非均匀圆环形薄膜的离散模型轴对称振动的定性性质

何　敏，章礼华，王其申

(安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246133)



非均匀圆环形薄膜的离散模型轴对称振动的定性性质

何敏，章礼华，王其申

(安庆师范学院 物理与电气工程学院，安徽 安庆 246133)

摘要：本文研究非均匀圆环形薄膜的微振动，由二阶中心差分格式导出了内外边界均任意支承的圆环形薄膜轴对称振动的差分离散模型，说明了该模型属于雅可比正系统，进而引出了该系统的振动定性性质。

关键词：非均匀圆环形薄膜；轴对称振动；离散模型；定性性质

膜结构具有重要的工程应用价值。均匀圆膜横振动问题的求解是数学物理方法中的一个重要内容，求解相应的偏微分方程可以导出Bessel函数[1]。非均匀膜横振动问题的研究是少见的，文[2]研究了非均匀圆膜的横振动，在此基础上，本文研究圆环形薄膜的横振动，涉及非均匀膜中的一种特殊情况，即物理参数满足轴对称分布但非均匀，边界条件也是轴对称分布的。

对于变参数的轴对称膜的横振动方程，其精确解是难以求得的，可以考察相应的离散系统。轴对称膜的振动方式有多种，其中轴对称振动模式是最基本和最重要的模式之一。本文采用二阶中心差分格式，导出了轴对称圆环形薄膜轴对称振动的差分离散模型。虽然在一般情况下，它不能归为一个变质量的弹簧-质点系统，但它仍然属于雅可比正系统。根据雅可比矩阵的振荡性质，即可得到该离散系统轴对称振动的定性性质。

1圆环形薄膜轴对称振动的方程和离散模型

下面研究质量轴对称分布的圆环形薄膜，其面密度是半径r的单值函数，即ρ=ρ(r)。这时圆环形薄膜满足如下的振动方程：

(1)

这里y=y(r,θ,t)表示膜的横向位移。在最一般的轴对称边界条件下，即

(2)

这里的常数T,k和h取值均大于零。对于圆环形薄膜的轴对称振动，位移y只与半径r有关，即y=y(r,t)。对方程(1)采用分离变数法求解，令y=u(r)ejωt，振动方程(1)可以化为

(3a)

或

(3b)

这里的ω对应于系统振动的圆频率。

一般地，方程(3)已不属于Bessel方程，但它还是属于斯图膜—刘维尔型方程的。方程(3)在边界条件

(4)

下构成了一类特殊的斯图膜—刘维尔方程的本征值问题[1]。

对于一般的密度函数ρ=ρ(r)，特征值问题(3)，(4)是没有精确解的。为了探求其近似解，首先建立与方程(3)，(4)相对应的差分离散系统。

图1　轴对称圆环形薄膜的差分模型

(5)

(6)

用us简记u(rs)(s=0,…,n)。关于内点s=1,…,n-1，用式(6)代入式(3b)得

(7)

在左端点s=0处，直接用泰勒公式(5)的第一式和边界条件(4)的第一式得到：

(8)

而在右端点s=n处，又利用泰勒公式(5)的第二式和边界条件(4)的第二式有

(9)

引入如下变换：

(10)

又令λ=ω2，得到离散系统的运动方程组：

(11)

上式中，

(12)

(11′)

2圆环形薄膜离散模型轴对称振动的若干定性性质

由于上面所述的差分离散模型是属于雅可比系统的，从雅可比矩阵特征值及特征向量的特有性质[3]出发，可以得到圆环形薄膜的离散系统轴对称振动具有下列所述的定性性质：

1)系统的圆频率是正实数和分立的，可以进行由小到大的排序，即

(0)≤ω1<ω2<…<ωN

这里只在h=k=0时取等号。当0

2)对应于ωk的第k个位移振型u(k)=(u0k,u1k,…,uN-1,k)T的变号数为k-1(k=1,2,…,N)个。

3)相邻的两个振型u(k)和u(k+1)(k=2,…,N-1)，其节点相间。

3结束语

以上我们导出了非均匀圆环形薄膜做轴对称振动时所对应的差分离散模型，进而讨论了它的定性性质。在此基础上，可以求解相应离散系统的振动反问题，包括模态反问题[2,4,5]以及频率反问题[2,6]等，本文不再详细探讨。

参考文献:

[1] 郭敦仁.数学物理方法[M]. 北京：科学出版社，1982.

[2] 王其申，汪杨，何敏，等. 非均匀圆膜轴对称振动的离散模型的振动反问题[J]. 振动与冲击，2011, 30(8):258-263.

[3] 甘特马赫，克列因. 振荡矩阵、振荡核和力学系统的微振动[M]. 王其申，译.合肥：中国科技大学出版社，2008.

[4] 王其申，王大钧. 由部分模态及频率数据构造杆件离散模型[J]. 振动工程学报(试刊号)，1987，1(1): 83-87.

[5] 何敏，王其申. 杆的差分离散一个新的模态反问题[J]. 力学季刊，2011，32(1): 141-146.

[6] 王其申，王大钧，何北昌. 由频谱数据构造两端铰支梁的差分离散系统[J]. 工程力学，1991，8(4):10-19.

Qualitative Properties of Discrete Model of an Inhomogeneous Circular Membrane with Axial Symmetric Vibration

HE Min, ZHANG Li-hua, WANG Qi-shen

(School of Physical & Electrical Engineering, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

Abstract:The vibration of an inhomogeneous circular membrane was researched, the second-order center difference scheme was used and the difference discrete model for axial symmetric vibration of a circular membrane with arbitrary supports was established. This model belongs to a positive Jacobi system. Thus, some qualitative properties of the system were obtained.

Key words:inhomogeneous circular membrane, axial symmetric vibration, difference discrete model, qualitative property

文章编号：1007-4260(2015)03-0054-03

中图分类号：O32

文献标识码：A

DOI：10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.03.015

作者简介：何敏，男，安徽巢湖人，硕士，安庆师范学院物理与电气工程学院副教授，研究方向为振动的定性性质和反问题。

基金项目：国家自然科学基金(10772001)，安徽高校省级自然科学研究项目(KJ2013B128)和安庆师范学院2012年校级教学研究项目。

收稿日期：2014-09-07

网络出版时间：2015-8-25 15:40网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20150825.1540.015.html