希尔伯特-黄变换下的磁悬浮陀螺仪数据处理方法研究

时丕旭，杨志强，计国锋

(长安大学地质工程与测绘学院，陕西 西安710054)

一、引 言

GAT磁悬浮陀螺全站仪是一种采用高速旋转的磁悬浮陀螺敏感地球自转角动量，并利用力矩平衡反馈法对陀螺角动量轴线与子午线夹角进行的精确测定以确定真北方向的一种精密定向仪器［1］，其观测数据为两组电流值，分别为定子电流数据和转子电流数据。通常应用于地下工程，如隧道、矿山、地铁等的贯通测量工作，为地下工程提供精确的方位角检核条件［2］。然而，由于施工现场环境的复杂性，在实际观测过程中，通过传感器采集的信号，受到诸如温度、湿度、振动等对传感器的干扰，使得信号受到噪声的污染，因此要得到高精度的陀螺数据通常需要对信号进行去噪处理，进而提高磁悬浮陀螺全站仪观测结果的精度。

本文针对磁悬浮陀螺数据中的随机噪声，提出了一种新的时频分析方法——希尔伯特-黄变换，引入了固有模态函数(IMF)的概念，在经验模式分解(EMD)的基础上，对每个IMF进行Hilbert变换得到瞬时频率，从而将信号精确表示为频率-时间-能量(或者幅度)的分布，称为Hilbert谱。HHT是基于信号局部特征的，能对信号进行自适应、高效分解，特别适用于分析非线性、非平稳信号，能最大程度去除信号的干扰成分，还原信号的有用信息。

二、希尔伯特-黄变换原理

希尔伯特-黄变换方法(HHT)处理数据主要包含两个步骤:第1步是对原始数据进行经验模式分解(EMD)，分解完成后会得到有限阶的固有模态函数(IMF);第2步是对分解后的每一阶IMF函数进行Hilbert变换，得到每阶IMF在时频平面上的能量分布图，即Hilbert谱。

1．黄变换

黄变换是基于这样的假设:任何复杂信号都是由简单的固有模态函数组成的，每个模态可以是线性和平稳的，也可以是非线性和非平稳的，但这些模态都有一个共同的特点，那就是在整个信号长度内，每个模态具有相同数目的极值点和过零点，并且满足“零均值”条件。这种方法的本质是通过信号特征尺度来获取固有模态函数。特征尺度定义为相邻极值点的时间跨度。根据特征尺度的概念，黄变换采用“筛”的过程，将原始信号中各固有模态信号层层分解出来。

固有模态函数(IMF)必须满足两个条件:①在整个数据集中，极值数和过零点数相等或最多差1;②在任一点，有局部极大值构成的包络和有局部极小值构成的包络均值为零。经验模式分解(EMD)是将信号分解成IMF的组合，经验模式分解是借着不断重复的筛选来逐步找出IMF［3］，基本过程如下。

1)找出原始信号s(t)中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串联成下包络线。

2)求出上下包络线的平均值，得到均值包络线m1(t)。

3)原始信号s(t)与均值包络线相减，得到第一个分量h1(t)

4)检查h1(t)是否符合IMF的条件。如果不符合，则返回步骤1)并且将h1(t)当作原始信号，进行第二次筛选。即

重复筛选k次

直到hk(t)符合IMF的条件，即得到第一个IMF分量c1(t)，即

5)原始信号s(t)减去c1(t)可得剩余量r1(t)，即

6)将r1(t)当作新的资料，重新执行步骤1)至步骤5)，得到新的剩余量r2(t)。如此重复n次

当第n个剩余量rn(t)已成为单调函数，将无法再分解IMF时，整个EMD的分解过程完成。原始信号s(t)可以表示成n个IMF分量与一个平均趋势分量rn(t)的组合，即

这样，原始信号便分解成n个IMF和一个趋势函数，即可将IMF做希尔伯特变换进行瞬时频率的分析。

2．希尔伯特变换

希尔伯特变换是信号分析中的重要工具，当给定一个连续的时间信号x(t)，其Hilbert变换定义为

对每个IMF进行Hilbert变换后，可得

这里省略了残余函数r，Re表示取实部。展开式为Hilbert幅值谱，简称Hilbert谱

HHT中的边际谱可利用Hilbert谱进行定义，即

而表示信号s(t)的第k个分量的边际谱。

三、陀螺数据处理分析

陀螺仪观测数据的核心是转子电流与定子电流采样数据。根据目前磁悬浮陀螺仪内置程序设计，在一个寻北测回中，共采集40 000组转子电流与定子电流数据，其中回转前后的两个精寻位置各采集20 000组数据，真北方向计算的关键数据就是这40 000组数据，由转子电流数据和定子电流数据共同确定指向力矩来最后计算陀螺旋转轴的北向偏角。为了验证希尔伯特-黄变换方法的可靠性，笔者在不同的观测环境下采集磁悬浮陀螺数据，分析不同分布形态的转子电流的滤波效果。

1．定子电流处理与分析

在观测过程中，定子电流数据与转子电流数据同步采样。与转子电流数据相比较，定子电流数据具有显著的平稳性，大量的数据分析显示，定子电流数据对测量环境变化不敏感，从数据分布形态到数量级都具有明显的一致性，表现出近似正态分布或近似白噪声特征［4］。定子电流的这种特征与采集定子电流的定子固定于壳体上不能转动的物理特性是相符的。

通过大量的试验和分析可以得出，定子电流数据是一个均值非常平稳、均方差较平稳的数据序列;定子电流数据可以理解为是一个常值加白噪声的分布形态。但定子电流中含有大量的高频噪声，对此本文采用希尔伯特-黄变换的滤波方法对定子电流数据进行处理，来滤除其高频噪声。笔者取试验中的定子电流数据进行EMD分解，得到15个IMF函数，从低阶到高阶依次滤除高频噪声，并计算去噪后的均值和均方差的值，见表1，各阶的滤波结果对比图如图1所示。

图1 各阶滤波结果对比图

表1 滤去各阶IMF后的均值和均方差

从表1可以看出，无论去至哪一阶的IMF，电流均值保持不变，这也说明了电流均值的平稳性。从图1各阶滤波结果对比图和表1的均方差可以看出，依次滤除各阶IMF后，电流分布图逐渐变得平滑，均方差逐渐减小。最后滤波结果趋近于电流值为－0．063 2 A的直线，这和采集定子电流数据的定子运动规律和物理状态是相符合的。通过滤波，笔者看到了剥离噪声后定子电流数据的本质，这说明了EMD滤波［5］方法对于定子电流去噪的有效性。

因此，在最后计算方位角时，对定子电流首先进行数据差分，剔除粗差，然后进行去噪处理，利用去噪后的数据进行方位角计算。

2．转子电流的处理与分析

力矩器转子位于灵敏部的下方，转子电流会随着灵敏部悬浮状态和陀螺旋转轴的变化而变化。因此，转子电流的变化将反映反向力矩的变化。在不同的环境下，由于干扰力矩的不同导致获取的反向力矩不同，从而采集的转子电流数据时间序列以不同的走势表现出来。常见的转子电流的分布有3种情况:具有显著周期的转子电流数据;具有不明显周期和受外界干扰的转子电流数据;类似于定子电流分布的转子电流数据。

相对于定子电流数据的平稳性及其白噪声(近似白噪声)影响的情形，转子电流数据序列表现出明显的系统运动特征与白噪声(近似白噪声)影响特征。更为严重的问题是，由于转子运动系统对环境因素变化的高度敏感性，甚至可能发生在观测环境条件突变时，产生观测数据突然跳变，表现出显著的非线性特征。因此，本文采用针对非平稳非线性数据的希尔伯特-黄变换处理方法。以下分3种情况进行说明。

(1)具有显著周期的转子电流数据

取试验中具有显著周期的转子电流数据进行说明，其原始数据分布如图2所示。

图2 具有显著周期的转子电流数据分布图

从图2中可以看出转子电流数据具有明显的周期性，说明当时的观测条件良好，受到的干扰较小。数据表现出低频波幅的特征，同时含有大量高频噪声。首先对其进行EMD分解，滤除高频噪声。然后对分解产生的IMF函数进行希尔伯特变换，建立每一阶IMF函数所对应的边际谱，分析数据的波动情况。

对该数据进行EMD分解后共产生12个IMF函数，并对每一阶的IMF建立边际谱，如图3所示。从上到下，频率依次从高到低，时间尺度依次增大，边际谱中的能量也依次减小，最后一个IMF为趋势项，代表了数据序列的整体趋势。

图3 EMD分解后的IMF函数和边际谱

图3(续)EMD分解后的IMF函数和边际谱

边际谱中某一频率的能量存在则反映出在整个时间轴上有这样一个频率的振动波在局部出现过，即某一频率的能量出现时就表示一定有该频率的振动波出现［6］。从图3可以看出，从上到下边际谱中的能量依次减弱，到9阶IMF函数的边际谱时，已看不到其频率的能量出现，即不存在振动波。因此可以断定，到9阶IMF函数时，其噪声已不存在，只需滤去前8阶的IMF函数即可。

试验中的转子电流数据表现出低频周期波幅图像，从上到下依次滤去高频的IMF函数，滤波结果如图4所示。从图4中可以看出信号的噪声逐渐被滤掉，信号变得越来越光滑，越来越清晰。每滤掉一阶IMF函数，对剩下的信号进行重构［7］，并求取重构信号的均值和均方差。

图4 逐阶滤波各层效果对比图

表2 依次滤去各阶IMF后重构信号的均值与均方差

从表2中可以看出，去掉前8阶IMF后，其均方差达到了±1．011 9×10－5，并且前8个均值基本保持一致。当继续再往下滤波时其均值发生了很大的变化，并且Matlab图像也发生了很大的变化，与原始图像的走势发生很大的背离。因此对于该数据，笔者可以认为前8阶IMF函数为高频噪声数据序列，后4阶低频IMF函数包含了原始数据的绝大数有用信号。滤波最终结果如图4所示。

(2)具有不明显周期和受外界干扰的转子电流数据

本文以试验中受干扰的转子电流数据为例，该数据受到外界环境干扰较大，电流数据分布不规则。对数据进行EMD分解，逐阶对它进行滤波，去掉相关的高频噪声数据。并逐阶计算重构信号的均值与均方差值，随时观察滤波后的图像，并与原始图像进行对比。转子电流数据经EMD分解后产生了14个IMF函数(这里分解后的IMF函数和边际谱不再显示)。同样，从低阶到高阶，时间尺度依次增大，代表了原始数据序列频率从高频到低频的分布。从产生的边际谱分析可知，到9阶IMF函数的边际谱时，振动波已不存在，说明已没有噪声，剩余的为有用信号，因此，去掉前8阶的IMF函数即可。

图5 滤波结果对比图

图5显示了原始数据，去掉2阶IMF函数，去掉5阶IMF函数以及去掉8阶IMF函数的转子电流分布图。从图5中可以看到在数据波动较大的区域，滤波结果的对比效果比较明显，这说明在数据波动较大的采样区域，噪声严重干扰了原始信号，掩盖了原始信号所要表达的信息。经过EMD去噪，去除了高频噪声对原始信号的掩盖，信号的有用成分得以还原［8］。

(3)类似于定子电流分布的转子电流数据

以试验中受干扰的转子电流数据为例，该数据分布与定子电流类似，说明观测条件良好，观测过程中受到的干扰很小。通过对数据进行EMD分解，分解为14个IMF函数，并建立每个IMF函数的边际谱(这里分解后的IMF函数和边际谱不再显示)，从产生的边际谱分析可知，到9阶IMF函数的边际谱时，振动波已不存在，说明已没有噪声，剩余的为有用信号，因此，去掉前8阶的IMF函数即可。滤波结果如图6所示。

图6 滤波结果对比图

虽然该转子电流数据与定子电流分布图相似，但却与定子电流数据有本质的区别。从滤波结果图可以看出，类似定子电流的转子电流数据分布曲线以很小的幅度在均值附近做上下摆动，而并不是像定子电流那样以直线的形态完全集中于均值。这就是它和定子电流的本质区别。

四、结 论

本文分析了磁悬浮陀螺数据的特性，针对转子电流非线性非平稳性的特征，提出了一种希尔伯特-黄变换的方法。该方法对IMF函数建立的边际谱能很直观地判断噪声的存在性，对于去除高频噪声，还原信号的有用成分是十分有效的。希尔伯特-黄变换非常适合于分析非线性非平稳数据，完全自适应，并且不受Heisenberg测不准原理的制约。对陀螺数据的处理结果可以看出，希尔伯特-黄变换方法能有效去除随机噪声，还原信号的有用成分，最终提高陀螺的定向精度。

［1］ 石震，杨志强，杨帅，等．基于度盘配置法的陀螺定向新方法及相关问题研究［J］．测绘通报，2011(2):87-89．

［2］ 李慧茹，杨志强，石震，等．Vondrak滤波在磁悬浮陀螺全站仪数据处理中的应用［J］．地球科学与环境学报，2012，34(4):107-110．

［3］ 黄光南．希尔伯特-黄变换及其在地震资料分析处理中的应用［D］．青岛:中国海洋大学，2009．

［4］ 杨建华．GAT磁悬浮陀螺全站仪自动化与陀螺仪观测数据分析［D］．西安:长安大学，2011．

［5］ 贾嵘，徐其惠，田录林，等．基于经验模态分解和固有模态函数重构的局部放电去噪方法［J］．电工技术学报，2008，23(1):13-18．

［6］ 钟佑明，秦树人，汤宝平．希尔伯特-黄变换中边际谱的研究［J］．系统工程与电子技术，2004，26(9):1323-1326．

［7］ 王英，曾光宇．基于小波的EMD去噪法应用于心电信号去噪［J］．数值计算与计算机应用，2011，32(4):274-282．

［8］ 张爱能．希尔伯特-黄变换方法在GAT磁悬浮陀螺以数据处理中的应用［D］．西安:长安大学，2014．