有色观测噪声下的无迹卡尔曼滤波算法

邹 韬，赵长胜，丁圳祥

(江苏师范大学城乡规划设计研究院，江苏 徐州221116)

一、引 言

在处理有色噪声作用下的非线性问题时，柯晶［1］、周华东［2］等采用扩展卡尔曼(EKF)滤波对强非线性系统进行相应的跟踪处理。但是EKF模型线性化误差可能会影响滤波的精度，甚至导致滤波发散。在任意非线性条件下，Julier等［3］证明无迹卡尔曼滤波(UKF)能以二阶以上精度来描述系统的后验均值及协方差;Leven等［4］在多目标跟踪方面，得出UKF精度优于EKF跟踪精度等，证明了UKF在目标跟踪、信号处理等领域中的优点。

经典UKF要求噪声是高斯白噪声，实际上，不同系统的噪声不一定表现出高斯特性，如GPS动态定位中观测误差和动力学模型是具有一定时空相关、异常特性的有色噪声［5］。

本文在最小方差估计的基础上，对观测信息进行扩增，将其转换为白噪声，再利用UT变换计算后验均值及协方差。最后通过实测数据验证了该算法的可行性、有效性。

二、非线性离散系统描述

非线性离散系统下的一般状态方程和观测方程可表示为

式中，两式分别表示系统的状态模型和观测模型;f()、h()分别表示非线性状态转移函数及非线性观测函数;xk∈R，为nx×1维随机状态向量;zk∈R，为nz×1维随机观测向量;uk∈R，为nu×1维控制向量;wk∈R，为nw×1维系统噪声向量;vk∈R，为nv×1维观测噪声向量。此处wk为高斯白噪声，其方差为Qk，vk为有色噪声。

设vk为有色噪声，满足一阶AR模型，即

式中，ηk为高斯白噪声，其方差为Rk。

一般情况下，解决有色噪声下非线性问题都是先对其线性化，但是对于强非线性系统，必然会引起较大的线性误差。

三、观测噪声为有色噪声作用下无迹卡尔曼滤波算法

1．有色观测噪声改化

利用观测信息扩增法［6］对有色噪声进行改化，由式(1)可知

结合式(2)，可得

结合状态方程，可得有色噪声下非线性系统

式中，ηk、wk为互不相关的高斯白噪声。而且，原观测信息Zk+1={z1，z2，…，zk+1}所含信息量与现观测信息

2．有色观测噪声下的无迹卡尔曼滤波算法流程

1)状态一步预测值及其方差

2)新状态xkk+1一步预测及其方差为

3)预测输出值及方差为

4)计算互协方差为

式中

5)获取更新后的观测值及其方差为

式中，Kk+1=P~xk+1~z*k+1为增益矩阵。以上给出的是一种基于模型(6)的最优高斯滤波。由于模型(6)与模型(1)间的等价性，模型(6)递推得到的最优滤波解就是模型(1)在有色观测噪声下的最优解。最优滤波中分别表示状态估计先验分布、Pk，在k时刻经非线性函数f()传递后的后验均值、协方差及互协方差。

四、有色噪声作用下新状态向量及观测向量计算、推导

UT变换的重点是确定Sigma点的个数，本文以最常用的对称采样为例，具体方法如下

其对应的权值为

式中，κ为比例系数，用于调节χ与x之间的距离。实际计算中，为了保证Px的非负定性及滤波的稳定性，对其进行Cholesky分解，即平方根算法(SRUKF)［9］。

在上一章的基础上，本章主要给出有色观测噪声下的UKF滤波算法公式的计算推导。

1)选定采样策略(本文以对称采样为例)，计算Sigma采样点χi，k(k=0，1，…，L)。通过非线性函数fk传递

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则状态一步预测值及其方差为

2)通过扩维采样［10］和非线性观测函数hk传递，的Sigma点集可表示为

则xk+1、xk的后验均值为

则

互协方差为

将式(15)—式(19)代入式(7)—式(12)中，即可得到相应的后验均值及方差。

五、算例分析

在某已知点上安置一台GPS接收机，进行静态单点定位，接收机采样间隔10 s，取其平稳状态观测次数100次。动力学模型采用常速(CV)模型［11］，观测模型采用伪距观测方程［12］，其中，系统噪声w为零均值白噪声，观测噪声v为有色噪声，满足v(k)=0．7*v(k－1)+η(k)。滤波的初始状态估值X0及其协方差P0分别给定为

状态噪声w协方差矩阵Q和观测噪声η协方差矩阵R分别给定为

分别采用传统UKF与本文算法，将二者的滤波估值分别与真实值比较。二者计算得到的均方根误差RMSE见表1。

表1 传统UKF与本文算法RMSE值比较

坐标差值比较如图1—图3所示。

图1 X坐标方向上误差

图2 Y坐标方向上误差

图3 Z坐标方向上误差

不难发现，传统UKF对状态X、Y、Z的估计曲线效果不佳，其相应的RMSE值也随时间迅速积累，这充分说明了传统UKF算法在有色噪声非线性估计问题上受到较大的影响，定位跟踪精度也随之降低。而本文算法在X、Y、Z方向上精度则得到大大提高。通过分析以上计算结果，本文算法相对于传统UKF，有效地抑制了有色噪声的影响，提高了定位精度。

六、结束语

在实际应用中，噪声经常以非高斯形式出现，而传统的UKF算法，必须严格假设系统和观测噪声均为高斯白噪声，这在一定程度上降低了结果精度。对此，本文通过对实际数据进行试验，得出该算法可以在一定程度上抑制有色噪声的“污染”。

另外，实际情况中噪声往往是多样性的，而本文直接定义观测噪声为最简单的一阶AR模型，不能准确地反映噪声的形式。如何对有色噪声进行建模，还需要作进一步研究。

［1］ 柯晶，钱积新．加性复合有色噪声干扰下的强跟踪滤波器［J］．仪器仪表学报，2003，24(1):19-22，30．

［2］ 周东华，王庆林．有色噪声干扰的非线性系统强跟踪滤波［J］．北京理工大学学报，1997，17(3):321-326．

［3］ JULIER S J，UHLMANN J K，DURRANT-WHYTE H F．A New Approach for Filtering Nonlinear Systems［C］∥Proceedings of the 1995 American Control Conference．Seattle:IEEE，1995:1628-1632．

［4］ LEVEN W F，LANTERMAN A D．Unscented Kalman Fiters for Multiple Target Tracking with Symmetric Measurement Equations［J］．IEEETransactions on Automatic Control，2009，54(2):370-375．

［5］ 崔先强，杨元喜，高为广．多种有色噪声自适应滤波算法的比较［J］．武汉大学学报:信息科学版，2006，31(8):731-735．

［6］ 赵长胜．有色噪声滤波理论与算法［M］．北京:测绘出版社，2011．

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［9］ 赵琳，闫鑫，郝勇．基于迭代平方根UKF的SLAM算法［J］．弹箭与制导学报，2011，31(1):157-160166．

［10］ 黄铫，张天骐，李越雷，等．一种扩维无迹卡尔曼滤波［J］．电子测量与仪器学报，2009，23(S0):56-60．

［11］ 杨元喜．自适应动态导航定位［M］．北京:测绘出版社，2006:168-178．

［12］ 王爱生．GNSS测量数据处理［M］．徐州:中国矿业大学出版社，2010．