasing variables from 8 to 20

图9 8个设计变量升到24个设计变量Fig.9 Increasing variables from 8 to 24

图10 不同设计变量的拟合误差Fig.10 Approximation error of different variables

图11 不同设计变量拟合后上表面误差Fig.11 Approximation error of the upper surface of different variables

图12 不同设计变量拟合后下表面误差Fig.12 Approximation error of the lower surface of different variables

图13 翼型上表面曲率半径分布Fig.13 Radius of curvature distribution of upper surface

图14 翼型下表面曲率半径分布Fig.14 Radius of curvature distribution of lower surface

表2 实际翼型和拟合翼型的气动性能对比Table 2 Comparison of aerodynamic properties between RAE2822 and approximation

很难满足翼型表面光顺性的要求，气动误差较20个设计变量时反而变大。对于翼型优化来说，综合考虑拟合误差和曲线的曲率分布，最终使用20个设计变量足够。

基于Bezier曲线的特性，建立逐步升阶的翼型参数化方法:在优化搜索的过程中，给曲线逐次升阶，设计变量由少到多，不断地扩大设计空间。

3 改进的粒子群算法及优化设计方法

在粒子群算法［9-10］(PSO)的可调参数中，惯性权值是最重要的参数，较大的w有利于提高算法的全局搜索能力，而较小的w会增强算法的局部搜索能力。文中采用改进后的自适应惯性权值［11-12］粒子群算法(SAPSO)进行优化搜索。自适应权重法的惯性权重系数公式表达式如下:

其中wmax、wmin分别表示w的最大值和最小值，f表示当前的目标函数值，fave、fmin分别表示当前所有粒子的平均目标值和最小目标值。式(3)中，目标函数值优于平均目标值的微粒，其对应的惯性权重因子较小，从而保护该微粒;反之，对于目标函数值差于平均目标值的微粒，其对应的惯性权重因子较大，使得该微粒去寻找较好的搜索区域。

基于改进的粒子群算法，若直接使用20个设计变量进行优化搜索，设计变量过多且变化随机盲目，导致搜索效率大大降低。本文结合逐步升阶的翼型参数化方法和改进的粒子群算法，构建逐步扩展设计空间的优化设计方法。首先在低阶曲线参数化构建的设计空间中，进行粒子群优化搜索，进化一定代数后，保持已优化外形不变的情况下，按照上文的算法给曲线升阶，增加设计变量的个数，进行设计变量的传递，扩展更新粒子群(即增加每个粒子的维度)，继续进行粒子群搜索。即先由较低阶曲线寻找到有利的区域，然后增加设计变量个数，用高阶曲线在低阶的基础上继续在该区域精细化寻优，逐层优化搜索。这样，每次升阶的过程都保留低阶的最优结果，不但扩大设计空间，还能提高优化搜索的效率。图15给出了该优化设计方法的框架。

图15 优化设计方法框架Fig.15 Frame of the optimization method

4 算例分析

本文的气动分析方法采用基于结构网格的RANS方程［13-14］，网格数量为4万，使用Roe空间离散方法，S-A一方程湍流模型，LU-SGS隐式时间推进方法，多重网格加速收敛。为提高计算机的并行效率，对结构网格进行分块处理。

以NASA0412超临界翼型为初始翼型进行减阻优化设计，设计状态为:

优化目标为最小化翼型的阻力系数，约束条件为厚度不减小，力矩系数绝对值不大于0.12，不满足约束则对目标函数进行惩罚。优化的数学模型可描述为:

为了验证本文方法的优越性，对比本文优化方法与传统Hicks-Henne型函数翼型参数化的优化方法如下:

1)参数设置。本文方法:初始为8个设计变量，每次升阶增加4个设计变量，最后为20个设计变量; Hicks-Henne方法:使用20个设计变量，设计变量个数不变。

2)优化算法设置。本文方法:每代粒子群数目为50，不同的设计变量各进化10代，共40代;Hicks-Henne方法:每代粒子群数目50，连续进化40代。

图16和图17分别给出了本文方法优化前后的翼型形状和翼型表面的压力分布。在设计状态下，初始翼型上面出现较强的激波，引起很大的激波阻力。优化后的翼型下表面前缘半径减小，压力增加，前加载增大;最大厚度点后移，弯度增加，后加载增大;由于升力系数固定，前后加载增大，翼型上表面的压力缓慢恢复，激波基本消除，大大减小了翼型的阻力。

图16 优化前后的翼型形状Fig.16 Comparison between initial and optimized airfoil configuration

图17 优化前后的压力分布Fig.17 Comparison of pressure distribution between initial and optimized airfoil

表3给出了使用本文方法和使用Hicks-Henne方法的优化前后的结果对比，本文的方法优化阻力系数减小了0.0057，优化质量高于Hicks-Henne方法的0.0054。

表3 翼型优化前后性能对比Table 3 Comparison of airfoil performance between initial and optimized airfoil

图18给出了两种方法优化收敛历程对比，很明显文中的翼型优化方法在搜索效率和质量方面高于传统的Hicks-Henne参数化的优化方法。使用文中的参数化方法，每次设计变量的增加时(每10代增加一次)，优化的质量都提高一次，打破原来的收敛趋势，证明了该参数化方法的有效性和实用性。

图18 优化收敛历程对比Fig.18 Comparison of convergence history

5 结 论

文中研究了翼型参数化中设计变量和设计空间关系，基于Bernstein多项式的性质，提出Bezier曲线逐次升阶的翼型参数化方法，结合改进的粒子群算法构建了逐步扩展设计空间的优化设计系统，很好地解决了设计变量和设计空间这对矛盾。最后，通过对典型超临界翼型的减阻设计，对比了文中方法和传统的优化方法，证实了该方法的可行性和高效性。同时，该升阶思想可以拓展到三维Bezier曲面建模以及以Bernstein多项式为基函数的自由变形造型(FFD)［15-16］中，有很好的实用价值。

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Research on airfoil parameterization based on adding-order method and its application in aerodynamic optimization

Wang Chao1，Gao Zhenghong1，*，Huang Jiangtao1，2，Zhao Ke1，Li Jing1，Xu Fang1
(1.National Key Laboratory of Aerodynamic Design and Research，Northwestern Polytechnical University，Xi’an Shaanxi 710072，China; 2.China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang Sichuan 621000，China)

The number of design variables and their design room are focused on in airfoil parameterization.Fewer variables helps improve the speed of convergence and adequate design room can help to find the best result.However，they contradict with each other.A research was carried on the performances of basic Bezier-Spline curves and a comparison was presented between different orders of Bezier-Spline curves in order to explain their ability of describing a supercritical airfoil and aerodynamic errors as a result of geometric errors.An adding-order airfoil parameterization method was put forward based on the characteristics of Bezier-Spline curves.An optimization design system of expanding design room was established combined with improved particle swarm optimization algorithm which guarantees design room and efficiency.The method balances the inconsistency of design quality and efficiency.By comparing the results of a typical airfoil optimization using the proposed method and the traditional Hicks-Henne model function method，feasibility and high efficiency of this method is verified.

parameterization;Bezier-Spline curve;stepwise adding-order;particle swarm optimization algorithm;expand design room

V211.3;V221+.6

A

10.7638/kqdlxxb-2013.0042

0258-1825(2015)03-0360-07

2013-04-01;

2013-05-21

王超(1990-)，男，河北保定人，博士，主要研究方向:飞行器设计空气动力学，计算流体力学.E-mail:wangchao19900405@126.com

高正红(1960-)，女，教授，博士生导师，主要从事大迎角非定常流动、飞行器气动外形优化设计等研究.E-mail:zgao@nwpu.edu.cn

王超，高正红，黄江涛，等.基于逐次升阶的翼型参数化与气动优化方法研究［J］.空气动力学学报，2015，33(3):360-366.

10.7638/kqdlxxb-2013.0042 Wang C，Gao Z H，Huang J T，et al.Research on airfoil parameterization based on adding-order method and its application in aerodynamic optimization［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33(3):360-366.