中国与新加坡初中数学教材中统计习题的比较研究

孙学敏

中国与新加坡初中数学教材中统计习题的比较研究

孙学敏

（贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳 550001）

从习题的数量、数学认知水平两个维度，对中国初中数学教材和新加坡初中数学教材中统计内容的各类习题进行比较分析，发现：中国教材统计习题总量较少，但课后习题的编排具有层次性；中国教材中高认知水平的习题比新加坡少；中国教材重视基本概念，而新加坡教材设置了较多的非常规习题，重视高认知水平的培养．

教材；比较；习题；认知水平

新加坡的数学教育因其连续3次在国际数学与科学教育调查（TIMSS1996，TIMSS1999，TIMSS2003）中位居前列而一直倍受国际数学教育界的关注．中国正在实施新一轮基础教育数学课程改革，数学教材改革是主要内容．新加坡的文化背景与中国极为相似，研究新加坡的数学教材对于推动中国数学课程改革无疑具有重要的借鉴意义．

习题是中学数学教材的重要组成部分，对教材中的习题进行研究是教材研究的一个重要方面[1]．中国于2001年7月颁布的《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）（以下简称《课标》）[2]将统计与概率作为义务教育数学课程的4个学习领域之一，并空前重视学生统计观念的形成．这里在《中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究》[3]（吕世虎，孙学敏．数学教育学报，2010，（6））之后，继续对中国与新加坡初中数学教材中的统计习题进行比较研究，以此反映两国数学教材编写的价值取向和编写风格．

新加坡初中数学教材选取Prof. Lee Peng Yee等主编的New Syllabus Mathematics[4]（2001年）（以下简称《新数学》），中国初中数学教材选取人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学》[5]（2005年）（以下简称《课标数学》）．《新数学》中的统计内容在第1、2、3、4册中均有分布．第一册第15章“统计”包括以下14节：数据的介绍，收集和整理数据，利用问卷收集数据，象形图，条形图，通过观察收集数据，扇形图，通过访谈收集数据，折线图，点式图，茎叶图，频率表，直方图，通过测量收集数据．第二册第14章“统计——集中趋势的度量”包括5节：平均数，算术平均数，中位数，众数，算术平均数、中位数、众数的比较．第三册第13章“频数分布”包括4节内容：分组频数分布，直方图，不等间距直方图，频数多边形．第三册第14章“集中趋势的度量”包括4节内容：寻找分组数据的平均值，众数组，平均值的估算，频数分布的平均值．第四册第1章“累积频数分布”包括以下3节：累积频数表，中位数、四分位数和百分位数，四分位数间距．《课标数学》中的统计内容分布在七年级上册、八年级上册和八年级下册中．七年级上册第4章“数据的收集和整理”包括：喜爱哪种动物的同学最多——全面调查举例，调查中小学生的视力情况——抽样调查举例和课题学习等3节内容．八年级上册第12章“数据的描述”包括：几种常见的统计图表，用图表描述数据和课题学习等3节．八年级下册第20章“数据的分析”包括：数据的代表，数据的波动和课题学习等3节内容．

两种教材中的统计内容既有共有的部分，也有各自独有的内容．《新数学》第一册第15章“统计”基本涵盖了《课标数学》“数据的收集和整理”和“数据的描述”两章的内容．《课标数学》“数据的收集和整理”一章主要介绍了用问卷的方法收集数据，因此，与这一章第1、2节相对应的是《新数学》中的1、2、3节——数据的介绍，收集和整理数据，利用问卷收集数据．《课标数学》第3节“课题学习”后没有习题，《新数学》也没有类似课题学习的内容，因此课题学习不属于比较的范围．与《课标数学》八年级上册第12章“数据的描述”第1节“几种常见的统计图表”介绍了条形图、扇形图、折线图和直方图等几种常见的统计图，与之相对应的是《新数学》第一册第15章“统计”第5节“条形图”、第7节“扇形图”、第9节“折线图”、第12节“频率表”，第13节“直方图”．“数据的描述”第二节“用图表描述数据”介绍了用扇形图和直方图描述数据，对应《新数学》第三册第13章“频数分布”的第1、2、4节——分组频数分布、直方图、频数多边形．与《课标数学》八年级下册第20章“数据的分析”第一节“数据的代表”相对应的是《新数学》第二册第14章“统计——集中趋势的度量”的5节内容：平均数，算术平均数，中位数，众数，算术平均数、中位数、众数的比较．两国教材其余内容都互不相交．

这里选取两种教材共有内容的课后习题进行比较研究，《新数学》选取第一册第15章“统计”中数据的介绍，收集和整理数据，利用问卷收集数据，条形图，扇形图，折线图，频率表，直方图等8节内容；第三册第13章“频数分布”的第1、2、4节——分组频数分布、直方图、频数多边形；《新数学》第二册第14章“统计——集中趋势的度量”的5节内容：平均数，算术平均数，中位数，众数，算术平均数、中位数、众数的比较．《课标数学》选取七年级上册第四章“数据的收集和整理”的“喜爱哪种动物的同学最多——全面调查举例”和“调查中小生的视力情况——抽样调查举例”两节；八年级上册第12章“数据的描述”中“几种常见的统计图表”，“用图表描述数据”两节；八年级下册第20章“数据的分析”中“数据的代表”一节．

两国教材“统计”领域共有内容可分为以下3部分：数据的收集与整理、数据的描述和数据的分析．

初中数学教材的课后习题分为练习题、习题和复习题．其中，练习题主要是单一的概念、运算法则，某种数学技能、性质应用等，其作用是熟悉和巩固相应小节的教学内容，供课堂教学用．习题、复习题，其背景是多个知识点及深广度不一的数学思想方法的综合，其作用是加深对“双基”的理解，牢固掌握知识、技能和思想方法，创造性地解决一些综合性强的问题，提高分析与解决问题的能力．复习题的综合性更强[6]．中国数学教材中的习题包括练习题、习题和复习题，而新加坡教材只有习题和复习题，因此，这里以练习题、习题和复习题作为比较框架，分别从习题总量、数学认知水平和习题难度3个维度对这3类习题进行比较研究．在没有特别说明时，习题是练习题、习题和复习题的统称．

1 习题总量的比较

1.1 数据的收集与整理

《新数学》选取第一册第15章“统计”中数据的介绍，收集和整理数据，利用问卷收集数据3节；《课标数学》选取七年级上册第四章“数据的收集和整理”的“喜爱哪种动物的同学最多——全面调查举例”和“调查中小生的视力情况——抽样调查举例”两节．

对两国教材中以上几章节的习题数量按练习题、习题和复习题的框架进行统计，得出结果如表1所示，表中括号内的百分比为该类习题数量占总习题量的百分比．

表1 中新教材“数据的收集与整理”内容习题总量

从表1可以看出，新加坡教材没有“数据的收集与整理”内容的习题，中国教材也只设置了少量与此内容相关的习题．这与此内容的特点有关，“数据的收集与整理”主要介绍收集和整理数据的一些基本方法，学生通过现实的调查活动，亲身经历收集和整理数据的过程，可以更好地掌握这些方法，并进一步感受统计的作用．中国这部分内容习题分为练习题、习题和复习题，这3种类型习题分别占习题总量的6.7%、56.6%、36.6%．

1.2 数据的描述

《新数学》选取第一册第15章“统计”中条形图，扇形图，折线图，频率表，直方图等5节内容和第三册第13章“频数分布”的第1、2、4节——分组频数分布、直方图、频数多边形；《课标数学》选取八年级上册第12章“数据的描述”中“几种常见的统计图表”，“用图表描述数据”两节内容．

同样对以上几章节的习题数量按练习题、习题和复习题的框架进行统计，得出结果如表2所示．

表2 中新教材“数据的描述”内容习题总量

从表2中可以看出，新加坡教材“数据的描述”习题总量远远多于中国，大约是中国教材的两倍．但中国教材既有练习题，也有习题和复习题，各占22.8%、54.4%、22.8%，新加坡教材只有习题和复习题，分别占80.4%和19.6%，反映出新加坡教材“数据的描述”内容习题数量之多，分量之重．

1.3 数据的分析

《新数学》选取第二册第14章“统计——集中趋势的度量”的5节内容：平均数，算术平均数，中位数，众数，算术平均数、中位数、众数的比较；《课标数学》选取八年级下册第20章“数据的分析“中“数据的代表”一节内容．

对以上几章节的习题数量按练习题、习题和复习题的框架进行统计，得出结果如表3所示．

表3 中新教材“数据的分析”内容习题总量

从表3中可以看出，新加坡教材“数据的分析”习题总量远远多于中国，比中国教材习题总量的两倍还多．中国教材既有练习题，也有习题和复习题，各占34.4%、40.0%、25.0%，新加坡教材只有习题和复习题，分别占59.8%和40.2%，同样反映出新加坡教材“数据的分析”内容习题数量之多，分量之重．

2 习题的数学认知水平的比较

根据习题数学认知水平层次[7]的刻画（见《中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究》（吕世虎，孙学敏．数学教育学报，2010，（6）），对中国教材中“统计”领域数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析3部分内容所配置的练习题、习题和复习题从数学认知水平的维度进行分类统计，并统计出中国教材中不同类型习题在各水平层次的数量和比例，结果如下．

2.1 数据的收集与整理

中新教材中“数据的收集与整理”练习题的数学认知水平层次统计结果如表4所示，其中括号内的百分比为该水平的习题数量占此类总习题量的百分比（以下同此）．

表4 中新教材“数据的收集与整理”练习题数学认知水平

从表4可以看出，中国教材的练习题只有水平3（领会——说明性理解水平）的2道题目．新加坡教材没有这部分练习题．

中新教材中“数据的收集与整理”习题、复习题的数学认知水平层次统计结果如表5、表6所示．

表5 中新教材“数据的收集与整理”习题的数学认知水平

表6 中新教材“数据的收集与整理”复习题的数学认知水平

从表5、表6可以看出，中国教材的习题和复习题都包含了水平3和水平4两个水平的习题．习题中水平4的习题占习题总量的29.4%，复习题中水平4的习题占复习题总量的36.4%，比习题高7%，反映出中国习题和复习题的编排具有层次性．

统计中国教材“数据的收集与整理”习题中各认知水平题目的数量和所占比例，统计结果如表7所示．

表7 中新教材“数据的收集与整理”习题总体数学认知水平

中国《课标》对“数据的收集与整理”这部分内容的具体要求是：从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据；通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果．中国教材向学生介绍了利用“调查问卷”来收集数据、用“划记法”记录数据、全面调查和抽样调查、总体和样本等知识，并配置了相关习题，这些习题要求学生亲身经历整个数据的收集和整理过程并得出结论．例如，（七年级上册158页第4题）根据你的经验，估计你们班所有同学的家庭在一周内丢弃塑料袋的个数，设计一个调查方案，检查你的估计，根据调查结果估计一个月的情况．该题要求学生自己设计一个调查方案，亲历数据的收集与整理的整个过程，并与个人生活相结合，可以很好地培养学生的统计观念和应用意识．

数据的收集与整理是数据处理过程的开始，也是今后学习数据的描述与分析的基础知识，而新加坡教材没有设置这类习题，反映出新加坡对基本知识的忽视，这与中国恰恰相反．

2.2 数据的描述

（1）习题水平层次的比较分析．

根据习题数学认知水平层次的刻画，对中新教材中“统计”领域“数据的描述”内容的练习题、习题和复习题从数学认知水平的维度进行分类统计，分别统计出两国教材中不同类型习题在各水平层次的数量和比例．

中新教材中练习题的数学认知水平层次统计结果如表8所示．

表8 中新教材“数据的描述”练习题数学认知水平

从表8可以看出，中国教材的练习题以水平3（领会——说明性理解水平）的题目为主．新加坡教材没有练习题．

中新教材中习题、复习题的数学认知水平层次统计结果如表9、表10所示．

表9 中新教材“数据的描述”习题的数学认知水平

表10 中新教材“数据的描述”复习题的数学认知水平

从表9～10可以看出，两国教材只有水平3（领会——说明性理解水平）和水平4（分析——探究性理解水平）两个较高认知水平的题目．这是由于“数据的描述”这部分内容要求学生掌握用几种常见的统计图表来描述数据的方法，没有涉及到概念的理解和程序性的计算．分别来看，在习题中，中国教材水平4的习题占习题总量的38.7%，而新加坡教材占30.2%，中国比新加坡多8.5%．而在复习题中，新加坡教材水平4的习题占习题总量的57.1%，中国教材占30.8%，新加坡比中国多26.3%．这说明中国教材“数据的描述”习题综合性较强，而新加坡教材“数据的描述”复习题的综合性更强．

为分析习题的总体数学认知水平，统计中新教材“数据的描述”共有内容的所有习题中各认知水平题目的数量和所占比例，统计结果如表11所示．

表11 中新教材“数据的描述”习题总体数学认知水平

从表11中可以看出，在认知水平上，两国教材都只有水平3和水平4的习题，中国教材水平3的习题占习题总量的71.9%，水平4的习题占28.1%，而新加坡教材水平3的习题占习题总量的64.5%，比中国低7.4%，水平4的习题占习题总量的35.5%，比中国高7.4%．

（2）数据的描述高认知水平题目的类型的进一步分析．

通过以上分析发现，新加坡教材水平4（分析——探究性理解水平）的习题多于中国．为了找出差距在哪里，对两种教材中水平4的习题作进一步具体的分析．

水平4的习题需要学生创造性地解决问题，学生之前没有接触过现成的解决方案．结合“数据的描述”内容的特点，同样按照学生解答题目需要的解题方法把水平4的习题分为4类（见表12）．分别统计两种教材中水平4习题的类型及各类型题目所占的比例，统计结果如表12所示．

表12 中新教材“数据的描述”水平4习题类型

从表12可以看出：新加坡教材水平4的习题总量远远多于中国．在习题类型上，新加坡教材主要集中在分析描述图表信息的习题和非常规习题上，其中分析描述图表信息的习题占水平4习题总量的60.5%，非常规习题占34.2%．中国分析描述图表信息的习题占50.0%，比新加坡少10.5%，而且没有非常规习题．

但中国教材中比较图表优劣的习题和提出解决方案及建议的习题多于新加坡，尤其是提出解决方案及建议的习题是新加坡教材所没有的．

2.3 数据的分析

（1）习题水平层次的比较分析．

根据以上习题数学认知水平层次的刻画，对中新教材中“统计”领域“数据的分析”内容所配置的练习题、习题和复习题从数学认知水平的维度进行分类统计，分别统计出两国教材中不同类型习题在各水平层次的数量和比例．

中新教材中练习题的数学认知水平层次统计结果如表13所示．

表13 中新教材“数据的分析”练习题数学认知水平

从表13可以看出，中国教材“数据的分析”的练习题包括水平1、水平2和水平3的题目，各占9.1%、36.4%和54.5%，没有被称为高认知水平——水平4的习题．所选的“数据的分析”内容介绍了一组数据的代表——平均数，中位数，众数，练习题中既有平均数的计算，也有对平均数，中位数，众数概念及意义的理解．而新加坡教材没有练习题．

中新教材中习题、复习题的数学认知水平层次统计结果如表14、表15所示．

表14 中新教材“数据的分析”习题的数学认知水平

表15 中新教材“数据的分析”复习题的数学认知水平

从表14、表15可以看出，新加坡教材虽然没有练习题，却安排了大量的习题和复习题．中国教材的习题和复习题都包含了水平2—水平4三个认知水平的题目，而新加坡教材的习题没有水平2（概念——概念性记忆水平）的题目，复习题也仅有水平3（领会——说明性理解水平）和水平4（分析——探究性理解水平）两个较高认知水平的题目，说明新加坡教材重视高认知水平的习题．从各水平习题所占的比例来看，中国教材习题中水平3和水平4的题目占习题总量的61.5%，复习题中水平3和水平4的题目占复习题总量的87.5%，反映出中国课后习题的选择和编排具有层次性．

为分析习题的总体数学认知水平，统计中新教材“统计”领域“数据的分析”共有内容的所有习题中各认知水平题目的数量和所占比例，统计结果如表16所示．

表16 中新教材“数据的分析”习题总体数学认知水平

从表16中可以看出，在认知水平上，两国教材水平1（计算——操作性记忆水平）的习题占习题总量的比例相当，而且都很少，中国教材占3.2%，新加坡教材占6.1%．水平2（概念——概念性记忆水平）的习题，新加坡教材没有，中国教材占31.2%，明显高于新加坡，这反映出中国对基本概念的重视．两国教材中水平3（领会——说明性理解水平）的习题相差不大，中国和新加坡各占53.1%和56.1%，新加坡比中国多3.0%．两国教材水平4（分析——探究性理解水平）的习题相差较大，中国只有12.5%，而新加坡占37.8%，中国比新加坡低25.3%．

（2）数据的分析高认知水平题目的类型的进一步分析．

通过以上分析发现：新加坡教材高认知水平——水平4（分析——探究性理解水平）的习题远远多于中国．为了找出差距在哪里，对两种教材中水平4的习题从习题的类型上作进一步具体的分析．

结合“数据的分析”内容的特点，按照学生解答题目需要的解题方法把水平4的习题分为5类（见表17）．分别统计两种教材中水平4习题的类型及各类型题目所占的比例，统计结果如表17所示．

表17 中新教材“数据的分析”水平4习题类型

从表17可以看出：新加坡教材水平4的习题总量远远多于中国．在习题类型上，新加坡教材主要集中在分析已有数据并得出结论的题目、比较和选择数据代表的题目和非常规习题上，而中国并没有比较和选择数据代表的题目和非常规习题．新加坡教材非常规习题占水平4习题总量的74.2%，远远多于中国教材．

但中国教材中亲自收集数据并分析数据的题目和提出解决方案及建议的习题是新加坡教材所没有的．

新加坡教材设置了大量的非常规习题，有助于培养学生解决肥常规问题的能力．如：（数学2，269页第8题）园子里有3种植物A、B、C，其高度之比为2:3:5，平均高度为30 cm，（1）植物B多高？（2）如果另有植物D加入，它们4者的平均高度为33 cm，那么植物D多高？这类习题在形式上与例题变化较大，例题一般给定一组数，让学生计算平均值，而该题仅给出了一组数中各个数的比值和平均值，要求计算组中数的值．该题要求学生在理解平均数概念及意义的基础上，结合题中所给出的其它信息进行解答，不仅可以锻炼学生的分析综合能力，也有助于逆向思维的培养．

新加坡教材所设置的比较和选择数据代表的题目为中国所没有．如，新加坡教材中有如下提问：（1）你认为哪种集中趋势——平均数、中位数和众数能更好地比较这两个人的能力？（2）你可能会用中位数还是众数比较这两个班级的成绩？这类习题要求学生在理解平均数、中位数和众数概念的基础上，自己选择适合的数据代表来分析数据，使所学的概念应用于实践．中国教材在“数据的分析”这部分内容应适当增加一些比较和选择数据代表的习题．

中国教材设置了亲自收集数据并分析数据的题目和提出解决方案及建议的习题，有助于培养学生的动手能力和应用意识，新加坡教材没有这两类习题．

3 结 论

最近十年，新加坡的数学教育进步很大，其中在数学教育界最受关注的是其对学生高层次数学能力的培养[8～9]．通过以上两国教材“概率与统计”领域的比较研究可以得出以下结论．

（1）在习题类型上，中国教材统计领域习题突出层次性，既有以复习巩固相应小节的教学内容为主、供课堂教学用的练习题，也有供课内、外作业选用的习题和供每章复习时使用的复习题．而新加坡教材却没有较低层次的练习题，只有习题和复习题，且数量比中国的多．新加坡教材习题之多，分量之重，从另一个侧面反映出他们重视数学知识和技能的训练，注重高水平数学能力的培养，这让人很自然地想到新加坡学生在数学上的卓越成就及其高水平的数学能力与此存在某种关联．与新加坡相比，中国教材中统计内容的习题总量较少，特别是高认知水平的习题少．所以，中国教材“统计”领域的题目在保持层次性的同时，应适当增加一些高认知水平的习题和复习题．

（2）从习题的数学认知水平上看，对于“统计”领域的习题，新加坡教材没有“数据的收集与整理”这部分内容的习题．“数据的收集与整理”是数据处理过程的开始，也是今后学习数据的描述与分析的基础知识，这反映出新加坡对基本知识的忽视，与中国恰恰相反．但在“数据的描述”和“数据的分析”这两部分内容，新加坡都设置了较多的水平4的习题，水平3的习题与中国教材差别不大．对于水平4的“统计”习题，新加坡教材设置了大量的非常规习题，有助于培养学生解决非常规问题的能力．

（3）进一步分析高认知水平（水平4）的习题发现，新加坡教材重视非常规习题，这类习题可以有效地提高学生的高水平数学能力．中国在这部分应多设置该类习题．尤其在“数据的分析”这部分内容，新加坡教材设置了大量的非常规习题，不仅可以锻炼学生的分析综合能力，也有助于逆向思维的培养．新加坡教材还设置了一些比较和选择数据代表的题目，为中国所没有，这类习题要求学生在理解平均数、中位数和众数概念的基础上，自己选择适合的数据代表来分析数据，使所学的概念应用于实践．中国教材在“数据的分析”这部分内容应适当增加一些比较和选择数据代表的习题．

[1] 余元庆．谈习题的配备与处理——介绍几本外国中学数学课程中的习题配备[J]．数学通报，1980，（3）：6-9．

[2] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2001．

[3] 吕世虎，孙学敏．中国与新加坡初中数学教材中概率习题的比较研究[J]．数学教育学报，2010，19（6）：70-73．

[4] Prof Lee Peng Yee. New Syllabus Mathematics 4 [M]. Singapore: Utopia Press Pte Ltd, 2001.

[5] 义务教育课程标准实验教科书数学九年级（上册）[M]．北京：人民教育出版社，2005．

[6] 杨英杰．谈谈初中教材习题的挖掘与利用[J]．中学数学教学，2000，（1）：27-28．

[7] 沈兰，郑润洲．变革的见证：顾泠沅与青浦教学实验年[M]．上海：上海教育出版社，2008．

[8] 高文君，鲍建生．中美教材习题的数学认知水平比较[J]．数学教育学报，2009，18（4）：57-61．

[9] 张维忠，李芳奇．新加坡与中国数学教材的特色分析[J]．外国中小学教育，2009，（2）：32-36．

Comparison on Statistic Exercises in M athematics Textbooks for Junior M iddle School between China and Singapore

SUN Xue-m in
(School of Mathematics and Computer, Guizhou Normal University, Guizhou Guiyang 550001, China)

From two dimensions of the number and the mathematics cognitive level of exercises, we compare and analyze different types of statistic exercises in mathematics textbooks for junior m iddle school between China and Singapore. We found that the total of statistic exercises in textbook of China is less than Singapore’s, but the textbook of China outstands different arrangement levels in schedule of exercises, the total of exercises of high cognitive level in textbook of China is less than Singapore’s, the textbook of China gives full attention to basic conception, but the textbook of Singapore sets more unconventional problems, paying more attention to developing student’s high mathematics cognitive level.

textbook; comparison; exercises; cognitive levels

G40-059.3

：A

：1004–9894（2015）01–0054–06

[责任编校：周学智]

2014–09–24

孙学敏（1987—），女，内蒙古乌兰察布人，主要从事数学课程与教学论研究．