类比法在中学数学教学中的应用

邹丽萍

(吉林市第十六中学校,吉林吉林132021)

类比法在中学数学教学中的应用

邹丽萍*

(吉林市第十六中学校,吉林吉林132021)

类比法是中学数学教学中常用的一种重要方法,也是数学研究最基本的创新思维形式。文章主要探讨了类比法在数学概念和原理教学、探究教学以及解题教学中的应用。

类比法;中学数学;应用

随着全民创新时代的到来,培养学生的创新精神及创造性思维能力越来越被全社会所重视。《义务教育数学课程标准(2011年版)》第三学段数学思考目标中明确要求:“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。”[1]类比是一种合情推理的方法,也是中学数学教学中常用的一种重要方法。教师应有意识地引导学生运用类比法进行大胆地猜想,探索一些数学结论,这有利于培养学生的主动迁移意识,有利于培养学生创新精神,有利于促进学生思维水平的发展。

一、类比法及其在中学数学教学中的作用

客观事物中,存在着一些相互之间有相似属性的事物,在不同的两个或两类事物之间,根据它们的某些属性相同或相似,推导它们在其他属性方面也可能相同或相似的推理方法叫做类比法,也叫类比推理。类比与对比这两种方法是相辅相成的,他们是思维过程中具体的思维表现形式,但他们思维的侧重点不同。类比是发现新旧知识的相同点,利用已有的旧知识,来认识新知识;对比是通过比较,找出一事物区别其他事物的特点,即找出不同点。

类比法是数学方法中最基本、最重要的内容之一。德国数学家普勒说:“我珍视类比胜于任何的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容易忽视的。”[2]类比的基础是数学对象形式结构的相似或接近,通过对两个以上的类似对象的比较,去获得新思路和新发现。在中学数学教学中,运用类比法的作用有以下几点。

1.中学数学常见的类比是学生通过类比推理从已有知识(或方法)中学习新知识(或方法)。在教学中,采用类比法有助于学生对基础知识的理解、掌握和运用,有助于学生将已学知识与新知识进行类比,促进知识的正迁移,揭示新知识的本质。从心理学来看,类比就是要通过顺应将旧知识适当改变后再纳入新知识的体系之中。

2.类比推理是一种合情推理,不是证明,它无法保证已知的属性与推出的属性之间有必然的联系,但它是获得新思路、新发现的一种想法。虽然想法不是事实,不能被客观观察,不能被实验验证或被逻辑证明,但它也是人对某事的感觉或思考。类比法为学生知识的学习和问题解决提供新的思维空间。类比和对比能帮助我们建立猜想,以猜想作为研究问题的线索。

3.类比是探索问题的重要方法,由类比推理获得的结论不一定正确,但它却是进行探究、获得猜想的重要方法。康德说:“每当智力缺乏可靠性论证思路时,类比往往能指引我们前进。”推广、特殊化和类比是人类发现真理的有力钥匙,类比法是数学探究性学习的行之有效的思维切入点。类比思维是从特殊到特殊或从一般到一般,而非从特殊到一般或从一般到特殊的思维过程。

二、类比法在数学概念和原理教学中的应用

数学知识之间的相似性为类比法的应用提供了条件。例如,在学习分式时,由于分式与分数的结构相似,分式一章内容的教学,可以采用类比的方法。教学的关键是要与分数作类比,构建分式的概念,得出分式有意义的条件、分式的基本性质及分式的四则运算法则。类比法的优点是能够把新知识纳入到学生原有知识体系中,学生容易接受、理解和掌握。同时分式概念的外延也可与分数概念做类比,把分式理解为是整式与整式相除,且分母含有字母的整式。又如,在讲解相似三角形判定时,相似三角形判定定理可以通过类比全等三角形判定定理得到。相似三角形与全等三角形不是同一属性的两类事物,但因他们具有三角形某些相同的属性,通过相似三角形与全等三角形判定条件的类比,较容易找到他们相似的属性(对应边成比例或对应角相等),类比得出两个三角形相似的判定定理。此外,通过类比法进行数学内容教学应用的例子还有很多,如二次根式的加减法运算法则与合并同类项、一元一次不等式定义与一元一次方程定义、多边形定义与三角形定义等。运用类比法教学,学生在学习过程中能较轻松地接受新知识,实践也证明用类比法教学,学生掌握的知识更扎实,知识的理解也较好。

三、类比法在数学探究教学中的应用

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果。”在解决问题的过程中,合情推理用于探索思路,发现结果。类比是合情推理具体的思维形式之一,因此教师应该引导学生经历和体验用类比方法发现和解决问题的过程。以《一元一次不等式和它的解法》一课为例,教材编写目标之一主要是通过本课程内容的学习,让学生根据已有一元一次方程的知识和解题经验,尝试运用类比方法处理一元一次不等式相关内容。因此教师在进行教学设计时,首先要在复习不等式三个基本性质和一元一次方程的基础上,使学生整体感知已学的一元一次方程的概念和解法。然后,引入一元一次不等式,安排学生互动环节,引导学生探索新知。学生通过观察、对比一元一次不等式与一元一次方程内容的异同点,类比一元一次方程的概念和解法,就可以得到一元一次不等式的概念和解法。学生可以通过归纳概括得出解一元一次不等式的五个步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项和未知数的系数化为1。最后,教师再引导学生反思:解一元一次不等式的理论依据是什么?引导学生探讨在解题过程中应该注意什么。教师最后再强调:在“去分母”和“系数化为1”时,要运用不等式基本性质3(不等式两边同时乘以或除以同一个负数时,不等号需要改变方向)确定不等号的方向,这也是教学的难点。

四、类比法在数学解题教学中的应用

在数学解题过程中,学生在充分分析和理解题目的基础上,如果不能马上想到解题方法,尝试联想、寻找曾经做过的类似题目是有帮助的。学生在尝试去解一道数学题目时,如果能想到一道更为简单的类似题目,利用相同或相似结论的熟悉定理去解题,说明学生具有较强的迁移能力和问题解决能力,这样学生就会容易解出题目。例如,有一道题是这样的,“一个三角形的两边长为8和10,则它的最短边a的取值范围是____,它的最长边b的取值范围是____。”此题考查三角形三边关系定理和最值问题。若学生能类比原来做过的题目“已知三角形的两边长为8和10,则第三边长的取值范围是多少?”解答此题就容易多了。在几何教学中,应用类比的方法寻求解题途径的例子不胜枚举,比较常见的类比运用是空间与平面的类比,这属于高维与低维的类似。例如,判定空间平面之间的位置关系与平面直线之间的位置关系。又如,在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4。类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为1∶8。

类比法在中学数学有很多种运用方式,教师要善于挖掘,尝试应用,以提高学生的数学思维水平。

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012:6.

[2]马波,邓文红,张晓东.类比——中学数学有效教学的重要方法[J].数学通报,2013(9):14-17.

[责任编辑:知然]

Application of Analogy in Middle School Mathematics Teaching

ZOU Li-ping
(Jilin No.16Mid dle School,Jilin,Jilin132021,China)

Analogy method is both an important method in middle school mathematics and the most basic form of creative thinking in mathematics research.This paper mainly discusses the application of analogy in the teaching of mathematical concepts and principles,in the inquiry teaching and in the teaching of solving problems.

analogy;middle school mathematics;application

G633.6

A

1008-388X(2015)04-0027-02

2015-10-15

邹丽萍(1966-),女,吉林吉林人,中学一级教师。