基于分形理论的粉煤灰渗透率研究

赵明华，戴 杰，张 玲, 尹平保

(湖南大学 岩土工程研究所，湖南 长沙 410082)

基于分形理论的粉煤灰渗透率研究

赵明华†，戴 杰，张 玲, 尹平保

(湖南大学 岩土工程研究所，湖南 长沙 410082)

以冻干法制作的粉煤灰不扰动试样为对象，研究粉煤灰的孔隙结构，利用显微数码成像技术、专业图像处理技术，结合分形理论得到了粉煤灰孔隙半径分布分维数，并分析了粉煤灰孔隙结构具有多重分形的原因.利用毛细管束模型和Poiseuille方程推导了粉煤灰的渗透率与孔隙半径分布分维数之间的定量化函数式.由参数分析可知粉煤灰的渗透率随最大孔隙半径及拐点孔隙半径的增大而增大、并且随区间Ⅰ和区间Ⅱ的孔隙半径分布分维数的增大而减小.

道路工程；渗透率；分形理论；孔隙半径分布分维数；图像处理

粉煤灰是原煤经粉碎加工在高温下燃烧熔化后，冷凝残留的烧结物，其组织疏松，其中50%～70%为空心的玻璃质球体.随着我国经济的进一步发展，工业粉煤灰的排放飞速增长，如何将其进行合理的资源优化显得尤为重要[1].关于工业粉煤灰的综合利用，因其渗透率大，渗水性好，越来越多的高速公路或铁路利用粉煤灰来填筑路基.已有的研究表明[2-4]，粉煤灰路基的压实度及稳定与粉煤灰自身的渗透率密切相关.因此，如何合理有效地评价粉煤灰的渗透性，成为粉煤灰路基修筑的关键问题.关于工业粉煤灰的渗透率，国内外已有学者对此开展过相应的研究，如：Bros B等[5]对灰坝渗流的控制进行研究，得到粉煤灰的渗透系数的各向异性比值为2～6；陈愈炯等[6]对粉煤灰的物理、化学，以及力学性质做了初步的介绍，粉煤灰的渗透系数约为10-3～10-5cm/s量级；黄敬如[7]通过现场试坑注水试验，对粉煤灰坝体的渗透性能进行了初步探讨，测得粉煤灰坝体的渗透系数为(2～10)×10-4cm/s，得粉煤灰水平向的渗透系数大于垂直向的渗透系数的结论；蔡红等[8]通过室内试验研究了粉煤灰透水性和各向异性等特性，分析了试验方法、试样密度、粉煤灰的结构性等对其渗透性的影响程度.

然而，上述研究大多停留在试验阶段，有关粉煤灰渗透率的理论研究尚鲜有报道.综合分析上述试验研究成果可以发现，粉煤灰的渗透率主要取决于其孔隙结构.因此，如何将粉煤灰渗透率与孔隙结构联系起来，成为该问题理论研究的关键.由于粉煤灰孔隙结构的复杂性及不确定性，传统的研究方法难以描述其特征，而已有大量研究[9-12]表明：分形理论能较好地描述土体的孔隙结构.

为此，本文首先利用数字图像技术对粉煤灰微观结构的显微图像进行定量分析，得到粉煤灰孔隙分布特性；其次，借助分形理论，基于毛细管束模型和Poiseuille方程，建立了粉煤灰渗透率与其孔隙结构之间的定量关系式；在此基础上，进一步分析探讨了影响粉煤灰渗透率的各个主要因素，为粉煤灰合理利用提供参考.

1 粉煤灰孔隙结构研究

1.1 试样制备与试验方法

在最佳含水率25.8%的条件下采用轻型击实实验进行粉煤灰试件制样，为尽量减小制样时对粉煤灰试件的扰动，本文采用内径61.8 mm的不锈钢薄壁取土器对重塑粉煤灰进行取样，经低温冷冻干燥后用锋利的小刀削切试样，并用橡皮球吹去试样表面的扰动颗粒，使其暴露出新鲜的表面供研究.该方法可避免破坏粉煤灰试样的原始孔隙结构.

研究粉煤灰的渗透性必然涉及到孔隙大小的影响.根据文献[13]对孔隙大小的分级标准，结合本文的研究对象，主要将其分为如下3个等级：

1) 微孔隙.孔径为l～10 μm，在较高压力下水可渗流，但渗透率较低；

2) 小孔隙.孔径为10～100 μm，在自然状态下，有一定的水头压力时，水可以通过其渗流，渗透性较好；

3) 大孔隙.孔径>100 μm，地下水可以在其较顺畅地渗流.

1.2 孔隙结构图像的获得与处理

本文采用数码体视显微镜实现粉煤灰孔隙结构的图像采集，选取粉煤灰试件的4个不同位置在不同放大倍数下进行拍照，得到6组不同倍率下的粉煤灰孔隙结构照片24张.为了结合本文研究粉煤灰孔隙的尺寸范围，最终采用放大倍率为150倍的照片，共4张.图片大小均为352×352(单位：像素)，每1个单位像素代表1.425 μm.

将获得的4张真彩色原始显微图像，利用专业图像处理软件通过去噪音、对比度增强、背景平滑等初步处理，使图像更加清晰，然后将其转化成灰度图像，再通过直方图均衡化、弱化等处理，使粉煤灰孔隙结构的特征更加明显.为了真实地反应孔隙结构，须将灰度图像分割成黑白二元图像.目前，国际上对于图像分割并无完善的方法，本文采用目视法对显显微数码图像进行阀值分割[14].在粉煤灰试样中选择一幅具有代表性的图像作为分析对象，分割后的二元图像，白色为固体颗粒，黑色为孔隙.图1表示典型的图像处理过程.

(a)原始显微图像

(b)灰值化处理

(c) 直方图均衡化处理

(d) 分割为二元图像

2 粉煤灰孔隙半径分布分维数分析

2.1 孔隙半径分布分形模型

对于岩土多孔介质的微观孔隙结构而言，降维生成分形模型的分维数适用于描述孔隙的尺寸分布.以粉煤灰的孔隙为研究对象，则粉煤灰颗粒为背景.采用Sierpinski地毯模型为例，如图2所示，其中白色表示粉煤灰中的矿物颗粒，黑色表示粉煤灰孔隙.

图2 Sierpinski地毯模型

设粉煤灰孔隙半径为r，则大于孔隙半径r的孔隙累积数目N(r)满足关系[15]：

(1)

式中：f(r)为孔隙半径r的分布函数;D为孔隙半径分布分维数;c为分形系数.

对式(1)两边关于r求导，可得孔径分布的密度函数为：

(2)

2.2 孔隙度概率模型

粉煤灰孔隙分布的概率密度函数可以通过式(2)求解，但式(2)中的系数c很难确定，因此，采用古典型概率分布的定义方法来计算孔隙的概率密度分布[16].

设粉煤灰孔隙半径r的范围为[r0,rm]，根据古典型概率分布的定义，有

(3)

由式(3)知分布函数为:

(4)

将式(1)代入式(4)中并整理可以得到孔隙分布函数为:

(5)

式(5)两边同时对rp求导数,可以得到孔隙分布的概率密度函数表达式为：

(6)

2.3 粉煤灰孔半径分布度分维数求解及结果分析

通过专业图像分析软件得到粉煤灰孔隙的当量圆半径，以孔径r为横坐标，大于该孔径的孔隙数N(r)为纵坐标，在双对数坐标系中确定其对应关系，取其稳定的直线部分的斜率的负值为孔隙度分维数.粉煤灰试样4处不同位置的显微图像经过数字图像处理技术后，得到的相关粉煤灰孔隙半径分布分维数如图3所示．

表1为粉煤灰试样4处不同位置的孔隙半径分布分维数.由表1和图3可以看出：

1) 孔隙累积个数与孔径大小在双对数坐标平面内呈折线型，每段折线说明在一定尺度范围内粉煤灰孔隙具有自相似特征，折点表征粉煤灰孔隙结构性质变化的转折点.

ln(r)

表1 粉煤灰试样孔隙半径分布分维数

2) 图3中由两段折线构成，表明粉煤灰孔隙具有多重分形性质.粉煤灰孔隙结构多重分形的生成往往是由于粉煤灰在形成过程中受到多个因素的影响，而每个因素的影响范围是有限的，这样就形成了不同的分形并按一定的分布存在于整个粉煤灰孔隙结构中.煤经过粉磨后变成能悬浮于空气中的煤粉颗粒，在很高温度下，煤粉达到熔融状态后由于表面张力达到最小，煤粉颗粒的棱角会收缩为球状；煤粉颗粒充分燃烧后离开火焰区域，迅速移动到温度较低区域与煤粉燃烧过程中产生的CO，CO2，SO2以及水蒸气发生二次反应进行聚合和解聚.由于粉煤灰形成过程的复杂性，导致了孔隙分布的不均匀，使图出现了在10 μm附近的拐点，两个折线段表明粉煤灰孔隙可划分为两个分维数的结构层次.

3) 图3中每段折线的拟合相关系数在0.90以上，表明粉煤灰孔隙结构具有分形特征，可以用分形理论对粉煤灰的孔隙结构进行研究.

4) 区间I的分维数在0.18左右，表明在此区间小孔隙分布很均匀；区间Ⅱ的分维数在1.9左右，说明此区间的孔隙分布均匀性比区间I差.

3 基于分形理论的粉煤灰渗透率分析

3.1 基本模型建立及求解

粉煤灰的渗透率是表征粉煤灰传导液体能力的参数，其大小与孔隙度、液体渗透方向上的孔隙的几何形状、颗粒大小及排列方式等因素有关.对于粉煤灰这种球形颗粒状材料，通常采用毛细管束模型进行模拟.假设有一根长为L，内径为r的毛细管，其流体黏度为μ，在压差(P1-P2)下作层流流动，单根毛管中的渗流流量为：

(7)

由式(6)以及粉煤灰孔隙的结构特征可得：

(8)

式中：rg为拐点孔隙半径；D1，D2分别为区间I和区间Ⅱ的孔隙半径分布分维数.

根据Poiseuille方程，结合粉煤灰孔隙的结构特征，可知通过某个单元截面A的总流量Q为：

(9)

设区间Ⅰ和区间Ⅱ内最小孔隙与最大孔隙的半径比分别为：λ1=ro/rg和λ2=rg/rm.则式(9)可进一步简化为：

(10)

根据Darcy定理，可得粉煤灰渗透率K为：

(11)

3.2 参数分析

由式(11)可知，粉煤灰渗透率的大小取决于最大、最小孔隙半径rm，r0以及粉煤灰的孔隙结构参数D1，D2和rg.本文中数码体视显微镜所能识别的最小孔隙半径r0为0.8 μm，研究区域的面积A=2 486 402 μm2.本文着重研究rm，rg，D1和D2对粉煤灰渗透率的影响.

图4表示粉煤灰渗透率随最大孔隙半径rm的变化情况.由图4可知，rm的取值对粉煤灰渗透率的影响很大，随着粉煤灰最大孔隙半径rm的增大，其渗透率也增大.

最大空隙半径rm/μm

图5表示将粉煤灰孔隙结构划分为两个层次的拐点孔隙半径rg对粉煤灰渗透率的影响.由图5可知，粉煤灰渗透率随着拐点半径rg的增大而增大.

拐点半径rg/μm

图6和图7分别表示区间Ⅰ，区间Ⅱ的孔隙半径分布分维数对渗透率的影响.由图6和图7可知，粉煤灰渗透率随孔隙半径分布分维数的增大而减小.这是由于孔隙半径分布分维数的大小可以反映不同孔径的孔隙数目的变化情况.同时孔隙半径分布分维数越小，表明粉煤灰的孔隙率越大，从而使得粉煤灰的渗透率越大.并且对比图6和图7可知，区间Ⅱ的孔隙半径分布分维数D2比区间Ⅰ的孔隙半径分布分维数D1对粉煤灰渗透率的影响要突出，这也验证了本文前面所提到的水在小孔隙内易发生渗透，而在微孔隙内，水的渗流较难发生.

孔隙度分维数D1

孔隙度分维数D2

4 结 论

本文基于分形理论，通过图像识别技术得到了粉煤灰的孔隙半径分布分维数，在此基础上推导了粉煤灰渗透率与孔隙半径分布分维数的关系式，并由此展开了分析与讨论，得到以下结论：

1) 粉煤灰孔隙具有较好的自相似特征，可以用分形理论很好地描述粉煤灰的孔隙结构特征.

2) 粉煤灰孔隙具有多重分形性质，由于粉煤灰颗粒大小分布不均匀，导致了孔隙分布的不均匀，本文粉煤灰试样大约在10 μm的位置出现拐点，由此粉煤灰孔隙可划分为两个分维数的结构层次.

3) 粉煤灰渗透率随拐点孔隙半径rg和最大孔隙半径rm的增大而增大.

4) 粉煤灰渗透率随区间Ⅰ、区间Ⅱ的孔隙半径分布分维数的增大而减小.区间Ⅱ的孔隙半径分布分维数对粉煤灰渗透率的影响比区间Ⅰ的孔隙半径分布分维数要大.

粉煤灰的孔隙结构存在分形结构特征，本文就这种结构现象对粉煤灰渗透率的影响进行了一些初步的探讨，也获得了一些有益的结果.但由于粉煤灰孔隙结构形态、孔隙结构的连通性等复杂性，还有许多问题有待进一步深入研究.

[1] 钱觉时.粉煤灰特性与粉煤灰混凝土[M].北京: 科学出版社, 2002: 1-20.

QIAN Jue-shi. Characteristics of fly ash and fly ash concrete [M]. Beijing: Science Press,2002:1-20.(In Chinese)

[2] 李耕,查其明.粉煤灰修筑路堤的研究[J].路基工程，1988(6): 39-49.

LI Geng, ZHA Qi-ming. Study on embankment construction with fly ash [J]. Subgrade Engineering, 1988(6): 39-49. (In Chinese)

[3] 岳祖润,周宏业,汪春杰,等.粉煤灰在铁路工程中的应用研究[J]. 铁道学报, 1998(5): 132-136.

YUE Zu-run, ZHOU Hong-ye, WANG Chun-jie,etal. Study on utilization of fly ash in railway construction [J]. Journal of the China Railway Society, 1998(5): 132-136. (In Chinese)

[4] 赵明华, 刘琴, 邹新军. 水泥粉煤灰碎石 (CFG) 桩复合地基固结分析[J]. 湖南大学学报: 自然科学版, 2007, 34(9): 1-5.

ZHAO Ming-hua, LIU Qin, ZOU Xin-jun. Consolidation analysis of composite ground with cement fly-ash gravel piles[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2007, 34(9): 1-5. (In Chinese)

[5] BROS B, PARYLAK K. Seepage control from ash lagoons [J]．Proc XIICSMFE Sanfranscisco, 1985,3:1183-1184.

[6] 陈愈炯, 愈焙基, 李少芳. 粉煤灰的基本性质—发展水平报告之一[J]. 岩土工程学报, 1988, 10(5):3-16.

CHEN Yu-jiong, YU Pei-ji, LI Shao-fang. Fundamental properties of fly ash-state of the art report Ⅰ [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1988, 10(5): 3-16. (In Chinese)

[7] 黄敬如.粉煤灰坝体渗透性能的初步探讨[J]. 岩土工程学报, 1988, 10(5):135.

HUANG Jing-ru. Preliminary exploration on permeability of fly ash dam [J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1988, 10(5):135. (In Chinese)

[8] 蔡红, 温彦锋, 边京红.粉煤灰的透水性及各向异性[J].水利水电技术,1999, 30 (12): 27-29.

CAI Hong, WEN Yan-feng, BIAN Jing-hong. Permeability and its anisotropy of fly ash [J]. Water Resources and Hydropower Engineering, 1999, 30 (12): 27-29. (In Chinese)

[9] THOMPSON A H, KATZ A J, KROHN C E. The microgeometry and transport properties of sandstones[J]. Advances in Physics, 1987, 36(5): 625-694.

[10]谢和平. 岩土介质的分形孔隙和分形粒子[J]. 力学进展, 1993,25(2): 145-164.

XIE He-ping. Fractal pores and particles of geomaterial [J]. Advances in Mechanics, 1993, 25(2): 145-164. (In Chinese)

[11]刘松玉, 张继文. 土中孔隙分布的分形特征研究[J].东南大学学报, 1997, 27(3): 127-130.

LIU Song-yu, ZHANG Ji-wen. Fractal approach to measuring soil porosity [J]. Journal of Southeast University, 1997, 27(3): 127-130. (In Chinese)

[12]刘晓明, 徐汉飞, 赵明华. 基于分形理论的红层软岩崩解性消除方法研究[J]. 湖南大学学报: 自然科学版, 2013, 40(6): 27-32.

LIU Xiao-ming,XU Han-fei,ZHAO Ming-hua.Research on method of eliminating the slacking properties of red beds soft rock based on fractal theory[J]. Journal of Hunan University: Natural Sciences, 2013, 40(6): 27-32. (In Chinese)

[13]吴恩江, 韩宝平, 王桂梁, 等. 山东兖州煤矿区侏罗纪红层孔隙测试及其影响因素分析[J].高校地质学报, 2005,11(3): 442-452.

WU En-jiang, HAN Bao-ping, WANG Gui-liang,etal. Pore structure test of Jurassic red-bed in Yangzhou mining area, Shandong province, and its affecting factors [J]. Geological Journal of China Universities, 2005, 11(3): 442-452. (In Chinese)

[14]张季如, 祝杰, 黄丽, 等. 固结条件下软黏土微观孔隙结构的演化及其分形描述[J]. 水利学报, 2008, 39(4): 394-400.

ZANG Ji-ru, ZHU Jie, HUANG Li,etal. Evolution of micro pore structure of soft clay and its fractal features under consolidation [J]. Journal of Hydraulic Engineering, 2008, 39(4): 394-400. (In Chinese)

[15]CRAWFORD J W, MATSUI N. Heterogeneity of the pore and solid volume of soil: distinguishing a fractal space from its nonfractal complement [J]. Geoderma, 1996, 73: 183-195.

[16]马新仿, 张士诚, 郎兆新.分型理论在岩石孔隙结构研究中的应用[J]. 岩石力学与工程学报, 2003, 22(S1): 2164-2167.

MA Xin-fang, ZHANG Shi-cheng, LANG Zhao-xin. Application of fractal theory to pore structure research[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(S1): 2164-2167. (In Chinese)

Fractal Theory-based Study of the Permeability of Fly Ash

ZHAO Ming-hua†，DAI Jie，ZHANG Ling，YIN Ping-bao

(Geotechnical Engineering Institute，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China)

This paper investigated the pore structure of fly ash with the object of undisturbed fly ash samples prepared by freeze drying. By incorporating microscopic digital imaging technology and professional image processing technology, the porosity density dimension of fly ash was derived on the basis of the fractal theory, and the cause of the multi-fractal property of pore structures of fly ash was analyzed. A function quantifying the relation between the permeability and the porosity density dimension of the fly ash was derived by employing capillary bundle model and Poiseuille equation. Parametric analysis indicates that the permeability of fly ash increases with the increase of the maximum pore radius and the inflection point of pore radius, and decreases with the increase of the fractal dimension of the pore radius distribution in sections I and Ⅱ．

road construction; permeability; fractals; fractal dimension of the pore radius distribution; image processing technology

1674-2974(2015)01-0075-06

2013-05-25

国家自然科学基金资助项目(51208191),National Natural Science Foundation of China(51208191)

赵明华(1956-)，男，湖南洞口人，湖南大学教授，博士生导师†通讯联系人，E-mail:mhzhaohd@21cn.com

TU441

A