具有弱sˉ-可补的准素子群的有限群
2015-03-17谢凤艳
谢凤艳
(安阳师范学院人文管理学院,河南 安阳 455000)
本文中所有群为有限群,G是有限群.未交待的符号和术语见参考文献[1-2].
通过子群的性质研究群的结构是群论研究的一个重要课题.早年Burnside,Thompson,Glauberman,Vilandt等人都从事过这方面的研究.正规子群是群论中一个重要的概念,在群的研究中占有重要的位置.通过子群的某些广义正规性质来研究有限群的结构,一直都是人们非常感兴趣的课题[3-6].特别地,2007年Skiba教授[7]引入了弱s-置换子群和弱s-可补子群的概念.这一新的思想方法和新的理论为群论研究注入了新的活力,并引起了一个新的研究热潮[7-13].一个群类F是群系,如果F是同态像和次直积闭的.一个群系F称为饱和的,如果它包含所有满足G/Φ(G)∈F的群G.我们记Hp为p-幂零群类,U为超可解群类.设F是一个群系.我们称G的子群H在G中F-补充,如果G有一个子群T∈F使得HT=G.徐勇等[10]将弱s-可补子群推广为弱可补,即G的子群H在G中弱sˉ-可补,如果G有子群T使得HT=G且H∩T≤HsˉG,其中HsˉG是包含在H中G的极大半置换子群.本文中利用准素子群的F-补充及弱可补性质,对有限群的结构进行研究,得到一些结论,推广和改进一些已知结论.
1 预备知识
引理1[10]设H≤K≤G.则下列断言成立:
引理2 设F是一个饱和群系,H在G中F-补充.
1)如果H≤M≤G,则H在M中F-补充.
2)如果N是G的正规子群,则HN/N在G/N中F-补充.
引理2的证明 因为F是一个饱和群系,所以F对商群及子群封闭,故1)、2)成立.
引理3的证明 假设引理不真,并令G为极小阶反例.显然,G的每个子群满足引理的条件.由G的极小选择,G是极小非p-幂零群.故G=[P]Q,其中P是G的Sylow p-子群,Q是G的Sylow q-子群.又因为G的每个商群满足引理的条件.因此Φ(P)=Φ(G)=1.从而P是初等交换p-群.由N/C定理知,NG(P)/CG(P)同构于Aut(P)的一个子群.而|Aut(P)|整除(p-1)(p2-1)…(pn-1),所以NG(P)/CG(P)=1.由Burnside定理知,G是p-幂零的.这一矛盾完成了引理3的证明.
2 主要结论及应用
定理1 设F是包含Hp的饱和群系,n是正整数且(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1.则G∈F的充分必要条件是G有正规子群E使得G/E∈F,E的某个Sylow p-子群P中存在子群D且1<|D|<pn+1使得每个满足|H|=|D|或者|H|=4(如果P是非交换2-群且|D|=2)条件的P的子群H在G中要么p-幂零补充,要么弱可补.
定理1的证明 必要性是显然的.这里仅证明充分性.因为|D|=pt<pn时,(|G|,(p-1)(p2-1)…(pt-1))=1.只需证|D|=pn时充分性成立.设此时充分性不成立,并设G是极小阶反例.
1)每个含于E中G的真子群为p-幂零群.
设K是含于E中G的真子群,则(|K|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1.如果,由引理3得K为p-幂零群.如果pn+1||K|.显然K/K为p-幂零群.令M是包含在P中K的Sylow p-子群.L是M的pn或者4阶子群(如果M是非交换2-群且|D|=2).则L是P的pn或者4阶子群.如果M是非交换2-群,则P是非交换2-群.由引理1和引理2,L在K中要么p-幂零补充,要么弱可补.故K满足定理充分性条件.因为G为极小阶反例,所以K为p-幂零群.
2)E≠G且G≠PQ.
若G=PQ,用类似1)的证明,得G为极小非p-幂零群.若E=G.由1)知,G为极小非p-幂零群.由文献[14,定理10.3.3]和文献[1,定理3.4.11]得,G=[P]Q,其中Q是G的Sylow q-子群,P/Φ(P)是G的主因子和exp(P)=p或exp(P)=4(P是非交换2-群).设H是G的pn阶子群.则H在G中要么p-幂零补充,要么弱可补.设T是H在G中的补充子群,即G=HT.令K=T∩P.则K正规于T.因为P/Φ(P)为初等交换群,所以KΦ(P)/Φ(P)正规于P/Φ(P).从而KΦ(P)/Φ(P)正规于PT/Φ(P)=G/Φ(P).由P/Φ(P)是G的主因子,KΦ(P)/Φ(P)=1或者KΦ(P)/Φ(P)=P/Φ(P).如果KΦ(P)/Φ(P)=1,则P=HT∩P=H.如果KΦ(P)/Φ(P)= P/Φ(P),则T=G.从而H=H∩T≤.即H=.从而HQ≤G.故P∩HQ=H(P∩Q)=H.而H=P矛盾|H|=|D|<|P|.故E≠G.
3)最后的矛盾.
由1)和2),E为p-幂零群.设K是E的Hall p'-子群,则K特征于E.因为E正规于G,所以K正规于G.如果K≠1.我们断言:G/K(相对于E/K来说)满足定理的条件.事实上,(G/K)/(E/K)≅G/E∈F,E/K=PK/ K≅P且|DK/K|=|D|.设M/K是E/K的子群且|M/K|=|DK/K|或者|M/K|=4(如果E/K是非交换2-群且|DK/K|= 2),则存在P的子群H且|H|=|D|或者|H|=4(如果P是非交换2-群且|D|=2)使得M=HK.由定理充分性条件及引理1和引理2,M/K在G/K中要么p-幂零补充,要么弱可补.由G的极小选择,G/K∈F.设fi(i= 1,2)是饱和群系函数使得Hp=LF(f1),F=LF(f2).因为K是G的正规p'-子群,所以对含于K的每个G-主因子Ki+1/Ki和每个整除|Ki+1/Ki|的素数q,有G/CG(Ki+1/Ki)f1(q).因为Hp⊆F,所以由文献[1,推论3.1.16]得f1(q)⊆f2(q).从而G/CG(Ki+1/Ki)∈f2(q).因此,由G/K∈F知G∈F.这一矛盾说明了K=1.从而P=E正规于G.于是PQ是G的一个子群,其中Q∈Sylq(G),q≠p.因为PQ/P∈Hp.由引理1和引理2,H在PQ中要么p-幂零可补充,要么弱s-可补.由G≠PQ和G的极小选择,PQ是p-幂零的.从而Q正规于PQ.设N是包含在P中的G的任一非单位正规子群,D是G的Sylow p-子群,则从而Op(G)≤CG(P)≤CG(N).从而[N,G]=[N,DOp(G)]=[N,D]且[N,D]正规于G.如果[N,D]=N,则对任意的非负整数t,N=[N,D,…,D]≤Dt+1,其中D在[N,D,…,D]中的个数为t.这与文献[2,定理A.10.3]矛盾.因此[N,D]<D.从而存在G的正规子群L使得N/L是G的主因子且[N,G]≤L,由此得到N/L≤Z(G/L).设f饱和群系函数使得F=LF(f).则G/CG(N/L)= 1∈f(p).由N选择的任意性知,G有包含在P中的正规链使得链中的每个G主因子N/L是f-中心的.因为G/P∈F,所以G∈F.这一最后的矛盾完成了定理的证明.
定理2 设F是包含U的饱和群系.如果G有可解正规子群E使得G/E∈F,F(E)的每个Sylow子群的极大子群或者极小子群和4阶循环子群(P是非交换2-群)在G中弱sˉ-可补,则G∈F.
定理2的证明 设p是|F(E)|的任意一个素因子且P∈Sylp(F(E)),则P正规于G,从而P≤Op(G).故P的极大子群或者极小子群和4阶循环子群(P是非交换2-群)在G中弱s-可补.我们断言:P≤ZU(G).若P的每个极大子群在G中弱s-可补,则由文献[13,引理2.17]得P≤ZU(G).若存在P的极大子群在G中不是弱s-可补,则P的每个极小子群和4阶循环子群(如果P是非交换2-群)在G中弱sˉ-可补.若p≠2,由文献[13,引理2.14]得从而P≤ZU(G).若p=2,令Q∈Sylq(G),其中q≠p.则P的每个极小子群和4阶循环子群(如果P是非交换2-群)在PQ中弱sˉ-可补.由定理1知PQ为2-幂零群.从而Q正规于PQ.仿照定理1中3)式的证明过程得G有包含在P中的正规链使得链中的每个G主因子N/L是f-中心的,从而P≤Z∞(G)≤ZU(G).由P的选择得F(E)≤OF(G).由文献[13,引理2.21]得G∈F.
推论1 设p是素数,n是正整数且(p-1)(p2-1)…(pn-1)=1.如果G有正规子群E使得G/E为p-幂零的,E中存在子群D且1<|D|<pn+1使得每个满足|H|=|D|条件的E的子群H在G中p-幂零补充,则G为p-幂零的.推论1的证明 如果E的Sylow p-子群P是非交换2-群且|D|=2.设L是E的子群且|L|=4,则存在E的子群H且|H|=2使得H<L.由充分性的条件,H在G中p-幂零补充.故存在T∈Hp使得G=HT.从而G=LT.即L在G中p-幂零补充.由定理1知,G∈F.
设F是饱和群系,G的子群H称为在G中F-s-可补的[15],如果G有一个子群T使得HT=G且T/T∩HG∈F.我们断言F-s-可补子群是F-补充子群.事实上,如果H在G中F-s-可补,则G有一个子群T使得G= HT且T/T∩HG∈F.我们仅考虑T∉F的情形.因为F是饱和群系,所以T∩HG⊄Φ(T).故存在T的真子群K使得T=(T∩HG)K.从而G=HT=HK且K/K∩HG=K/K∩(T∩HG)≅K(T∩HG)/(T∩HG)=T/T∩HG∈F.如果K∈F,那么H在G中F-补充.如果K∉F.继续上面的过程.因为G为有限群,所以|T|有限.故可以找到T的一个子群M使得M∈F且G=HM.即H在G中F-补充.
文中定理推广和改进以下几个结论.
推论2[15]设p是|G|的素因子并且满足(|G|,p2-1)=1.则G∈Hp充要条件是G有一个正规子群E使得G/E∈Hp并且E的每个p2阶子群在G中有p-幂零-可补充.
推论3[15]设G满足(|G|,21)=1.则G是2-幂零的充要条件是G的每个8阶子群在G中有p-幂零-可补充.
推论4[10]设p是一素数且(|G|,p-1)=1.假设G有正规子群E使得G/E∈Hp且E的某个Sylow p-子群P的每个极小子群和4阶循环子群在G中弱sˉ-可补,则G∈Hp.
推论5[12]设P是G的Sylow p-子群且(|G|,p-1)=1.假设G有正规子群E使得G/E∈Hp且E的某个Sylow p-子群的每个极小子群和4阶循环子群在G中要么有p-幂零可补,要么弱s-半置换,则G∈Hp.
推论6[11]设F是包含U的饱和群系.如果G有可解正规子群E使得G/E∈F,F(E)的每个Sylow子群的极大子群在G中弱s-可补,则G∈F.
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