高中数学教学中数学思想方法的渗透——以函数奇偶性教学为例

（河北省献县第一中学062250）

高中数学教学中数学思想方法的渗透
——以函数奇偶性教学为例

许桂兰

（河北省献县第一中学062250）

数学思想蕴涵于数学知识中，又相对超脱于我们所学的数学知识。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。在教授数学知识的基础上强化数学思想、方法的教学是中学数学教育改革和实现素质教育的必由之路。本文主要针对函数奇偶性的应用及此过程中涉及到的数学思想进行阐述。

函数奇偶性数学思想方法

所谓数学方法，是指人们从事数学活动的程序、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反映。著名数学家G.波利亚指出：数学思想、方法比形式化的数学知识更具有普遍性，在学生未来的工作和生活中有更加广泛的应用。数学思想、方法是高度抽象、概括的，所以学生一旦掌握了数学思想、方法，就能长久予以保持。这正如日本数学教育家米山国藏所说：“即使学生把所教给的法则和公式全忘了，铭刻在他心中的数学思想和方法却能使他终身受益。”数学思想、方法的掌握不仅有利于他深刻理解数学知识，而且有利于他的数学发现和创造。因此，我们要在讲清知识、提高学生分析问题和解决问题的同时，有意识地培养他们对数学思想方法的理解和兴趣，只有这样，学生才会产生主动学习的动力和积极参与的愿望，提高课堂学习效率，并能体会到数学的作用和美感。函数奇偶性是高中数学的重点考察内容，而且考察的时候综合性强，难度大，往往会同时考到函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心等内容。学习函数的奇偶性，能使学生体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。

一、利用函数的奇偶性求值，培养学生构造的数学思想

构造，就是按照人们某种期望的目标或需要去设计某个函数、方程或结构的工作，也是数学中常用的一种创造性思维方法。

例1.f（x）=asinx＋bx＋8，若f（－2）=10，求f（2）。

解：令g（x）=asinx+bx则g（x）为奇函数且f（x）=g（x）+8

由f（－2）=g（－2）+8=10

得g（－2）=2即g（2）=－2∴f（2）=g（2）+ 8=－2+8=6

评析：解题过程中构造了奇函数g（x），再利用奇函数的定义解题就非常方便了。此题同时体现了构造的数学思想，构造的数学思想很重要，在实际生活中我们也会经常去构造一个我们所熟悉的模式，同时达到把我们所不熟悉的转化成我们所熟悉的问题来思考的目的。在导数的问题中，我们经常会去构造一个函数；在数列中我们经常会去构造我们所熟悉的等差数列和等比数列；在三角函数中我们会有意识地利用辅助角公式去构造一角一函数的既有模式，总之构造法可以帮助我们多方位地思考问题，特别是对于提高我们的广度和深度有很大的好处。

二、利用函数的奇偶性求解析式，培养学生转化的数学思想

转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。

例2.函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2－sinx，求x＜0时，f（x）的解析式。

解：∵x＜0，∴－x＞0∴f（－x）＝（－x）2－sin（－x）＝x2＋sinx＝－f（x）

∴当x＜0时，f（x）=－x2－sinx

评析：此题解决过程中把x＜0转化为－x＞0体现了转化的数学思想。转化与化归是一种最基本、最重要的数学思想方法，它无处不在，它可以帮助我们把不熟悉的问题进行转化，转化成我们所熟悉的问题，把我们没有掌握的问题转化成我们已经掌握的问题。比如处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等。

三、利用函数的奇偶性解不等式，培养学生分类讨论的数学思想

分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。

例3.f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0）上单调递增，解不等式f（2a2+1）＜f（a2+3）。

解：由题意f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以2a2+1＞a2+3

即a2＞2，得或

评析：本题解法可以结合函数图像，利用偶函数的图像关于y轴对称来解决，也可以去讨论两个变量所在的区间，体现了一种分类讨论的思想。分类讨论是一种重要的数学思想，是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题转化为小问题，优化解题思路，降低问题难度。它要求我们对事件发生的各种情况要讨论周全，分别研究各种情况下的可能结果。分类讨论在导数和解不等式中都会重点考察，对学生来说既是重点又是难点，为了分散难点，突出重点，在平常的教学中就要注意对学生渗透。

四、利用函数的奇偶性求对称中心和对称轴，培养学生数形结合的数学思想

数形结合思想方法是中学数学重要的思想方法之一，利用数形结合来解决数学中的有关问题，有着明显的优越性。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识。

例5.已知y=f（2x－1）为偶函数，求y=f（x）的对称轴。

评析：这两个例题求函数的对称中心和对称轴，利用的是函数奇偶性体现出来的图像特征，奇函数的图像关于原点对称，是一个中心对称图形，偶函数的图像关于y轴对称，是一个轴对称图形。本题体现了数形结合的数学思想，数形结合是一种重要的数学思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。解析几何更是研究和体现数形结合的思想方法，同时在求方程的解的个数及函数的零点问题时也会用到。数诉诸于形，可以使问题变得形象生动、更直观，形诉诸于数，可以使问题变得严谨精确和规范严密。它可以让学生知道数学严谨的同时，体会数学本身体现出来的对称美。

综上所述，我们可以看到，函数奇偶性作为函数的重要性质，无论是求值，求解析式，还是解不等式和求对称性等，函数奇偶性的性质都有着广泛的应用，在学习过程中，我们既要掌握它的代数定义，也要熟练应用它的图像的对称性。特别要注意有意识地在教学中渗透数学思想和数学方法，不仅仅是在函数奇偶性的教学中，在其他的章节中也是这样。数学思想和数学方法是无处不在的，只有让学生掌握了这一点，才让学生掌握了一种数学思维的智慧，不仅仅对于培养学生思维的广阔性、全面性、多角度地研究问题很有帮助，而且会让他们在生活中体会这种智慧，拥有这种智慧，而受益终生。

（责编 金东）