思想引领感悟方法学会思考——一则“特殊化”思想指引下的解题教学案例的思考

☉江苏省金湖县实验中学 高峰

思想引领感悟方法学会思考
——一则“特殊化”思想指引下的解题教学案例的思考

☉江苏省金湖县实验中学 高峰

自从“课标”把数学思想作为“四基”之一提出后，关于数学思想的教学就一直备受大家的关注，但是大家强调都是在知识的形成过程中进行体验，最后进行归纳才会提出来，那么能否在章节复习时，利用专题复习的形式，对数学思想进行强化教学呢？本文作如下尝试.

本节课将苏科版义务教育教科书数学七年级下册第36页的阅读材料“特殊化”和第42页“探索研究”第19题结合起来进行教学，让学生体验在“特殊化”思想的指引下，学会“寻找基本图形和构造基本图形及一般想特殊转化”的方法，掌握特殊化思想的应用和几何问题的一般思考方法.

一、教学过程

1.指导阅读，切入课题

上课伊始，多媒体屏幕播放动画.

（1）用橡皮筋构成△ABC，使顶点B、C固定，顶点A移动（如图1）.

顶点A越靠近BC，∠BAC越接近180°，∠ABC与∠ACB越来越小，接近于0°，当顶点A在BC上时，∠ABC=∠ACB=0°，∠BAC=180°，这时∠ABC+∠ACB+∠BAC= 180°.于是，我们猜想，一般情形下，△ABC的内角和可能是180°.

图1

图2

（2）将多边形A1A2A3…An逐步“变小”（形状不变），当多边形“变小”到一点时，它的所有外角就会成为一个“周角”了，那就是360°（如图2）.

师：动画1是通过对△ABC的顶点A的位置进行特殊化，动画2是通过多边形各个外角的顶点的位置的特殊化，我们通过特殊情形获得了结论，从而猜想出一般情形的结论.

解决某个问题有困难时，我们可以考虑问题的特殊情形，然后利用问题的特殊情形获得的结论或解决方法来探索问题的一般情形，最终使问题得到解决，这种解决问题的思想称为特殊化.

特殊化思想不仅能获得数学结论，还可以获得解决问题的方法.我们可以将实验1的过程与过点A作BC的平行线的方法联系起来，即实验1是将∠B、∠C变为零度，∠A变为180度，可以看作如何将∠B、∠C转给∠A，也就是将∠B、∠C补到∠A处，则辅助线就自然生成了（如图3）.

图3

今天，就让我们一起亲身经历“特殊化”思想指引下的解题之旅吧！

2.操作实验，寻找特殊

问题：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置（如图4），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？为什么？

图4

师：对于这个问题，我们今天就用特殊化思想进行探究.

（1）请将课前准备好的三角形纸片记为△ABC，同时在练习本上画出这个三角形.

（2）折叠△ABC一个角，折叠线与边AB、AC分别交于E、D点，折叠后A的对应字母记为A′，在图中画出折叠后的图形，标出相应字母.

（3）通过移动点A′，确定点A′的位置有哪些情形，请将折叠后的三角形贴至黑板（同类的贴一种），并指出哪些是特殊情形.

经过讨论，学生按照点A′相对于△ABC的位置分三种（如图5）：（1）点在内部，如图5（1）；（2）点在外部，如图5（2）～（4）；（2）点在边上，如图5（4）～（5）.最后确定“点在边上”为特殊情形.（注：学生在折叠的过程中基本能将所有情形列出，若学生能根据点A′相对于∠BAC的位置分类更好，不要直接告知，学生会难以接受，可最后进行修正）

图5

3.探究特殊，获得猜想

师：动画1中随着点A的位置特殊化，∠ABC、∠ACB的度数也特殊化，那么本题中，点A′的位置的特殊化，∠1、∠2、∠A′的度数是否也随之特殊化？

生1：图5（5）中∠2不见了，这时可看作∠2=0°.图5（5）中看不出∠1、∠2、∠A′的度数有什么特别之处.

师：好！那我们就从图5（5）入手进行探究，根据此特殊情形能获得什么结论？为什么？

生2：因为∠1是△AEA′的外角，所以∠1=∠A+∠A′.

师：能得到∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系吗？

生3：由折叠可得∠A=∠A′.又∠2=0°，所以可猜想∠1+∠2=2∠A′.

师：我们从图5（5）这种特殊情形得到猜想的关键是找到了与∠1、∠2、∠A′相关的△AEA′，利用三角形的外角得到猜想，即“图形隐含着数量关系，要找关系先找相关图形”.下面我们就可以利用这个结论和解决问题的方法来解决其他一般情形的问题了.

4.借助特殊，解决一般

师：我们先研究图5（1）所示的情形.根据特殊情形的经验，你能找出与∠1、∠2、∠A′相关的图形吗？根据你找出的图形，你能确定哪些角之间的关系？

生4：与∠1、∠2、∠A′相关的图形是四边形AEA′D，根据四边形内角和为360°，可得∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′=360°.

师：∠1、∠2怎么与∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′= 360°联系起来呢？

生2：根据平角的定义可得∠1+∠AEA′=180°，∠2+∠ADA′=180°，所以∠1+∠AEA′+∠2+∠ADA′=360°，所以∠A+∠A′=∠1+∠2，再根据折叠得∠A=∠A′，即可得到结论.

师：主要是找出与∠1、∠2、∠A′相关的图形，如四边形、三角形、平角，然后利用这些图形中角之间的关系，通过转化，将已知角与要求的角联系起来，从而解决问题.请大家再思考一下，我们在研究图5（5）所示的情形时，用到了△AEA′，但是本图形中却没有这个三角形，我们有办法让它出现吗？

生5：连接AA′，……

师：这个思路实际上就是类比，即将一般与特殊进行类比，寻找它们之间类似的东西，然后将一般情形转化为与特殊情形类似的情形来解决问题.

其他几种情形，在教师同样方法的引导下，大部分学生都能自主解决.

5.反思总结，促智生慧

（1）先让学生对图5中的各个结论进行观察，然后对分类进行修正，得到结论与三角形没有关系，应该根据点A′相对于∠BAC的位置将结果分为三种情形.

（2）引导学生对特殊化思想应用的关键点进行总结，即如何寻找特殊情形，如何运用特殊情形获得的结果和解决问题的方法去探究一般情形.

（3）回顾问题解决的过程，引导学生总结解决问题过程中用到的数学思想方法和相关知识.

（4）总结解决与图形有关的几何问题的一些基本套路，即要认真分析条件和结论，而分析条件和结论就是将它们与相关“基本图形”结合起来，利用这个“基本图形”的性质，获得相应的结论，有时图形中不一定有与它们匹配的“基本图形”，这时还需联想相关知识作辅助线构造出相关的“基本图形”，再利用这个“基本图形”的性质，获得相应的结论，从而达到解决问题的目的.

二、教学反思

章建跃教授在文中指出：“我们要把学生的眼前利益和长期利益结合起来，使学生掌握解题技巧而成为获取高分的能手，同时，还要用数学内在的力量去感化他们，提升他们的内心修为，实现数学育人的崇高目标.”“数学内在的力量”就是数学思维能力，数学教学的核心任务是培养学生的思维能力，数学思想方法教学是培养思维能力的重要途径.

解题教学是数学教学非常关键的一环，不仅关乎学生对数学概念、定理、性质、公式等知识的掌握和综合运用，更是对学生的数学思维方式、思维品质的关键示范.本节课尝试利用解题教学让学生体验“如何在数学思想的指引下，学会运用恰当的方法进行思考”的数学思维方式，促进学生学会数学地思考.这种课型的实施需要注意以下几个方面.

1.教学内容的选择

这种课型的关键是如何将数学思想方法与适当的问题进行匹配，所以问题的选择和设计是我们要重点思考的内容.同时，这种课型应该在单元或章节结束时进行，每章进行2～3次即可.苏科版教材中有许多有关数学思想的阅读材料，章节复习中有单独的数学思想方法的归纳，习题中有丰富的典型性很强的习题，将它们结合起来，会得到丰富的教学素材.通过与问题的整合，可以充分发挥阅读材料的价值，更大程度地发挥阅读材料的作用.教学前可将课本单元或章节涉及的数学思想方法进行归纳分析，再从课本练习题中寻找综合性较强的问题作为载体进行教学，这样可以在进行数学思想教学的同时，促使我们深入研究挖掘课本习题的典型意义，并将其进行变化拓展，这样更能发挥习题的导向作用，充分展示典型性习题蕴含的丰富价值.

2.教学过程的展开

我们的许多课例都是“举一些例子让学生做，然后总结出其中隐含的数学思想方法”.这样做的目的是为了让学生体验数学思想的作用，然后在潜移默化中积累经验学会应用.但是有时候“话也要明说”，本节课就是要学生明确学会一个基本套路“在数学思想的指引下，学会运用恰当的方法进行思考”.本节课首先引导学生体验特殊化思想的一些应用，然后按照特殊化思想运用的具体步骤：操作分类，再找特殊，特殊探究，类比特殊解决一般，引导学生一步一步深刻地体验特殊化思维的过程.在探究的过程中，不断地进行提示、总结，为学生指明方向，积累经验，最终获得运用特殊化思想解决问题的能力.所以在教学时，首先注意问题设计要体现一些基本套路，如特殊化的套路，我们要思考一些数学思想方法究竟是怎样实施的，而不能只有名称，没有套路，最终只是会总结，却不会用；其二，要注意让学生真正体会，也就是要让学生不断经历、体验各种数学活动的过程，并及时总结.

1.章建跃.发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益［J］.数学通报，2013（2）.

2.潘红玉.类比推理让规律探究更深入——由一则教学案例谈起［J］.中学数学（下），2015（4）.Z