一类强p-强制抛物型不等式中解的Liouville定理*

方钟波， 徐丽君

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)



一类强p-强制抛物型不等式中解的Liouville定理*

方钟波， 徐丽君

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

研究一类具有奇异变系数的强p-强制拟线性抛物型不等式中解的非线性Liouville定理。通过适当构造试验函数法来建立universal估计值(不依赖于初始值)，从而得出在适当的临界指数范围内非负非平凡整体弱解的非存在性结论。

强p-强制； 抛物型不等式； 试验函数； Liouville定理

0 引言

本文考虑一类具有奇异系数的强p-强制拟线性抛物型不等式

ut-Lu≥a(x)uq,x∈Ω,t>0

(1)

具有初始条件

u(x,0)=u0(x),x∈Ω

(2)

a(x)在边界或原点具有奇性。所谓算子L为强p强制的(简记为S-p-C)是指：如果存在常数c1,c2>0及p>1,使得对任意的(x,u,η)∈Ω×R×RN,

(3)

成立，如p-Laplace算子。

拟线性抛物型不等式(1)出现于流体力学、人口动力学及生物群体力学等诸多领域中，见文献[1-3]等。从流体力学角度来说，描述多孔体介质中非牛顿渗流现象，可描述气体或液体在多孔体介质中的流动，其中a(x)uq为正时叫“热源”项，相反叫“冷源”项。

非线性抛物型方程(组)或不等式(组)中非负非平凡整体解的非存在问题的研究已有许多结论，见文献[4-15]及相关文献。1966年，Fujita在文献[4]中研究半线性热传导方程的Cauchy问题

ut=Δum+V(x)uq,

解的非线性Louville型定理。

由前述文献所知，问题(1)～(2)中解的非线性Liouville定理的研究甚少。本文的目的在于利用试验函数法问题(1)～(2)中得到强p-强制算子及加权函数的指数对非负非平凡整体弱解的非存在的影响，它的难点在于针对a(x)的不同奇性选取适当的试验函数。此种方法是由Mitidieri和Pohozaev[16]中研究椭圆方程的时提出来的。它的优点在于推理简单明了，不需要适应比较原理的一些假设，所以可以考虑类型广泛的非线性方程。

1 预备知识及主要结论

先给出一些定义、记号及主要结论。因为p>1,强p强制抛物型不等式(1)可能为退化或奇异，所以一般不存在古典解，下面先给出弱解的定义。

定义1 如果非负函数u(x,t)满足下面的条件：

(4)

则称u(x,t)为问题(1)～(2)在S上的弱解。

关于a(x)的两类奇性，讨论以下两种情形：

情形1 当Ω为有界区域时，a(x)在边界∂Ω附近具有奇性，此时

设存在c0>0,β∈R使得

a(x)≥c0ρ(x)-β,x∈Ω

(5)

情形2 当Ω=RN时，a(x)在原点附近有奇性，此时

假设

(6)

其中：c>0；β∈R。

下面按情形定义适当的试验函数，将在证明主要结论中起到“钥匙”作用。

和

(7)

和

(8)

令

χ(x)=ξλ

(9)

其中λ>0是一待定常数。

利用前面所构造的试验函数，可得到如下形式的非线性Liouville定理。

(Ⅰ)当a(x)在边界具有奇性时，

若上述条件成立，则问题(1)～(2)的解u(x,t)=0几乎处处于S。

(Ⅱ)当a(x)在原点具有奇性时，

若上述条件(a)(b)之一成立,则问题(1)～(2)的解u(x,t)=0几乎处处于S。其中θ为参数，r=q+1-p。

2 定理1的证明

定理1的证明主要分为3步。

步骤1 令T>0，定义QΩ,T且截断函数定义为ψ(x,t)=ηT(t)χ(x),其中χ(x)如(2.6)所定义，ηT(t)=η(t/T)。

显然有

取试验函数Ψ=ψku-d，其中d=q-θ>0，k>1，并在QΩ,T上积分，可得

由(3)(即S-p-C)，可得

再由ψ(x,t)的定义得

(10)

对(10)的右端第一、二项应用Young不等式得

(11)

(12)

其中r=q+1-p。

对(12)式右端第二项应用Young不等式得

(13)

结合(10)～(13)可得

则有

(14)

步骤2 当a(x)在边界具有奇性时,

在(14)式中，取ξ=ξε，则有

(15)

(16)

再由(7)，(16)得

(17)

其中

若上述条件成立，则有σ1>0，σ2>0，(17)式中取ε→0和T的任意性易知

即u(x,t)=0几乎处处于S。

步骤3 当a(x)在原点具有奇性时，此时Ω=RN。

在(14)中取ξ=ξR，则有

(18)

由(6)，(18)可得

(19)

再由(8)，(19)得

(20)

其中

上述条件(a)(b)之一满足，则有σ3<0，σ4<0。式(20)中取R→∞和T的任意性易知

即u(x,t)=0几乎处处于S。

定理证毕。

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AMS Subject Classifications： 35R45; 35K65

责任编辑 陈呈超

Liouville Theorem of Solution for a Strongly-p-Coercive Parabolic Type Inequality

FANG Zhong-Bo，XU Li-Jun

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

In this paper, we investigate the nonlinear Liouville type theorem of the strongly-p-coercive quasi-linear parabolic inequality with singular variable coefficients. By constructing appropriate test function to establish the universal estimate which does not depend on the initial value of solution, we obtain that the nonexistence of nonnegative nontrivial global weak solution in a range of appropriate critical exponent.

strongly-p-coercive; parabolic inequality; test function; Liouville theorem

山东省自然科学基金项目(ZR2012AM018)资助

2013-07-20；

2014-08-15

方钟波(1968-)，男，教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

O175

A

1672-5174(2015)05-126-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20130257