函数极值思维在企业营销中的应用

赵泽福

（昭通学院，云南 昭通 657000）

数学作为研究现实世界空间形式与数量关系的一门科学，具有很强的逻辑性与抽象性.数学知识赋予了数学原型更为深刻的内涵，现实生活中，我们可以找到很多的数学原型.在快速发展的社会经济时代，经济现象越来越复杂，只靠经验来认识经济活动远远不够，还需要更为科学的方法对经济现象进行分析.人们把高等数学中的函数极值思维应用到企业中，可对企业营销中的市场需求、资金投入、最大收益及库存管理等经济活动进行科学地分析，理清各项参数间的关系，根据已出现的情况进行分析，以获取相关信息，帮助企业营销进行最合理的安排.

2 函数极值的相关知识

2.1 函数极值概念

假设函数f(x)在x0某邻域之内有定义，对邻域中的任一点x且x≠x0，有f(x)＜f(x0)，此时，称f(x0)为函数f(x)中的一个极大值.若对该邻域中的任一点x且x≠x0，有f(x)＞f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)中一个极小值.其函数极小值与极大值可统称之为函数极值，让函数获得极值点的x0可称之为极值点.

2.2 函数极值存在的条件

在函数极值运算中，包含必要条件与充分条件.其中，必要条件为：如果函数f(x)在邻域点x0处可导，并且能取得极值，那么f'(x0)=0.充分条件为：假设函数f(x)在邻域点x0处是连续的，其左右邻近是可导的，那么具有下列两种情况，如果在x0左侧邻近位置，f'(x0)＜0，而x0右侧邻近位置，f'(x0)＞0，那么x0可称为函数的极小值点；如果在x0左侧邻近位置，f'(x0)＞0，而x0右侧邻近位置，f'(x0)＜0，那么x0可称为函数的极大值点.在实际问题当中，如果已经断定函数f(x)的定义区间存在最大值或者最小值，并且f'(x0)=0的定义区间中，只存在一个根x0值，则能断定在x0处，f(x)能获得最大值或者最小值.通常在企业营销中，涉及二元函数极值思维的问题较多，二元函数极值通常包含无条件极值与条件极值，其中，无条件极值所指的是二元函数当中的两变量是互相独立的，也就是不受其他条件的约束，其极值可称为无条件的极值，被简称为极值.而条件极值问题所指的是在二元函数f(x,y)当中，自变量x、y间，满足一定的条件，即函数ψ(x,y)=0，并且该函数称为约束方程或者约束条件，所求极值是条件极值，两变量间的线性规划问题就是条件极值的问题.因此，运用函数C=f(x,y)中的偏导数及其他方法，可求得函数极值，解决其最大值及最小值在营销中的应用问题.

2 函数极值思维在企业营销中的应用

2.1 市场需求中函数极值思维的应用

通常市场对于企业商品需求，不仅会随着价格变化而变化，还会随着其他因素的变化而发生变动，若将消费者收入当作主要的因素，将其他因素当作固定因素，那么商品的需求量则会根据消费者的收入变化而发生变动，并呈现出一定的函数关系，人们把这种函数关系称为恩格尔函数.在企业营销当中，若某商品中的恩格尔函数呈现单调递增的趋势，那么此商品是正常商品；若该商品呈现单调递减趋势，那么该商品则是劣等商品.例如，设定市场中某商品A和人们收入x之间存在恩格尔函数关系，即A(x)=.那么在人们收入x减少时，产品市场需求有这样的趋势：A'(x)=，A'>0,得出产品的市场需求量随着人们收入的减少而减少，这种产品就属于正常商品；当人们收入x=0时，产品的市场需求量为零，市场对产品的饱和需求量为5.再比如，某制鞋厂皮鞋的市场需求量B和当地人们收入x之间的恩格尔函数关系为B(x)=，那么B'(x)=,B"(x)=<0,B(0)=-6,B(3)=0,当人们收入x=0时，人们不会购买这种鞋子；当人们收入x>3时，会有对这种鞋子的需求.通过这样的恩格尔函数与极值的分析，可以帮助企业了解到某种商品在市场需求中的饱和程度，从而调节产品的生产线与库存，更好的促进企业发展.

2.2 企业资金投入中的函数极值思维应用

一些企业与投资商想通过高效率的资源运作来获得最大经济利润，在这些企业与投资商投资之前，需要对将要实施的投资机遇进行一些论证，这就需要有系统的体系对投资过程的各项参数进行分析，以了解资金投入后可能取得的利益与付出的成本，然后再根据这些数据信息进行投资，从而科学合理地做出投资决策，获得较高的投资回报率.

2.3 最大收益问题中的函数极值思维应用

2.3.1 进货量和最大收益间的关系

随着我国经济不断发展，企业的经济观念不断增强，加强成本核算，搞好生产经营，并有效提高企业效益，已成为企业营销当中必须考虑的问题.在当前企业经营当中，影响经营参数的因素较多，有些因素对于营销能否成功是至关重要的，例如，某商店的进货量问题，因商品存放需要费用，若进货量多了，其成本就会增加，而利润相应减少，并且存在积压现象.可进货量太少，则需要多次进货，其劳务费就会增加，因此，寻找恰当的临界点，才能获得最大的利润.

例如：某商店经营销售某品牌的洗衣粉，其年销售量是6千包，而每包进价为2.8元，但销售价为3.4元，若全年分成若干次进货，则每次进货为n包，每次进货的运输劳务费是62.5元，而全年的报关费用是1.5n元，将此商店营销的洗衣粉利润L表示成每次进货量n的函数，同时，指出了函数定义域，那么为了让收益最大，其每次进货量为多少包？

解：假设每次洗衣粉进货为n包，其全年总收益则为L=6000×（3.4-2.8）-(375000/n+3n/2)=-3/2()2+2100，其函数定义域为[0,6000]，并且n为6000约数，因此，要让L值最大，也就是n=500时，Lmax=2100元，为了获取最大收益2100元，其每次进货量应该为5000包.

2.3.2 商品价格和最大收益间的关系

商品销售当中，商品的销售量通常与价格是紧密联系的，如果价格太高，尽管每件产品利润较高，但其销售量却比较低；若商品价格定得过低，那么企业就无利可图.在这两者之间存在临界点，临界点价格，能让企业获取最大收益，怎样找出此临界点，需要运用函数极值思维的方法进行分析处理，对前期销售的信息进行分析，获取最佳的销售价格.收益通常所指的是生产者所出售的商品收入，而总收益则是指一定量的产品出售之后，获得的全部收入，其总收益可记为Y，总收益Y是销售数量x与销售价格n的乘积，以营销量x作为自变量，Y为因变量，那么Y和x间的关系式为Y=Y(x)=n.x为总收益的函数，因销售量越大，其收入就会越多，因此，最大收益所指的是总收益的函数Y=Y(x)=n.所求问题为当x值是多少的时候，Y值是最大的.

例如：某商场所批发的某商品进价是80元/个，零售价是100元/个.为了更好地促进销售，尝试采取买此商品就赠送小礼品的方法，一个商品就赠送一个礼品，通过试验可知，此礼品的价格是1元时，其销售量能增加10%，而且在一定的范围中，礼品的价格若每增加1元，其销售量就能增加10%，假设没有赠送礼品的时候，其销售量是x件.求礼品价值是m元时，其所获收益Y与m之间的函数式，并求出礼品价值为多少时，其获得的收益最大.

解：所获收益Y与m之间的函数式为：Y=x(10%+1)m(20-m).若收益最大，则需要同时满足下列关系式：x·1.1m(20-m)≥x·1.1m+1(20-m-1)，x·1.1m(20-m)≥x·1.1m-1(20-m+1)；通过解两方程式可知，当x=9或者x=10的时候，其Y值最大，因这是实际的应用问题，因此，其礼品价值是9元时，可获取最大收益.

2.4 库存管理中函数极值思维的应用

通常企业为了能完成一定生产任务，确保生产的正常进行，需要准备一定的材料.当总需求量不变的情况下，其订购的次数越少，批量越大，订购的费用就会越小，但保管费用就会相应的增加.总需求量不变，订购的费用越大，其报关费用就会越小.如何确定订购的批量，才能让总费用变得最少，这已成为库存管理中值得商榷的问题.通过对整批间隔的进货状况进行研究，也就是某物质库存量下降至零时，那其订购、库存量与到货等就会由零逐渐恢复至最高的库存量，同时每天确保等量供应的生产需求，可保证不出现缺货现象.

例如：某企业为汽车装配厂，其轮胎每年需用量是2.4万个，单个轮胎价格是400元，而平均每次的订货费用之和是640元，每年的保管费用率是12%，求最优的订购批量与订购次数，并求出最优的订购周期与最小的总费用.

解：假设订购批量是Y，订购的次数是x，订购的周期是N，总费用是M.那么全年总共的订购次数是24000/Y，其订购的费用是24000×640/Y，而全年的平均库存量是1/2Y，保管费用是400×1/2×12%Y=24Y，而总费用M=24000×640/Y+24Y，总费用M与订购批量Y之间存在函数关系，要让总费用最省，可令dM/dY=0，也就是-24000×640/Y2+24=0，因此，最优的订购批量Y=800个/批，其最优的订购次数：x=2.4万/800=30批；而最优的进货周期：N=360/30=12d；所以，最小的费用M=24000×640/800+24×800=3.84万元.

5.生产成本及利润关系中的函数极值思维应用

在实际的生产当中，会遇到此类问题，当生产条件一定的情况下，怎样生产才能让成本最低，企业获取的利润最大，这也需要用到函数极值方法.

例：某企业在生产某产品时，其固定成本是5千元，每生产百台产品所直接消耗的成本会加大2.5千元，如果市场对此产品年需求量是500台，那么销售收入函数是Q(n)=5n-1/2n2，且0＜n＜5，n为产品售出数量，那么Q(n)是收入，将利润L表示成年产量函数，那么年产量是多少的时候，企业获得的利润是最大的？

解：利润L为生产数量n售出后的总收入Q(n)和总成本M(n)间的差.它们需要同时满足下列两个方程式：L=5n-(1/2+1/4n)-1/2n2，且0≤n≤5；L=(5×5-52×1/2)-(1/4n+1/2)，且n＞5.通过解方程式可知，n=b/2a=475台时，Lmax=10.78万元.因此，当企业生产475台的时候，能够获取的利润是最大的.

3 结语

在社会经济生活当中，函数极值思维应用非常广泛，尤其是在企业营销当中，函数极值思维对于资本投资与最大收益获取等方面具有重要影响作用.通过合理运用函数极值思维，可有效解决企业资金投入、商品价格和最大收益、库存管理及生产成本和利润之间的关系等问题，更合理的利用投资数据，从而促使企业获得良好的投资回报，做出准确的投资决策，提高企业的市场竞争能力.

〔1〕王洪涛.函数极值在经济管理中的应用[J].山东广播电视大学学报,2011(2):65-69.

〔2〕朱张兴.多元函数极值的正定矩阵判定定理的推广[J].高等函授学报,2011(3):33-35.

〔3〕余惠霖.数学文化价值取向下微积分学中的哲学思想[J].广西社会科学,2011(8):57-59.

〔4〕吴素琴.谈导数及其在经济分析中的若干应用[J].赤峰学院学报,2011(1):4-6.

〔5〕焦淑芬.论函数的最值及其在经济中的应用[J].经济师,2011(12):82-82.

〔6〕陈朝斌,唐梅,杨芹,吴立宝.微积分在经济学最优化问题中的应用[J].保山师专学报,2009(5):34-36.

〔7〕卜芳.函数极值知识在生活中的应用[J].科教文汇,2012(10):84-84.

〔8〕 吴恒煜, 赵平.我国商业银行操作风险的度量——基于极值理论的研究[J].山西财经大学学报,2009(8):109-115.

〔9〕朱石焕,连颖颖.数学分析选讲[J].国防工业出版社,2008（9）：38-60.

〔10〕欧阳光中,朱学炎,金富临,陈传璋.分析数学[J].高等教育出版社（复旦大学数学系）,2007（4）：117-119.