整体法巧解定点、定线问题
2015-03-27王朝璇
王朝璇
我们在研究某些解析几何中的定点、定线的问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考查问题的“视角”，将需要解决的问题或问题的一部分看作一个整体，进行整体分析、变形或转换，以达到简洁明快地解决问题的目的.
设而不求
例1 已知抛物线[C]的顶点为原点，其焦点[F0，cc>0]到直线[l]：[x-y-2=0]的距离为[322].设[P]为直线[l]上的点，过点[P]作抛物线[C]的两条切线[PA，PB]，其中[A，B]为切点.
（1）求抛物线[C]的方程;
（2）当点[Px0，y0]为直线[l]上的定点时，求直线[AB]的方程.
解析 对于（1），容易求出抛物线[C]的方程为[x2=4y].
对于（2），已知直线通过定点，要写出直线的方程，按照常规方法，还需要求出另一点的坐标或者求出直线的斜率[k]，这个计算量是比较大的.我们换个思维方式，寻求[A]，[B]两点所满足的关系式.首先设出点[A]，[B]的坐标，不求出它们的坐标，而是通过切线[PA，PB]的方程观察规律，然后利用两点定线写出直线[AB]的方程.
由[x2=4y]，有[y=14x2]，求导得[y=12x].
设[Ax1，y1]，[Bx2，y2]（其中[y1=x124]， [y2=x224]），
则切线[PA，PB]的斜率分别为[12x1]，[12x2]，
所以切线[PA]的方程为[y-y1=x12x-x1]，
即[x1x-2y-2y1=0]，
同理可得，切线[PB]的方程为[x2x-2y-2y2=0].
因为切线[PA，PB]均过点[Px0，y0]，
所以[x1x0-2y0-2y1=0]，[x2x0-2y0-2y2=0].
即点[x1，y1，x2，y2]在直线[x0x-2y0-2y=0]上，
由于两点决定一条直线，
故直线[AB]的方程为[x0x-2y-2y0=0].
点拨 这种“设而不求”的方法在求切点弦的方程时经常用到.
以分求合
例2 设椭圆[E：x2a2+y21-a2=1]的焦点在[x]轴上.
（1）若椭圆[E]的焦距为1，求椭圆[E]的方程;
（2）设[F1，F2]分别是椭圆的左、右焦点，[P]为椭圆[E]上的第一象限内的点，直线[F2P]交[y]轴于点[Q]，并且[F1P⊥F1Q]，证明：当[a]变化时，点[P]在某定直线上.
解析 对于 （1），容易求出椭圆方程为[8x25+8y23=1].
对于（2），[设F1（-c，0），F2（c，0），P（x，y），Q（0，m），]
[则F2P=（x-c，y），QF2=（c，-m）].
要证明点[P]在某定直线上，就要消去参变量[c]，[m]和方程中的[a].
由[1-a2>0]得，[a∈（0，1）].
进一步有[x∈0，1，y∈0，1].
又[F1P=（x+c，y），F1Q=（c，m）]，
[由F2P//QF2]，[F1P⊥F1Q] 得，
[m（c-x）=yc，c（x+c）+my=0，]
消去[m]得，[（x-c）（x+c）=y2]，即[x2-y2=c2].
下面的目标是消去[a]，即用[x]，[y]来表示[a2]，
由[a2=1-a2+c2]有，
[a2=c2+12=x2-y2+12]，[1-a2=-x2+y2+12].
将其代入到[x2a2+y21-a2=1]中，
[2x2x2-y2+1+2y21-x2+y2=1]，
整理后，[x4-2y2+1x2+][y2-12=0]，
因式分解得[x2-y+12?x2-y-12=0]，
即有[x2-y+12=0]或[x2-y-12=0].
又[x∈0，1，][y∈0，1]，
所以[x=1-y].
故动点[P]在直线[x+y-1=0]上.
点拨 解题过程中，有两个分离. 其一是设出点[Q]的坐标，但是没有求出它，而是将它直接分离后消去，得到一个整体[x2-y2=c2]. 其二是没有将[x2-y2=c2]与[x2a2+y21-a2=1]联立求[P]点的坐标，而是将[a2=x2-y2+12]代入椭圆方程，得到[x4-2y2+1x2+y2-12=0]，利用因式分解得到结果. 这种解法各个击破， 看起来是“分”，实际上是“合”.
寻求关联
例3 已知动圆过定点[A4，0]， 且在[y]轴上截得的弦[MN]的长为8.
（1）求动圆圆心的轨迹[C]的方程;
（2）已知点[B-1，0]， 设不垂直于[x]轴的直线[l]与轨迹[C]交于不同的两点[P]，[Q] ，若[x]轴是[∠PBQ]的角平分线， 证明直线[l]过定点.
解析 对于（1），容易求得轨迹[C]的方程为[y2=8x].
对于（2），如图，直线[l]与轨迹[C]交于不同的两点[P]，[Q] ，连结[BP]交抛物线于点[R]，首先要寻求三条直线[BP]，[BQ]和[PQ]的联系.
由于[x]轴是[∠PBQ]的角平分线，所以点[Q]和点[R]关于[x]轴对称.
设直线[BP]的方程为[x=ky-1]，
将其代入到[y2=8x]得，[y2-8ky+8=0].
设[Px1，y1]，[Rx2，y2]，
则[Qx2，-y2].
由根与系数的关系有[y1+y2=8k]，[y1?y2=8].
又直线[l]的方程为[y-y1=y1+y2x1-x2（x-x1）]，
注意到[y21=8x1]，[y22=8x2]，
则有[y-y1=1y1-y2（8x-y12）]，
即[y1-y2y+y1y2=8x]，
即[8x-1+y2-y1y=0]恒成立，
所以[x=1]，[y=0].
故直线[PQ]过定点[1，0].
点拨 在解题的过程中，要注意到点[Q]是一个关键点，它既在直线[PQ]上，也在直线[BQ]上;同时，其关于[x]轴的对称点在直线[BP]上，它与三条直线的斜率都有关系.找出这个关联，解决问题就容易了.
对称变换
例4 如图，过抛物线[y2=x]上一点[P（1，1）]作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线[y2=x]于[A]，[B]两点，证明直线[AB]的斜率为定值.
解析 要证明直线[AB]的斜率为定值，其关键是求出[A]，[B]两点的坐标，即设出直线[PA]和直线[PB]的方程和[y2=x]联解.
由于直线[PA]和直线[PB]的倾斜角互补，其斜率互为相反数，
设[kPA=k1]，[kPB=k2]，则[k1=-k2].
设直线[PA]的方程为[x=ty-1+1]，其中[t=1k1]，
联立[x=ty-1+1，y2=x，]
[y2-ty+t-1=0].
注意到[yP=1]，不必解方程，
由韦达定理有[yA?yP=t-1]，
所以[yA=t-1]，即[At-12，t-1].
同理[B-t-12，-t-1].
所以[kAB=yA-yBxA-xB=][t-1--t-1t-12--t-12=-12].
故直线[AB]的斜率为定值.
点拨 求出[A]点坐标后，考虑到直线[PA]和直线[PB]的关系，注意到两条直线的斜率互为相反数，进行对称变换，用[-t]换[t]，得到[B]点坐标，减少计算量.
整体消元
例5 过点[P（4，1）]的动直线[l]与椭圆[C]：[x24+y22=1]相交于两不同点[A，B]，在线段[AB]上取点[Q]，满足[AP?QB=AQ?PB].
证明：点[Q]总在某定直线上.
解析 证明点[Q]总在某定直线上，就是要把这条直线求出来.
由[AP?QB=AQ?PB]联想到比例形式，再根据共线的性质求解.
设点[Q]，[A]，[B]的坐标分别为[（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2）]，
由题设知[AP，PB，AQ，QB]均不为零，
记[λ=APPB=AQQB]，则[λ>0]且[λ≠1].
又[A]，[P]，[B]，[Q]四点共线，从而[AP=-λPB，AQ][=λQB].
于是有[4=x1-λx21-λ]，[1=y1-λy21-λ]，[x0=x1+λx21+λ]，[y0=y1+λy21+λ].
从而有[x21-λ2x221-λ2=4x0]，①
[y21-λ2y221-λ2=y0]，②
又由于点[A]，[B]在椭圆C上，
∴[x21+2y21=4]，③
[x22+2y22=4]，④
①+②×2并结合③④得，[4x0+2y0=4].
∴点[Q（x0，y0）]总在定直线[2x+y-2=0]上.
点拨 利用线段的定比公式，将点[Q]的坐标用[A]，[B]的坐标表示，注意到[A]，[B]两点在椭圆上，整体考虑①②③④这四个式子的特点，采用整体消元法求出点[Q]的轨迹方程，这种方法在解题中经常用到.
