B—S模型在可转换债券定价中的应用研究

【摘要】可转换债券是集股权与债券于一体，兼具筹资和避险功能的混合性金融工具，随着我国资本市场的不断发展，可转债的交易规模迅速增长，其定价问题也日益受到投资者和企业的关注。由于可转债价值构成的特殊性，对其定价也相对较为复杂，因此，对可转债定价进行研究具有重要的理论和实际意义。Black一Scholes期权定价模型作为唯一的解析定价方法有着无法比拟的优势，是期权定价模型中最为重要的一个模型。本文以燕京转债（126729）为例，基于B-S模型对可转债的理论价值和市场价值进行了比较分析，分析B-S期权定价模型在我国可转债定价中的适用性。

【关键词】可转换债券  一般债券价值  期权价值  Black一Scholes模型

一、引言

可转换债券是一种较为新颖的金融衍生工具，是集债权性和股权性于一体、债券与认股权证相结合的中长期混合金融工具。债券持有者可以选择将债券持有至到期日，从而获得相应的本金和利息，也可以按照事先约定的条件将债券转换为公司发行的股票。

近年来，随着我国资本市场的不断完善，可转换债券作为一种新型的融资工具在我国资本市场上取得了较大的发展，它通过发债的形式出售隐含的期权，不仅降低了债券发行者的融资成本，投资者也可以通过选择是否行使转换权来有效的规避风险。而债券发行和转换的成败在很大程度上则取决于定价的合理性，公司需要制定一个合理的定价策略才能使债券发行很转换顺利进行，投资者则需要制定一个正确的投资决策以规避风险从而使收益最大化。因此，对发行的可转债进行一个科学定价成为了关键问题。国内外学者对可转债的定价先后进行了一系列的研究，并提出了众多有价值的定价模型，如违约风险结构模型，单因素模型，双因素模型，二叉树模型和B-S期权定价模型等。本文基于B-S期权定价模型对我国可转债的定价进行实证研究，并通过理论价格与实际价格的比对，分析B-S期权定价模型在我国可转债定价中的适用性。

二、可转换债券的价值分析

可转换债券是一种混合型金融产品，兼有债权性和期权性，是公司债券的特殊形式。可转换债券的价值由债权部分和期权部分组成，债权部分的价值主要体现在一般债券价值上，期权部分的价值则体现在买入期权的价值上，用公式表达即：可转换债券价值=一般债券价值+期权价值。

（一）一般债券价值

一般债权价值是指如果不对可转换债券行使转换权，则它的价值与普通公司债券的投资价值相同。这部分可以被认为没有任何风险的，它的价值等于债券持有者在持有债券期间能够获得的现金流的贴现值，公式表示：

B=■■+■

其中，B为普通债券部分的价值;I为债券各期的利息;P表示债券的票面金额;r表示市场的无风险利率;T表示债券的期限。

（二）期权价值

期权价值即股票的买权价值，由于可转换债券中隐含了回售、赎回和转换等多种期权，所以这一部分价值的确定相对较为复杂。期权的价值分内在价值和时间价值，期权的内在价值是指期权合约本身所具有的价值，如果股票市场价格大于转股价格，债券持有者就会行使转换权从而获得收益，这部分收益即股票价格与转股价之间的差额，也就是期权的内在价值。反之，债券持有者就不会行使转换权，此时，期权的内在价值就为0，用公式表述即：

■

其中C0表示单位期权价值，S表示股票价格，X表示转股价格。

期权的时间价值是指投资者为购买这份期权付出超出期权内在价值的这部分价值，投资者之所以愿意支付这部分价值，是因为他们预期随着市场价格的波动该期权的内在价值会增加。投资者预期价值增长越大，时间价值就越大。但时间简直给投资者带来的收益只是一种期望值，是否真的能转化为收益还存在着一定的不确定性。

由于期权定价的复杂性，可转债定价的焦点集中在买入期权的定价上，随着国内外学者的不懈努力，目前在这方面已经形成了一个比较系统的期权定价理论，其中在国际范围内被广泛认可的是Black-Scholes期权定价模型。本文也是基于B-S模型对可转债期权价值部分进行了估计。

三、基于Black-Scholes方法的可转债定价模型

（一）可转债定价理论模型

Black-Scholes模型主要用于欧式看涨期权的定价，是期权定价理论中较为重要的模型。

Black-Shcoles的假设条件：

（1）股票的价格服从随机过程中的几何布朗运动：dS=μSdt+σSdz，其中，S为股票价格;μ为股票期望收益率;σ为股票价格的波动率;dz为标准Wiener过程的增量;

（2）市场是无摩擦的，没有交易费用，期权的标的物可以自由的进行买卖，并可被无限分割;

（3）无风险利率为已知常数;

（4）在权力有效期内，不考虑股票的收益。

基于上述假定，Black和Scholes推导出了一个无套利可能性的欧式看涨期权的定价模型：

C0=SN（d1）-Xe-rtN（d2）

d1=■

d2=d1-σ■

C0表示当前的看涨期权价格，N（x）表示标准正态分布小于x的概率，X表示执行价格。

且可转债的价格V（S，t）满足以下控制方程：

■+■σ2S2■+（r-D）S■-rV=0，D表示股票红利支出。

（二）终端条件和边界条件

1.终端条件。可转债在到期日之时，债券持有者可以选择将债券兑换成相应比例的股票，也可以选则持有债券，从而获得本金和利息。当其转换价值大于一般债券价值时，基于理性的投资者而言，可转债就会发生转换，当转换价值小于一般债券价值时，就不会发生转换。所以终端条件为：

V（S，t）=max（nS，B）

其中n为转股比例，B为一般债券价值。

由此可见，可转债价值V（S，t）拥有两个价值底线，即一般债券价值和转换价值，在任何情况下，可转债的价值都要高于一般债券价值，在没有赎回限制的情况下，可转债价值应大于等于转换价值。

2.边界条件。当股票价格很高时，可转换债券的持有者就会将债券转换为股票，反之，当股票价格非常低时，其期权价值也是趋向于零的，此时，可转债的价值即为一般债券的价值。从而，其边界条件为：

V（S，t）=nS，       S→∞pe■+■I■e■，S→0

四、基于B-S模型的燕京转债定价的实证研究

燕京转债（126729）的发行总额为11.3亿元，按面值发行，每张面值为100元，发行日期为2010年10月5日，存续期限未5年，票面利率为第一年0.5%、第二年0.7%、第三年0.9%、第四年1.1%、第五年1.4%，每年付息一次;其转股期限为发行结束之日满六个月后的第一个交易日起至可转债到期日止。本文以燕京转债为例，研究B-S模型在我国可转债定价中的应用，本文引用的数据均来自国泰安数据库和wind数据库。

（一）参数的确定

1.无风险收益率的确定。国际上一般采用国债收益率来作为市场的无风险收益率，具体的选取是以与可转债发行日期和到期日期均相近的国债收益率为依据。燕京转债的存续期是从2010年10月15日至2015年10月15日，因此，本文选取了2010年10月21日发行的记账式附息（三十三期）国债（即10国债33）的收益率作为无风险利率，其票面利率为2.91%，由于国债利息的支付方式为单利，所以燕京转债的连续复利的无风险收益率为：r=LN（l+5*2.91%）/5=2.71%。

2.股价波动率的确定。股价波动率的确定通常有两种方式：一种是以历史数据为依据计算波动率，这是一种比较传统的方式，但由于我国股市一些特有的制度并不能满足其假设条件，一次这种方法在我国可转债定价中的应用是有一定的缺陷的。第二种方法是广义自回归条件异方差模型，即GARCH模型，这是一种动态模型，对股价的波动率有很好的预测作用。本文选取2012年6月1日到2014年5月30日之间的480个建议日的数据，利用eviews软件，采用GARCH模型来估算股价的波动率，得到股价波动率的方程为：

σ2t=3.11E-0.5+0.232319ε2t-1+0.745247σ2t-1 （1）

R2=0.919041 DW=1.848227

则，通过GARCH（1，1）模型估计出来的燕京啤酒的股价波动率σ=0.580403。

方程（1）中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，拟合优度R2=0.919041，说明模型的拟合效果很好，并且α+β=0.97756<1，满足GRACH（1，1）模型中参数的约束条件。且系数之和接近于1，表明条件方差受到的冲击是持久的，且这种冲击对未来的有着重要的预测作用。

（二）实证分析

将参数r与σ带入上述贴现模型和BS期权定价模型，对可转换债券的纯债券部分的价值和期权部分的价值分别进行了计算，然后再根据公式可转债券价值=纯债券价值+单位期权价值×转股比例，得到可转债的理论价格，并将其与市场价格进行对比。如图1，可以看出理论价值与市场价格的变化趋势基本上是一致的，说明模型的理论价值能较为准确地反映市场价格的走向，对可转债未来的市场价格有着很好的预测作用。

图1 燕京转债理论价格与市场价格趋势图

为了更好地解释模型理论价值与市场价格之间的相关性，本文还对两个变量进行了回归分析，回归结果如下：

表1 燕京转债回归结果

从表1可以看出，模型估算的理论价值较好的市场价格，虽然模型理论价值要略高于市场价格，但平均偏离率仅为12.33%，相对于其他研究成果来说算是较为准确的了。而且在回归分析中，燕京转债的市场价格和理论价值的相关系数为0.880163，且P值=0<0.01，说明该模型的参数在0.01的水平上显著，置信度达到99%以上。因此，该回归模型属于高度显著的，反映了模型估算的理论价值对市场价格有很好的解释作用。

五、结论

本文基于B-S期权定价模型对可转债的定价进行了研究，在股价波动率估算的过程中，为了提高估算的准确率，采用了GARCH（1，1）动态模型。实证的结果反映了理论价值对市场价格具有较好的解释作用，并且能较为准确地反映市场价格的走向，对理性投资者的投资决策有着好好的指引作用。

同时，B-S模型估算出来的理论价值偏离了市场价格，究其原因主要与模型本身以及我国目前证券市场的有效性不足有关：

一是模型中并没有考虑到诸多附加条款，如赎回权、回售权和转换权，这些都是内嵌的期权，也需要被合理定价，而B-S模型并没有考虑到这些条款对可转债价格的影响。

二是布莱克—斯科尔斯（B-S）期权定价模型要求证券市场是弱势有效的，股票的市价能够充分的反映历史上交易价格和交易量中所隐含的一切信息，而我国目前金融市场的效率低下，金融市场的监管严格，自由化程度低，一旦买入可转债，就很难再套现。使得可转债流动性降低，影响了可转债的价值。

三是我国证券市场上缺乏做空机制，可转换债券的套利难以实现，市场无法通过套利的方法使市场价格处于一个无套利均衡点附近，从而使可转债的理论价值与市场价格之间出现了偏离。

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作者简介：汤洁（1990-），女，汉族，安徽安庆人，毕业于南京师范大学，研究方向：金融学。