求函数值域中的大类总结思维方法

周立伟

摘 要：函数值域的求法是高中数学中教材并不直接说明，但是却具有较大实用价值的一个重要内容，也是学生学习中的难点。尝试采用大类总结的思维方式，对各种常规函数的值域求法进行一个跨章节跨知识点的集中总结。所谓大类总结，指的是打乱章节设置和知识点排列，从思维方法的类别上入手，把不同知识点整理到同一板块的题型中去，形成立体的知识网络。

关键词：函数 值域 大类总结

中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）11（b）-0241-02

通过近几年数学教学实践，笔者发现学生在函数的学习方面有着不小的问题。究其原因，主要在于学生从初中的数学思维层次跃升到中职或者高中的数学层次时，有很多不适应的地方。笔者所从教的中职数学教学内容基本和高中内容相同，因此，以下均简称为高中数学。

如果初中数学的特点用“方程”二字可以概括的话，那么高中数学的特点就可以用“函数”二字进行总结。高中数学在很多的知识点里，均引入了变量和参数的概念，从初中机械的公式套用，转变到现在的灵活多变，分类讨论和数形结合的基本思维方法，更是贯穿始终，成为高中数学的一大亮点，当然，同时也成为了很多学生心目中的一大难点。

在从事数学教学实践的过程中，笔者发现，如果不能及时引导学生完成数学思维的跨越，则学生根本无法应对数学中如此庞杂和灵活的解题技巧，也达不到高考的基本要求。因此，在不断地改进教学方法的同时，笔者也在进行很多思考，试图能把许多学生望而生畏的数学，变得丰富多彩一些和简单易学一些。在这些笔者尝试过的教学方法中，“大类总结”是一个非常有实效的方法。这种方法打乱章节设置和知识点排列，从思维方法的类别上入手，把不同知识点整理成一串，用具体思维过程作为其联系的纽带。这种总结与循序渐进的章节学习配合起来，能构成一张纵横交错的立体知识结构，对学生的数学学习大有裨益。

针对学生们普遍叫难的函数值域求法，笔者根据上述的教学思维理念，做了一个书面的尝试，并在几个年级进行了实验。现将大致过程和内容记录如下。

基本初等函数分为：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。若将其中的几个综合起来，则可以得到一些更复杂的函数。但是万变不离其宗，围绕着基本初等函数的相关性质，很多值域的问题还是可以得到解决的。

函数值域的常规解法，可大致分为以下九类。

（1）配方法。

二次函数或形如类的函数。二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合。

（3）换元法。

换元法指的是通过观察，也可通过解析式变形，在函数的解析式中，得出一些具有相同形式的元素，设其整体为一个新的变量，达到换元的目的。但是，使用换元法时要注意跟学生强调，务必考虑这个新变量的取值范围。

例3：求下列函数的值域。

以上9类求函数值域的求法，笔者对学生戏称为“独孤九剑”，在使用时要能针对具体题型进行方法归类，在记忆和巩固的时候一定要特征鲜明，并且不断地进行练习和加强。

此项内容若编写成教案，应该合理安排课时，再多添加一些新的练习题，并可根据学生情况进行删减。根据笔者实践，普通高中学生对该思维方法掌握得较好，内容较适中，但中专学生基础略差，上述9类方法要删去一些，根据2015年上海市教委教研室颁布的新的《中职数学课程标准》，有些内容作了较大的调整，因此，在具体教学时，要再进行例题的组合和整理。此外，这些求函数值域的办法，也可以在学生的数学课外兴趣班里进行尝试，对于学生全面了解《函数》这一章的知识结构和前后传承，有很大的帮助。

由于大类总结的方法往往打破了教材上的章节界限，因此，可能需要在相应章节教授完毕后，以专题或者复习课的方式拿出来进行讲授。这样对于构建数学学科的知识纵向网络是有很大帮助的。如果高三或者高复班的教师用来进行高考第二轮复习，也应具有一定的实用价值。

参考文献

[1] 董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法[J].昆明冶金高等专科学校学报，1999，15（2）：19-23.

[2] 林如恺，江杰.求函数值域的几种方法[J].乐山师范高等师范专科学校学报，1999（3）：100-103.

[3] 顾淑建.函数值域（最值）求法的“七种武器”[J].数学学习与研究，2014（11）：71-72.