基于ARMA模型的GPS钟差预报改进研究

黄孝增

(中山市测绘工程有限公司，广东 中山528405)

一、引 言

目前，国内外学者对钟差模型的预报已有大量的研究。在短期预报时通常采取二次项拟合模型;而在长期预报时，基于灰色模型的钟差预报法是一种比较好的方法。但这两种预报模型仅仅是在钟差的趋势项上建立钟差的函数模型，而不考虑钟差的随机部分。针对钟差随机项的建模，目前主要采用时间序列模型来进行。

本文利用传统的预报模型二次多项式与灰色模型提取钟差中的随机项，利用时间序列模型ARMA、AIRMA对钟差随机进行建模分析，在一定程度上提高了预报模型的精度，解决了预报滞后的问题。

二、GPS卫星钟差预报理论方法

1．二次多项式模型

该模型是将二次幂函数作为拟合的目标函数，对已知的钟差数据进行拟合，并估计参数a0、a1、a2，从而得到拟合后的钟差模型

式中，Xi为钟差;a0、a1和a2分别为钟差、钟速和钟漂。

2．灰色模型

设X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，其中，X(1)为X(0)的1-AGO序列，Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列，z(1)(k)=0．5x(1)(k)+0．5x(1)(k－1)

对于GM(1，1)模型

通过对模型求解可得

3．ARMA模型

由于IGS提供的精密星历是等间隔排列的时间序列，可以通过时间序列分析对精密钟差建立尽可能合适的统计模型，而大量的时间序列观测样本都表现为趋势性、周期性和随机性，因此，每个时间序列或经过适当函数变换的时间序列，可以表示成3个部分的叠加，如下

式中，Tt是趋势项;St是周期项;Rt是随机噪声项;时间序列Xt是三者的叠加。通常认为趋势项Tt是时间t的实值函数，是非随机的，随机噪声项Rt是本文重点考虑的部分，通过ARMA模型来进行建模。

如果序列Xt的当前值不仅与自身的过去值有关，还与其进入系统的外部干扰存在一定的依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部干扰，这种模型叫作自回归滑动平均模型(autoregressive-moving average model)，即ARMA(p，q)模型，一般形式为

式中，φ1，φ2，…，φp为自回归系数，θ1，θ2，…，θp为移动平均系数。

对模型参数进行矩阵估计后，可解得

三、基于ARMA模型的钟差预报

通过上面3步建立好模型后，就可以对数据进行处理。第一阶段使用传统模型对GPS钟差进行建模，提取趋势项。

1．短期预报

本次数据是在IGS官网下载的名为igs16770．clk_30s的钟差数据，钟差数据为2012年2月26日1整天24 h的数据。短期预报对于二次多项式，采用2012年2月26日0时—6时共6 h的数据建模预测未来6 h的钟差，即6时—12时的钟差。灰色模型则采用15个初始历元的数据。本算例对ASG03和ASG17两颗卫星进行分析。G03号卫星采用MA(1)模型，G17号卫星则采用ARMA(3，1)模型。如图1、图2所示。

图1 G03卫星短期预报对比

图2 G17卫星短期预报对比

通过对比图，可以对模型的拟合程度有一个大致了解，为了更加直观地表示出几个模型之间的精度，采用表格的方式对上述模型作精度评估，见表1。

通过表1的对比分析可以看出，基于时间序列分解的钟差预报模型，其预报精度明显高于传统的预报模型精度，究其原因是因为时间序列模型在建模过程中充分考虑了钟差数据中的随机项，因而数据的拟合程度更高，误差更小。

表1 短期预报精度统计

2．长期预报

与短期期预报类似，长期预报对于二次多项式，采用2012年2月26日0时—6时整共6 h数据建模，预测未来42 h的钟差，即6时到2月27日24时整的钟差。灰色模型分析精密钟差数据，两个历元之间的钟差数据差值比较大，因此灰色模型长期预报采用30个初始历元值，以保证模型的精确度。

与短期预报一样，利用Eviews时间序列软件建模，G03号卫星采用AR(1)模型，G17号卫星则采用ARMA(3，1)模型。如图3、图4、表2所示。

图3 G17卫星钟差长期预报模型

图4 G03卫星长期预报模型对比

通过表2的对比分析发现，基于时间序列模型具有可行性，它提高了传统预报模型的精度，同样可以应用于实际中的GPS高精度的定位。

3．基于时间序列的小结

由算例结果对比表1和表2，说明了二次多项式模型在短期预报中相对灰色模型具有优势，而灰色模型则在长期模型中比二次多项式模型的精度更高。在时间序列分解模型，将钟差分解为趋势项和随机项，利用传统预报模型提取趋势项，再用时间序列模型对剩下的随机项建模分析，最终得到了更加理想的钟差预报模型。

表2 长期预报精度统计表

四、结论与展望

本文主要研究的是GPS钟差预报，传统的GPS钟差预报模型只考虑钟差的趋势项，没有其中的随机项，本文在传统预报模型的基础上，用时间序列模型ARMA对随机项建模分析。

在短期预报中，采用了3种方法进行预测:①二次多项式，利用6 h钟差数据预报未来6 h钟差;②灰色模型，利用15个初始历元数据，预报未来6 h数据;③与基于时间序列分解的预报方法(趋势项由二次多项式提取)。

在长期预报中，同样采用3种预报模型:①二次多项式，利用6 h钟差数据，预报未来42 h钟差数据;②灰色模型，采用30个初始历元数据，预报未来42 h钟差;③基于时间序列分解模型(趋势项由灰色模型提取)。

通过算例得出了以下几个结论:①二次多项式模型在短期预报中较灰色模型预报精度高;②灰色模型在长期预报中较二次多项式精度高;③基于时间序列模型的模型精度达到了0．01 ns以上精度;④基于时间序列的钟差模型可以在实际中得以应用。

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