赏析高考定积分试题

2015-04-07王新宏

中学数学杂志(高中版) 2015年2期

关键词：奇函数概型理科

定积分试题出现在很多省份的高考试卷中，在考查三基的基础上，在知识的交汇点上命题，以能力为立意，涌现出了许多创新题，值得我们关注与学习，下面从近几年的高考真题中采撷数例，予以深度解析，旨在探究题型规律，揭示解题方法.

1考查定积分的几何意义

例1（2014年山东理科第6题）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.

A.22B.42C.2D.4

分析封闭图形的面积就是定积分的几何意义.

图1解先画出图形如图1，封闭图形就是阴影部分，联立y=4x，

y=x3，且在第一象限，得O（0，0），A（2，8），所以所求面积S=∫20（4x-x3）dx=（2x2-14x4）20=4，故选D.

评注封闭图形的面积S=∫ba[f（x）-g（x）]dx，这里x的范围从a到b，对应定积分的下限和上限，被积函数必须是上面的函数f（x）减去下面的函数g（x），所得定积分就是封闭图形的面积.

2函数的奇偶性在定积分中的应用

例2（2014年湖北理科第6题）若函数f（x），g（x）满足∫1-1f（x）·g（x）dx=0，则称f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：

①f（x）=sin12x，g（x）=cos12x；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2.

其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是（）.

A.0B.1C.2D.3

分析根据题意，要使f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，则就使得∫1-1f（x）·g（x）dx=0，即在x∈[-1，1]上，f（x）·g（x）为奇函数即可.因为任何一个奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0.

解①组f（x）·g（x）=12sinx为奇函数，故①组为正交函数.②组f（x）·g（x）=x2-1为偶函数，故②组不是正交函数.③组f（x）·g（x）=x3为奇函数，故③组为正交函数，故选C.

说明任何一个奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如奇函数y=f（x）在关于原点对称的区间[-a，a]的图像如图2所示，因为奇函数的图像关于原点对称，所以封闭图形的面积S1=S2，但是S1=∫a0f（x）dx，

S2=-∫0-af（x）dx，所以∫a-af（x）dx=∫0-af（x）dx+∫a0f（x）dx=-S2+S1=0.

3换元思想在定积分中的应用

例3（2014年江西理科第8题）若f（x）=x2+2∫10f（x）dx，则∫10f（x）dx=（）.

A.-1B.-13C.13D.1

分析任何一个函数的定积分都是一个常数，所以∫10f（x）dx也表示一个常数.

解设∫10f（x）dx=m，则由已知得f（x）=x2+2m，所以∫10（x2+2m）dx=m，（13x3+2mx）10=m，13+2m=m，m=-13，所以∫10f（x）dx=-13，故选B.

评注本题的关键是利用定积分的实质来代换定积分，否则就感到难以下手.

4定积分与三角函数交汇

评注求定积分关键是要找到原函数，利用微积分基本定理解出定积分；其次利用三角函数的图像与性质可求出其对称轴.

5定积分与几何概型整合

图3例5（2014年福建理科第14题）如图3，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为.

分析很明显是利用定积分求面积的几何概型.从近几年的高考题可以看出，定积分与几何概型结合是高频考点，是常态化的整合.

解因为y=ex与y=lnx（x>0）互为反函数，所以它们的图像关于直线y=x对称，图中的正方形也关于直线y=x对称，所以两块阴影部分的面积相同.

所以S阴影=2∫10（e-ex）dx=2（ex-ex）10=2，所以落到阴影部分的概率为p=2e2.

例6（2010年全国新课程卷理科第13题）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫10f（x）dx，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分∫10f（x）dx的近似值为.

分析能画图的题目，就要想方设法画图，因为图形可以帮助我们构建解题的思路.又因为y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，所以你可以画满足题意的任一函数都可以，不会影响结果.

则N1N≈∫10f（x）dx1×1得∫10f（x）dx≈N1N，故积分∫10f（x）dx的近似值为N1N.

评注学生用数形结合的思想解题，是学生会学数学的一个标志；此题考查了几何概型，定积分及其几何意义，综合性较强，很好地考查了学生对知识的理解深度和灵活应用的程度；题目新颖，匠心独运.

6用定积分求体积

例7（2013上海理科第13题）在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图5中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1-y2+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为.

分析大家知道加速度的积分是速度，速度的积分是位移.所以类比得出面积的积分是体积.

解V=∫1-1（4π1-y2+8π）dy=

4π∫1-11-y2dy+16π.

画图形如图6，由几何意义知∫1-11-y2dy=π2，所以V=2π2+16π.

评注大胆合理的类比迁移，令人耳目一新的创新好题.

7用定积分思想证明一类不等式

例8（2014年陕西卷理科第21题）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（1）略；（2）略；

（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明.

解析（3）由题设知：g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1，n-f（n）=n-ln（n+1）

比较结果为：12+23+…+nn+1>n-ln（n+1），用定积分证明如下：

图7如图7，∫n0xx+1dx是由曲线y=xx+1，x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而12+23+…+nn+1是图中所示各矩形的面积和，所以12+23+…+nn+1>∫n0xx+1dx=∫n0（1-1x+1）dx=n-ln（n+1）.