数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出——探索一种通过“回顾与反思”来提出数学问题的模式与方法

徐彦辉

数学解题后的“回顾与反思”与数学问题的提出
——探索一种通过“回顾与反思”来提出数学问题的模式与方法

徐彦辉

（温州大学 数学与信息科学学院，浙江 温州 325035）

波利亚“怎样解题表”中第四个步骤“回顾与反思”特别引人注意，也很容易被人所忽视．以判定“等腰三角形两腰上的中线相等”为案例，说明“回顾与反思”步骤应该注重通过改编、引申和推广原有的命题，从而提出新的问题．

波利亚；回顾与反思；改编、引申和推广；等腰三角形；问题提出

乔治·波利亚（G. Polya，1887—1985年）是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者，他致力于数学问题解决的研究，并把研究所得写成《怎样解题》一书．这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题表”，包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾与反思”4个步骤．由于数学解题及其教学大多关注如何找到解决问题的思路和方法，因此常常只关注解题表中的前3个步骤，而忽略了第四个步骤．

1 解题后的“回顾与反思”与提出新的数学问题

就“回顾与反思”这个步骤，波利亚曾指出：回顾已经完成的解答是解题工作中的一个重要且有启发性的阶段……当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才所克服困难的实质．他可以对自己提出许多有用的问题：“关键在哪里？主要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有察觉到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识，应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？”[1]波利亚还指出：“工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答，通过考察他（解题者）的工作过程和最后的解答形式，他会发现要观察认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”[2]总之，“回顾与反思”是对解题活动的“再认识”，是解题活动后的“元认知”，即一方面回顾问题被解决过程中所涉及的有关知识、解题方法以及理解题意的过程，而且更要反思问题一开始是怎样探索的，走过哪些弯路，产生过哪些错误，为什么会出现这些弯路和错误等．通过“回顾与反思”，可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”．如果没有了“回顾与反思”，就错过了解题一次重要而有效益的方面．通过“回顾与反思”所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，可以巩固所学的知识和发展解题的能力．

解题后的“回顾与反思”确实是一个极其重要的环节，然而，教师在教学实践中又常常容易忽视这个步骤，只注重前3个步骤．忽略了解题后的“回顾与反思”这个重要环节，学生只知道大量做题，常常感到解题是“来也匆匆，去也匆匆”．既不知道解法是如何发现的，也不知道该题与其他概念、理论、方法和问题的广泛联系，更不清楚题目还会有怎样的发展．即使有“回顾与反思”这个步骤，常常也只是就题论题、就题论法、就题论道，只囿于解答这个题目本身，局限于“检查解答是否正确”或记忆回顾所解答问题的过程，这样的“回顾与反思”就常常流于形式和低层次化，起不到培养创造性思维的目的，也不符合波利亚原本所指“回顾与反思”的真正涵义．究其原因除了个人和社会因素之外，更多的则是对解题后回顾与反思的意义缺乏深刻的认识，因此有必要对“回顾与反思”的内涵和意义做进一步的探讨[3]．事实上，解题后的“回顾与反思”有着极其重要的价值，可以说是学好数学的法宝和诀窍之一．通过解题后的“回顾与反思”，有利于养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，有利于发现数学问题及其解答的来龙去脉，有利于发现数学问题、方法和理论之间的广泛联系，有利于发现许多相关结果中的交汇点．

仅就问题解决的一个周期而言，问题提出是问题解决的开始，而对数学家或好的问题解决者来说，一个问题的解决往往孕育着新问题的产生．数学家总是积极地以已经得到解决的问题为基础不断地提出新的问题，从而不断地达到新的更大的抽象高度，得到更一般性的结果．如在某些看上去并无联系的数学问题之间是否隐藏着某种普遍性的理论?这些数学问题能否被纳入某个统一的数学结构？等等．因而，提出问题→解决问题→提出较高层次的问题→解决较高层次的问题→提出更高层次的问题→…如此形成一个螺旋上升的“问题链”，而问题提出和解决是其中的一个结点，有时很难界定它们之间的包容关系[4]．实践中，数学家们也从来就不满足于澄清手边的问题，总是在取得了某些新知识以后，利用它去揭示更新的知识，而且往往是更具重要意义的知识．数学家的本然就是倾向于改编、引申和推广已有的数学命题，数学家总是专心致志地围绕着所解决的问题，从中推导出所有能够得出的结果．数学家解决问题固然是很重要的，但基于所解决的问题从而提出更多、更有价值的问题，在解决问题的过程中不断创造新的理论、工具和方法，这应该是更有价值的事情，也更能体现数学家解决问题的特征和本质．蔡金法等（2006）也指出：当学生解答了一个问题后，常常就认为完成了使命并停止进一步探索．为此，他们提出3种方法（即寻求不同的解答方法、提出新的问题和作出推广）鼓励学生解题后进行“回顾与反思”，这能充分拓展学生进一步深入学习和研究的机会[5]．Jacobbe（2007）也提出：运用“回顾与反思”步骤，可以作为帮助学生精心组织自己思维的方法以克服转化困难[6]．因此，数学解题及其教学应该注重通过“回顾与反思”来提出新的问题，从典型的问题出发去变式、去引申、去发现，这样常常可以得到一些意想不到的结论，更为重要的是探索过程对培养学生的探究思维和创新意识以及学会数学家的思维方式是大有好处的．

2 通过“回顾与反思”提出数学问题的一个案例及分析

为了更好地理解和体现波利亚“怎样解题表”中“回顾与反思”步骤的真正含义，研究者以浙教版初中数学八年级上册课本中一道课后题（P28）为例，来说明如何通过解题后的“回顾与反思”来引申、推广和改编命题，从而提出新的问题．通过对这个案例周密详尽的描述和分析，从中提出一个通过解题后的“回顾与反思”来提出数学问题的一般模式或方法，以使在以后类似的情况下起着指引的作用．

问题：如图1，BD、CE分别是等腰三角形ABC两腰AC、AB上的中线．问BD与CE相等吗？请说明理由．（解答过程略）

回顾与反思：

第一步：分析原问题中的已知条件（等腰三角形及其中线）和需要证明的结论（两腰上的中线相等）．可将原命题的条件和结论互换，即得原命题的“逆命题”：证明有两条中线相等的三角形是等腰三角形．

图1 等腰三角形ABC

第二步：分析原题目中的关键词，1：等腰；2：三角形；3：中线．先讨论关键词1（等腰），在中学数学中，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，所以，将关键词1“特殊化”，即可提出一个“特殊化”问题（证明等边三角形的中线相等）．同样，还可以提出和证明该“特殊化”命题的逆命题，也可以在此基础上提出其它的“特殊化”命题．

第三步：将关键词1“一般化”，即可得到一个“一般化”命题（任意三角形的中线之间是否相等？）．由于没有发现任意三角形中线之间的明显关系，然而，通过测量三角形各边的长度，有可能会注意到平时难以发现的微妙关系，即：“在任意三角形中，最长的中线对应最短边”；反之亦然（很显然，从这个命题中，也可得出“等腰三角形两腰上对应的中线相等”）．

第四步：三角形中还有一类特殊的三角形：直角三角形．它既不是等腰三角形的特殊情形也不是一般情形．直角三角形有一个性质：斜边上的中线等于斜边的一半．结合第三步，可以拓展这个性质，提出“证明直角三角形的中线大于或等于对应边长度的一半（拓展性问题）”．

第五步：已经提出了“等腰三角形两腰上中线相等”的“特殊化”问题、“一般化”问题和“拓展性”问题．当然，还可以继续通过改变问题的关键词而得到其它的新问题．这些新问题（以区别于前面生成的拓展问题）称为进一步拓展问题．进一步拓展问题可以通过综合“特殊化”问题、“一般化”问题和“拓展性”问题，或者改编“特殊化”问题、“一般化”问题和“拓展性”问题而得到．如将中线变为高线、角平分线、中垂线．中学数学教材对“高线”和“角平分线”的长度都有准确的定义（三角形顶点到对应边或其延长线的距离．如图2，高线的长度定义为CE，角平分线的长度为BD）．然而，中学数学教材没有“中垂线”长度的定义．为了克服这个障碍，可以考虑相对应的长度，如该线段的中垂线与邻边（或其延长线）的交点之间的距离（如图2中的FG或者FH）．于是，就得到了进一步拓展性问题“等腰三角形两腰上对应的高线（角平分线、中垂线）相等”．

第六步：同样，也可根据第五步产生的问题经过逆、特殊化、一般化和拓展的过程提出新的问题．例如：第五步提出了三角形高线的相关命题，也可提出角平分线和中垂线相类似的问题，如图3提出一个进一步拓展性问题的逆问题（等腰三角形两腰的中垂线问题）．

图2 高线(CE)角平分线(BD)中垂线(FG或FH)的三角形

图3 等腰三角形两腰的中垂线问题

还可以提出一个角平分线的问题，即：“如果一个三角形两角的角平分线相等，证明这个三角形是等腰三角形”，这就是著名的斯坦纳—莱默斯定理．解决这个问题后，还可以继续提出新的问题（证明等腰三角形两底角的外角的角平分线相等），其中，外角平分线的长度定义为“角的顶点与外角的角平分线与对应边延长线的交点连线之间的距离”（如图4中BD为∠ABC的外角平分线）．同样，可以根据这个问题再提出新的问题．例如，“若三角形有两个外角的角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？（逆问题）”．当然还可以继续提出更多的问题，可以用其它几何图形（如平行四边形、梯形等）来替换三角形．毫无疑问，这样可以提出很多很多的问题．当然，所有这些提出的新问题，都是基于原先给定的问题（基本问题）．根据上面论述，可以给出一个模型来说明解题后的“回顾与反思”步骤如何基于基本问题提出新的问题．如图5，一个基本问题可以经过证明、逆、特殊化、一般化、拓展和进一步拓展等途径来提出新问题，同时，产生的新问题又可看作为基本问题，再经过这些途径，提出更多的新问题．

3 启示与建议

总之，数学问题之间不是孤立的，都是有其产生的背景，体现了数学知识之间的相互联系．一个好的数学问题应当具有这样的性质：它能自动地产生或提出许多相关的问题，从而，借助于这一“问题”，可以顺利地去做出相应的发现．在此，可以采用问题链方法实现上述目标．所谓问题链方法就是以问题为主线，以提出问题—解决问题—再发现问题为全过程的，兼具收敛性和发散性的数学思维方法[7～10]．在一个完整的解题过程中，应该既包括严格意义上的发现，也应包括所谓的检证，亦即所谓的启发性及证明性两种程序．问题解决之后的“回顾与反思”步骤在一定程度上能摆脱关于发现与验证严格区分的思维框架，并进而提出新的问题和新的想法．正如波利亚所指出：教师的首要职责之一是不能给学生下列印象：数学题相互之间几乎没有什么联系，与其它事物也根本毫无联系．当回顾一个题目的解答时，自然有机会来考察这个题目与其它事物之间的相互系……然而，即便是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事做．他们这样的做法，遗漏了解题中一个重要而且有益的步骤．通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力．一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的．总还会有些事情可以做[2]．通过解题后的“回顾与反思”来改编、引申和推广问题，有利于发现数学问题与问题之间、方法与方法之间、概念与概念之间、体系与体系之间的包含关系、相似关系、相联关系等，并进一步发现数学内部之间各种各样的有机网络结构．解题之后进行推广引申，不仅可以培养学生的创新能力，还能帮助学生洞察本质，提高认识、居高临下、跳出题海[11]．

图4 三角形ABC的外角平分线问题

图5 基本问题框图

解题后的“回顾与反思”不仅仅提供找到一个更优美或更简单解答的可能性，它还能让学生体验到如何提出数学问题，体验到真正“做数学”的味道，而不仅仅是去记忆背诵或消化吸收已经做好了的数学．这是某种短暂而动人心魄的感受，也是重要而激动人心的数学思维方法．“回顾与反思”步骤是数学解题过程中内在的一个重要组成部分，是一种积极的思维活动与探究行为，是探索、是发现、是创造的源泉，有利于培养学生提出问题的能力和创新精神，有利于学生发现新的规律并加以拓展、延伸与推广，有利于学生提高数学素养和改进对数学的真正理解，是一个在数学解题、学习和研究中不能忽视的关键环节．正如波利亚曾指出：回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段……当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后，继续观察，再四处看看，就能发现一堆蘑菇，因为它们总是成群生长[2]．“蘑菇格言”在数学解题及其教学中很有启发：就是要善于运用好解题后的“回顾与反思”．许多学生难以学好数学就是缺乏这种“回顾与反思”的意识和能力，不知道如何通过“回顾与反思”来提出新的问题并进而产生新的发现．同样，对于一个教师来说，问题解决过程的一个重要组成部分就是尽力去创造相似或相关的问题，帮助学生由被动地回答教师所提出的各个问题逐步过渡到学生自己去提出问题．为此，教师必须时刻注意寻找能让学生做出引申、推广和提出猜想的机会，教师必须努力创造条件让学生寻找到数学问题与其它问题之间的广泛联系，解题后的“回顾与反思”能帮助教师实现这些目标．

[1] G·波利亚．数学的发现——对解题的理解、研究和讲授（第一卷）[M]．欧阳绛译．北京：科学出版社，1982．

[2] G·波利亚．怎样解题：数学教学法的新面貌[M]．涂泓，冯承天译．上海：上海科技教育出版社，2002．

[3] 王宏宾，罗增儒．例谈解题回顾的意义[J]．数学教学，2007，（5）：3．

[4] 聂必凯，汪秉彝，吕传汉．关于数学问题提出的若干思考[J]．数学教育学报，2003，12（2）：24．

[5] Jinfa Cai, M ichael Brook. Looking Back in Problem Solving [J]. Mathematics Teaching, 2006, (196): 42.

[6] Jacobbe T. Connecting Research to Teaching: Using Polya to Overcome Translation Difficulties [J]. Mathematics Teacher, 2007, (101): 390-393.

[7] 李三平．关于数学思维[J]．数学教育学报，1996，5（1）：17．

[8] 李莉．关于数学思维的特点[J]．数学教育学报，1995，4（1）：31．

[9] 黄光荣．对数学本质的认识[J]．数学教育学报，2002，11（2）：22．

[10] 王池富．浅谈数学思维的诱导[J]．数学教育学报，1995，4（1）：52．

[11] 钱从新．运用推广与引申的方法培养学生的创新能力[J]．数学教育学报，2003，12（1）：98．

On Looking-Back in Problem Solving and M athematical Problem Posing

XU Yan-hui
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035, China)

Since Polya’s putting forward the table of how to solve problem, the last stage is especially conspicuous and often overlooked. Based on the case study whether the central lines of two equal sides of isosceles triangle are equal, this paper describes how to push beyond getting a solution for a problem to adapting and generalizing the problem in the looking-back step.

Polya; looking-back; extension and generalization; isosceles triangle; problem posing

G420

：A

：1004–9894（2015）01–0009–04

[责任编校：周学智]

2014–09–20

教育部人文社科2012年青年基金项目——数学理解的认知科学基础及其应用研究（12YJC880131）

徐彦辉（1975—），男，江西丰城人，副教授，博士，从事数学教育的理论与实践研究．