高等数学教学有效途径探析

马 莹

（安徽理工大学 理学院，安徽 淮南 232001）

对于理工科院校，高等数学总是被列为最重要的基础理论课程之一，因为高等数学是学好其他工科课程（如大学物理、理论力学、材料力学、电工基础等）的基础，也是学好专业课的工具.因此为了提高高等数学的教学质量，对高等数学的课程特点及规律性进行研究，特对高等数学教学提出以下几点建议.

1 高等数学教学注应注重类比教学

类比思想是初中数学的基本思想方法，也是大学数学学习的重要思想.所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.在教学中恰当地进行类比，将会起到事半功倍的效果.只要教师在备课的过程中真正走进教材，再从教材中走出来，就不难发现有许许多多可以让学生进行归纳类比的知识，引导学生找出这些知识之间的区别和联系，这样学生在接受新知识的同时，又复习了以前的知识，既有助于学生创造思维能力的培养，又激发了学生主动学习数学的积极性.

教学中,教师采用类比方法使难学的新知识转化为学生已掌握的旧知识.教师应从学生已学过的概念、性质或法则谈起或向学生进行提问复习,作为引入新知识的途径.例如，讲定积分概念时,可通过学生熟悉的中学知识入手.引入恒力做功W=F×S，可通过启发式提问，让学生对以往知识的回顾，同时引出一个新问题，如果F是一个变力，那又该怎样计算？从而引出微元法的思想，即分割、近似、求和、取极限，达到介绍定积分的目的.再如，为了引出二元函数全微分的定义，可以先回顾一元函数的全微分，首先从一个引例谈起，一边长为x的正方形金属片，通过加热，边长增加△x，求面积增加值 △S.显然面积增量 △S=2x△s+(△x)2，可记为△S=A△x+o(△x)，则可引出微分定义：对于一元函数y=f(x)，若其增量 △y=A△x+o(△x)，其中 A与 △x无关，则称y=f(x)在x处可微，且称dy=Adx为y=f(x)在x处全微分.类似，对于二元函数全微分也可通过引例来介绍，一个长为x，宽为y的金属片，经加热膨胀，长增加△x，宽增加△y，则面积增加△A=y△x+x△y+△x△y.由此可引出二元函数微分定义：对于二元函数z=f(x,y)，若其增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)可表示为 △z=A△x+B△y+o(ρ)，其中 ρ=，其中A和 B与 △x，△y无关.通过这种与以前所学的一元函数类比法的学习，可以对二元函数的连续性及可微性进一步研究.

2 高等数学教学应具有直观性，加深概念的理解

直观性教学法是在教学过程中运用各种手段(如猜想、画图、类比、动画等)，在概念、定理、证明、解题中突出其直观性，培养学生的数学直觉.直观性是以物体的表象为主体进入思维活动的.徐利治先生说过：“在数学中，我宁愿把“直观”一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想所产生的对事物直接的感知或认识.例如，借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称为“几何直观”.有作为的数学工作者与教师都应重视数学直观力的培养与训练.”因此,在高等数学教学中充分利用语言直观、图像直观来达到降低学生学习本课程的难度，仍是较有实效的办法.

高等数学的学习要注重直觉思维的培养，一是突出微积分中重要概念产生的实际背景，如它的物理和几何背景.例如，对导数的定义，引入了加速度和切线的几何意义；对积分的研究，引入了曲边梯形的面积和变速直线运动的路程；对二重积分的定义引入曲顶柱体的体积等；对三重积分的定义引入了空间立体物体的质量.二是应用图像直观来达到降低学生学习难度,仍是较有实效的办法.如对数列极限概念的教学，通常是先给出具体例子如，通过图像演示可知，随着无限增大，数列极限趋近于一确定的值1，使学生首先从感性上认识极限的特征.再如，对于定积分的引入，首先介绍曲边梯形的面积，采用分割、近似、求和、取极限一系列运算，得出曲边梯形的面积.而这如果借助多媒体，通过图像演示，可以看出划分越细，面积越精确，微元法思想就很容易理解.

3 高等数学教学中渗透数学史

在课堂教学过程中适当地加入数学家的生平和业绩的介绍，这样不仅能在有限的时间里完成教学任务还可以起到提升学生的学习兴趣，对课堂教学起到了画龙点睛的作用.

导数的概念是学生们第一次接触到微分学的基本概念，也是高等数学中重要的概念，此处可以加入微积分创立的历史，以便于学生对概念以及一些基本符号的理解.例如:微积分的创立主要是为了处理17世纪科技领域归纳的课题，主要分三类:研究光线入射透镜的入射角，求速度，“业余数学家之王“费马在研究曲线的切线和函数的极大极小问题.微积分经过差不多两个世纪的时间和许多先驱者的工作，最终才由牛顿和莱布尼茨创立.牛顿的微积分思想体现在他的三部著作中：《运用无穷多项方程的微分学》、《流数法和无穷级数》和《曲线求积术》，而莱布尼茨的代表作为：《数学笔记》和《新方法》.在写作时间上，牛顿略先于莱布尼茨，而在发表时间上，莱布尼茨又先于牛顿.关于两人谁先发现微积分这一理论，曾经在牛顿和莱布尼茨的故乡英国和欧洲大陆之间引发一场争论，争论长达一个世纪之久.最终决定，二人共同分享微积分的光荣.而对于积分符号也曾经引起两派数学家的争执，最后数学界普遍采用了莱布尼兹的符号，因为他的符号体系更适合表示高阶导数和高阶微分，并且可以由正整数阶推广到负数阶和分数阶，由此导致了运算微积分的发展.这里渗透数学史知识，可以激发学生对进一步学习微积分学的兴趣，有助于学生对微分符号的理解使用，也能使学生理解数学来源于应用的道理

4 教学应加强高等数学的实用性

注重运用高等数学的基本思想和基本方法分析问题和解决问题，培养学生应用高等数学的知识处理实际问题的能力.学以致用是教学的最终目的.在运用高等数学解决实际问题,主要完成两步工作:一是建模,二是计算.一般说来,建立数学模型的过程可以分为表述、求解、解释、验证这几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象对数学模型再从数学模型回到现实对象的循环.数学建模是联系数学与实际问题的桥梁,把数学建模的思想融入到教学中,能够激发学生学习的浓厚兴趣,能够提高学生数学应用能力、适应能力和自信心及综合素质,也是实现新时代数学教学目标的有效途径.

在教学中,有意识地联系一些学生可以认识的实际,教会他们从中抽出数学模型的方法,体会用数学工具解决实际问题是完全必要的,也是可行的.如:用导数这一工具可以解决变化率、极值等问题；用二重积分这一工具可以求出平面薄片的重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力等；用微分方程可以解决本金的计算、人口理论的数学模型和放射性同位素的衰变规律等等.由此可见，高等数学是一种普遍适用的数学工具.

总之，高等数学学科自身的特点决定了要学好它就必须对它产生兴趣.为此，需要教师在教学过程的各个环节中，根据学生的具体情况和心理特点，因材施教，采用多样化的教学方法和技巧，有计划、有目的地培养和激发学生的学习兴趣，最终达到较好的教学效果.

〔1〕陈宜治.提高高等数学教学质量的有效途径[J].工科数学,2000,16(1)：76-77.

〔2〕高等数学概念教学的一些思考[J].数学教育学报,2003,12(2)：83-86.