圆锥曲线大题的另类考法

高 欢 武 斌 范 欣

（陕西省西安中学）

圆锥曲线部分是高考中的重点，常常以解答题的形式出现在高考试题的最后两道大题中，圆锥曲线中最常见的作为压轴题的考查点是：直线与圆锥曲线的相交弦问题，往往涉及中点弦、弦长或其他综合性问题，可利用联立方程组消元后所得一元二次方程中根与系数关系（韦达定理）对相交弦问题设而不求、整体处理。

下面我就以我校2014 级高三模拟考试和复习过程中遇到的几道试题为例来说明圆锥曲线压轴题的另类考法。

例1.（西安中学高2015 级第三次模拟考试）椭圆C1以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线C3∶y2=12x

（1）求椭圆C1的方程及线段AB的长；

（2）在C1与C3图象的公共区域内，是否存在一点P（x0，y0），使得C1的弦EF与C3的弦MN相互垂直平分于点P？若存在，求点P坐标，若不存在，说明理由.

（2）假设存在，由题意将E，F坐标带入C1做差得将M，N坐标带入故满足条件的P点在抛物线C3外，所以不存在这样的点P.

点评：上题的解答过程用到了点差法，在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关。

例2.（西安中学高2015 级第七次模拟考试）如下图所示，椭圆

（1）若点P的坐标为，求m的值；

（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

试题解析：（1）依题意，M是线段AP的中点，所以点M的坐标为．由点M在椭圆C上，所以

（2）设M（x0，y0），则，且-1＜x0＜1．①因为M是线段AP的中点，所以P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以x0（2x0+1）+2y02=0．②

由①，②消去y0，整理得，所以，当且仅当时，上式等号成立．

所以，m的取值范围是

总之，在处理直线与圆锥曲线的相关问题过程中，要加强对基础知识的综合运用, 同时也要根据题目的特点灵活地选择方法和解决问题的角度，并不是每一道圆锥曲线的大题都需要联立方程组，也可以选择从点的坐标入手进行代换和变形。