例谈客观题的创新立意

曹务青

数学试卷中客观题具有覆盖面广、指向明确、多样灵活等特点，可以多角度、多视点、多层次地考查学生的数学素养和潜能，特别是选择题、填空题最后一题在一定程度上都能彰显整份试题的特色，在试题的创新立意方面起到了窗口的作用，下面略谈几点体会，权当抛砖引玉.

1基础知识是创新的源泉

基础知识包括课本上的定义、公理、定理，很多创新型题目的设计都来自于课本，并且“高”于课本，考查其内涵及外延及其应用能力.

例1设某几何体的三视图如图1所示（尺寸的长度单位为m）：则该几何体的体积为m3.

图1解析结合三视图绘出直观图，过B、P分别作AC的垂线，垂足分别为D、E，由三视图可得PE⊥平面ABC，BD=3，PE=2，VP-ABC=13×12×4×3×2=4.

例2若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）.

A.f（x）=4x-1B.f（x）=（x-1）2

C.f（x）=ex-1D.fx=lnx-12

解析f（x）=4x-1的零点为x=14，f（x）=（x-1）2的零点为x=1，f（x）=ex-1的零点为x=0，fx=lnx-12的零点为x=32.现在我们来估算g（x）=4x+2x-2的零点，因为g0=-1，g（12）=1，所以gx的零点x∈0，12，又函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f（x）=4x-1的零点适合，故选A.

点评解决例1的关键是理解三视图的定义，从三视图中读出直观图的形状及数量关系.例2主要考查零点存在定理.

2在知识的交叉点处创新

要注意知识的交叉点和结合点.数学知识之间存在纵向和横向的有机联系，例如，函数和不等式，函数与导数，函数与方程，函数与数列；又如，三角函数与数列，三角函数与立体几何；再如，平面向量与函数，平面向量与解析几何，平面向量与物理等.这些交叉点都将成为创新命题的发源地.

例3设-1≤b≤1，-1≤c≤1，则关于x的方程x2+bx+c=0有实根的概率是.

解析此题是线性规划与几何概型相结合的题目.画出可行域-1≤b≤1，

-1≤c≤1，

b2≥4c，如图2所示：

先求出满足条件的阴影部分的面积S1=∫1-1b24db+2=136，总面积为S=4，所以P=S1S=1324.

点评求解几何概型的思路与古典概型基本一致，解决这类问题关键是先要判断其类型，分清是长度型、面积型、还是体积型，然后套用计算公式，尤其是面积型，有时需要借助直角坐标系来研究.本题以一元二次方程的根为载体，将几何概型问题与线性规划、定积分相结合进行考查，考查了学生综合运用知识的能力.

2在数学思想方法上创新

数学思想方法作为数学的精髓，是高考数学考查的重中之重.数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，具有高度的概括性、隶属性、层次性、迁移性等特点.是命题创新的最高境界.

例4设方程3x=lg-x的两个根为x1，x2，则（）.

A.x1x2<0B.x1x2=0

C.x1x2>1D.0

解析不妨设x2

例5已知x2a2-y2b2=1a>0，b>0，M、N，是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的任意一点，且直线PM、的斜率分别为k1、k2k1k2≠0，若椭圆的离心率为52，则k1+k2的最小值为.

解析设Mx0，y0、Px，y，由于M，N在双曲线上关于原点对称，则N-x0，-y0，k1+k2=y-y0x-x0+y+y0x+x0≥2y2-y20x2-x20，因为Mx0，y0、Px，y在双曲线上，所以x2a2-y2b2=1，①

x20a2-y20b2=1.②①-②得y2-y20x2-x20=b2a2=c2-a2a2=e2-1=14，k1+k2≥1，故答案为1.

点评例4主要运用了数形结合思想，根据图形界定x1，x2的范围是关键；例2主要采用了“点差法”的基本思想.

4在生活应用上创新

随着课改的进一步深入，高考试题对数学能力的要求不再局限于通常所说的计算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，而是更加关注数学应用的能力，利用所学的知识去解决生活中的实际问题.以实际生活作为背景的题目是常考常新的，因此可以说数学在实际生活中应用型题目是创新的归宿.

例6如图3所示，由于环境污染，某池塘中的浮萍蔓延的面积（m2）与时间t（月）的关系：y=at，有以下叙述：

图3①这个指数函数的底数是2；

②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；

③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过15个月；

④浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是（）.

A.①②③B.①②③④

C.②③④D.①②

解析将2，4代入函数表达式中可得a=2，第5个月浮萍的面积为25=32>30，由23.5<12，所以③不正确，故答案为D.

例7某海域内有一孤岛.岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是.

解析由已知船到甲投影所在焦点的距离为h1tanθ1，船到乙投影所在焦点的距离为h2tanθ2，若船进入椭圆形成的浅水区，h1tanθ1+h2tanθ2≤2a.

点评例6考查了指数函数的性质及相关的计算，例7考查了椭圆的定义，把实际问题顺利转化为数学问题是解决这类问题的关键.

5在推理证明的形式及内容上创新

在高中数学的知识体系中，逻辑推理的形式多种多样，可以通过正常推理渠道，也可以通过算法、框图等进行推理，其内容更是广泛存在，就类比推理来说，可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，可以比较本质的特征，也可以比较非本质的特征.

例8一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m，n时，输出结果记为f（m，n），且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f（1，1）=1；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍.则f（m，n）=.

解析fm，1=3fm-1，1=32fm-2，1=…=3m-1f1，1=3m-1，

fm，n=fm，n-1+3=fm，n-2+3×2=…=fm，1+3n-1=3m-1+3n-1.

例9在△ABC中，D为BC的中点，可得AB+AC=2AD，类比到空间中，已知在四面体P—ABC中，D为△ABC的重心，则可得到的结论为.

图4解析PD=PA+AD，PD=PB+BD，PD=PC+CD，以上三式相加得3PD=PA+PB+PC+AD+BD+CD，由于D为△ABC的重心，得AD+BD+CD=0，所以答案应为PA+PB+PC=3PD.

点评这类题目注重考查学生思维水平，可以深刻地揭示知识的内涵，拓展其外延，对增强知识间的联系，理解和掌握新知识，培养逻辑推理能力和提高解题应变能力是非常有益的.

6在概念及运算符号上创新

高考在命题上不但考查对基础知识的掌握与应用能力，而且考查学生的继续学习能力，因此在试题的设计中常常给出新的概念及运算符号，其中部分试题通常以高等数学内容为背景，依托于中学数学知识，但是一般都是起点高、落点低，其题型设计包括新概念、新定义、新定理和新规则等，考查在新的信息、新的情境下，独立获取和运用新信息的能力，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.

例10对于使f（x）≤M成立所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则-12a-2b的上确界为（）.

A.92B.-92C.14D.-4

解析-12a-2b=-（a+b）（12a+2b）=-（52+b2a+2ab）≤-92，当且仅当a=15，b=45时等号成立，所以M≥-92，-12a-2b的上确界为-92.故答案为B.

例11设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）.

A.（a*b）*a=a

B.[a*（b*a）]*（a*b）=a

C.b*（b*b）=b

D.（a*b）*[b*（a*b）]=b

解析此题只有一个已知条件：a*（b*a）=b.B中a*（b*a）=b原式变为b*（a*b）=a，成立，C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立，D中，b*（a*b）=a，原式变为（a*b）*a=b成立.故答案为A.

点评解决这类问题，能透彻理解新概念、新的运算法则及运算形式是关键，并能对其应用是根本.

以上的创新试题，命题的思想既贴近中学数学的教学实际和考生的思维发展状况，又源于教材且不照搬教材；既突出选拔性，又注重正本清源、返璞归真的导向性.培养学生在新的信息和情境下，综合运用所学的旧知识和思想方法，对问题进行分析、探究，并创造性地解决的能力.因此学生在平时的学习中要经常注意联旧引新、遇新想旧，最终能在旧知识的基础上，用他们的数学素养、探索能力和创新能力轻松获得新知识.