一种并联机器人的时间最优轨迹规划方法

殷国亮，白瑞林，王永佳，李 新

（1.江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122；2.无锡信捷电气有限公司，江苏 无锡 214072）

一种并联机器人的时间最优轨迹规划方法

殷国亮1，白瑞林1，王永佳1，李 新2

（1.江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122；2.无锡信捷电气有限公司，江苏 无锡 214072）

为提高Delta机器人的动作速度，提出一种时间最优轨迹规划方法。分割机器人的工作区域，选择每个区域的中心点作为标准点，通过逆运动学方法将笛卡尔空间坐标转换到关节空间，采用5次B样条插值构造关节空间的运动曲线，利用分数阶粒子群算法寻找各区域标准点的B样条全局最优时间节点，规划时间最佳运动曲线。在保证关节角速度、角加速度、角加加速度平滑及约束的前提下，提高动作速度。利用模糊推理规则，在线确定计算点的最优时间节点分布。实验结果表明，该方法简单实用，以实验室Delta机器人为例，将工作区域中的物件抓取到目标位置，所用时间范围为0.543 s～0.735 s，克服了传统轨迹规划方法运行速度较慢的不足。

Delta机器人；轨迹规划；时间最优；B样条；粒子群算法；模糊规则

1 概述

随着机器人技术发展日趋成熟，并联机器人由于其高速、轻质的特点，在生产线上运用越来越广泛，特别是在筛检、装箱等重复性劳动的工序中应用最为常见。工作效率是当前机器人工业现场中的重要指标之一。为提高机器人运动速度，时间最优的轨迹规划方法是机器人研究领域中的重要方向。

文献［1-2］分别从电机加减速方面提出了基于梯形速度曲线和指数曲线的多约束条件下机器人关节空间轨迹规划方法，但是这些方案只适用于点到点的运动，无法满足工业现场运动空间多点路径控制的需求。当机器人运动过程存在多个控制点时，

为保证机器人运动的平滑性，一般采用3次或5次多项式插值［3］、3次样条插值［4］、3次或 4次 B样条插值［5-6］等方法构造轨迹曲线，同时获取控制点的时间节点分布和总时间。但是采用多项式插值和低阶样条插值方案不能保证加加速度的连续，使机械结构产生震动，而且只能优化机器人各关节的轨迹曲线，不能缩短机器人的运动时间［7］。

为缩短机器人动作时间，文献［8］用混合遗传算法进行时间寻优，但是搜索缺少并行机制，搜索效率不高，且采用在线寻优具有时间不确定性。文献［9］运用信赖域方法进行时间节点寻优，但是容易陷入局部最优解。文献［10］使用和声搜索方法，但是这种方法对初始和声记忆库依赖性强，有其局限性。文献［11］运用二次规划方法，这种方法对初始值敏感，收敛半径小，容易陷入局部极值。

本文对Delta并联机器人的关节空间进行轨迹规划，针对并联机器人的快速、轻质的特点，提出一种基于Delta并联机器人的时间最优轨迹规划方法。该方法考虑伺服电机速度、加速度、加加速度的结构限制，在机器人执行器动态性能可承受范围内，经运动过程中的控制点构造运动轨迹。

2 时间最优轨迹规划问题描述

2.1 实现方案

实时时间最优轨迹的实现方案如图1所示。首先，离线构造时间节点库。其输入参数为目标笛卡尔空间位置，输出参数为Delta机器人关节空间时间节点坐标。在线识别的过程由以下3步构成：获取目标位置，得到门形动作序列，计算 B样条曲线等。其中，门形动作序列包含7个控制点，由目标位置确定。由机器人逆运动学将其转化为关节空间序列，将关节空间序列与寻找的时间节点共同构造B样条函数，以完成轨迹规划。

图1 时间最优轨迹整体流程

2.2 模型描述

针对Delta机器人工业现场筛检与装箱的动作特点，将机器人在笛卡尔空间的作业轨迹离散化，将机器人末端执行器的动作位姿近似为门形动作，采用圆弧直线规划。Delta机器人笛卡尔空间中的7个位姿点作为目标点，得到一组笛卡尔空间机器人相应位姿的离散点序列｛Qi|i=0，1，2，…，n｝，如图2所示，其中，Qi=（χi，yi，zi）为Delta机器人执行器末端相对于机器人基坐标的位姿。

图2 笛卡尔空间离散点序列

将门形抓取动作拆分为5个部分，Q0-Q1，Q2-Q3，Q3-Q4和Q5-Q6采用直线插值，Q1-Q2和Q4-Q5采用半径为5 cm的圆弧插值曲线，选取插值曲线的端点作为轨迹控制点，则得到控制点坐标如式（1）所示，坐标单位为cm。6

通过逆运动学求解Qi的关节点序列｛Pi|i=0，1，…，n｝，其中 Pi=（θ1i，θ2i，θ3i），逆运动学角度通过式（2）求解：

其中：

其中，ej为机器人动平台与静平台的外接圆半径差bi-ai；l1，l2分别为主动臂和从动臂的杆长；β为从动臂旋转角度；wj为单位矢量，有：

机器人基坐标建立在Delta机器人顶部的中心位置，如图3中XYZ坐标系所示。通过逆运动学得到关节点序列Pi后，利用多项式或者B样条对序列点进行插值，求取关节空间的轨迹。

图3 Delta机器人单支链模型

3 光滑曲线的数学模型建立

建立光滑曲线一般采用3种方案保证曲线的光滑性：（1）引入时间能量指标，综合考虑时间能量的相互影响；（2）引入脉动函数作为限制条件，克服脉动过大；（3）利用样条曲线作为模型保证曲线平滑性。

前2种方案都引入了新的优化参数变量，在增加优化复杂度的前提下提升曲线优化性能，但是不能保证曲线的加加速度的连续平滑，可能会产生加加速度突变的情况。

相对于多项式插值与样条函数插值方案，5次B样条插值具备速度、加速度和加加速度的连续性和数值可设置性，所以本文选用5次B样条作为平滑曲线的数学模型，在关节空间内插值。

对于关节空间位置-时间节点序列｛Pi，ti｝，i= 0，1，…，n。其中，Pi为关节角度矢量；ti为时间节点矢量。要使得B样条轨迹在时间节点ti处经过关节位置节点Pi，需要规划B样条插值轨迹。B样条曲线方程为：

其中，di（i=0，1，…，n）是 n+1个控制顶点；Ni，k（u）（i=0，1，…，n）为B样条基函数。按照Cox-deBoor递归公式定义如式（5）所示：其中，k表示B样条次数；i表示B样条序号；ui表示节点向量；ui为非递减序列［12］。

根据曲线的分段连接点与关节位置节点相等，将关节位置节点值分别代入，即可得到 n+1个方程：

对于B样条曲线上一点处的r阶导数Pr（u）可按式（7）计算：

通过式（7）分别求得起始和终止节点处的导数P′0，P′n，P″0，P″n，P‴n和 P‴n。 从而，求解方程简化为：

CN是一个11×11的系数矩阵，与5次B样条的基函数相关。设 CN（i，j）为第 i行第 j列元素，CN（i，j）=Ni+j-3，5（ui+4），i=2，3，…，6，j=i，i+1，…，i+4，其他元素与起始和终止时刻的关节速度、加速度相关。

4 分数阶粒子群算法寻优

由于5次B样条函数的时间节点可以调节，通过对时间节点的调整，可以调节曲线的整体性能，使其满足在机器人系统符合速度、加速度连续的要求，通过时间节点的控制，产生不同的样条曲线。

5次B样条的时间节点间隔必须满足电机机械结构的限制，如式（9）所示：

其中，t∈［ti，ti+1］；VCj，ACj，JCj分别表示机器人本体的限制速度、加速度和加加速度。

在考虑机器人结构约束的同时，要求总的运动时间最短，构造目标函数如式（10）所示：

其中，ti，i=0，1，…，n为电机转动到Pi的时间。

时间节点的寻取采用改进的粒子群算法。在符合机械结构限制的前提下，对时间节点进行寻优，寻

优算法的流程如图4所示。

图4 算法总体流程

分数阶粒子群算法相对于经典的粒子群优化算法流程总体相似，区别在于初始化一群随机粒子后，每一次的迭代更新自己的速度和新的位置方式不同。经典方法直接与上一次函数目标的位置和速度相关，最终通过跟踪粒子本身所找到的最优解和整个种群目前找到的最优解来确定最佳位置，如式（11）所示：

其中，ω是非负常数；c1，c2为学习因子；r1，r2为随机数，范围在0～1之间。通过迭代，最终粒子寻找到全局最优解。

而基于分数阶的粒子群算法对粒子位置和速度更新方程式重新构造，设时域分数阶方程的形式为式（12）：

将包含无限项的式（12）近似为关于时间的导数：

其中，T表示离散的采样周期；r表示最终终止阶数。

由式（13）可知，这是一个无限项的和，r控制终止阶数，取r=4，α=0.5，则上式变为：

则：

通过重新构造的更新式（15）替换式（11），与经典粒子群算法相比，利用分数阶微分算子，可以记忆多步速度以提高粒子的收敛速度和全局搜索能力。

5 基于模糊分类的区域选择

在通过研究分数阶粒子群寻优的5次B样条轨迹规划方法后，可以得到工作空间中一点的最佳时间节点和轨迹。但是，在Delta机器人工作现场，由于其高速性特点，必须快速规划动作轨迹，在线的智能算法寻优无法满足其实时性需求。所以将离线寻优与在线模糊规则选择相结合，克服单纯在线寻优的缺点。文中采用双输入-单输出模糊推理规则，输入为智能相机获得的传送带物件中心位置的横坐标和纵坐标，输出为最优时间节点分布。

以Delta机器人坐标系原点为中心，将机器人在传送带上的工作区域进行模糊划分。Delta机器人在传送带平面的工作区域为40 cm×60 cm。在χ方向上，将40 cm的工作区域模糊集定义为9个子集，在y方向上，将60 cm的工作区域模糊集定义为13个子集。将这些χ与y方向上隶属度都为1的点作为标准点，利用上文的粒子群算法计算最佳时间节点，其隶属函数如图5、图6所示，隶属范围都为0～1。

图5 X隶属函数

图6 Y隶属函数

当智能相机在线识别到物件坐标位置时，通过其X和Y的隶属度以及周边4个离线计算的时间分布标准点重新计算当前的时间分布节点。为了便于计算，论域采用等腰三角形隶属函数，保证了在工作区域的每个坐标位置其所属隶属度函数的和为 1。具体计算方式为：

对于工作区域中识别出的目标位置（χ，y），将χ坐标输入X隶属度函数中，隶属度越接近于1，表示χ属于Ni的程度越高，越接近于0表示χ属于Ni的程度越低，最终得到2个隶属度值 fχ1（χ），fχ2（χ），同理，将y坐标输入Y隶属度函数表中，得到2个隶属度值fy1（y），fy2（y），其中，时间节点T的计算方式可以表示为式（16）：

其中，a1，a2，a3，a4为比例系数，这里设置为1。

例如：如图7所示，拍摄到某物体的中心位置为（6.5，17.25），则计算隶属度fχP1（χ）=0.7，fχP2（χ）=

从式（17）可以看出，对于机器人工作区域中的任意一点，都可以用周边已经离线计算出的4个标准点表示，且每一项的加权系数与周边4个点的距离远近相关，4项系数和为1，所以能够直观有效地表示目标点与周边标准点的关系。

图7 目标点时间节点计算

6 实验与结果分析

为验证本文提出的基于分数阶粒子群的5次B样条轨迹优化方案，以Delta机器人模型为平台，对传送带的抓取运动进行逆运动学分解，对3个运动轴进行轨迹规划。

Delta机器人的工作区域为一个40 cm×60 cm的矩形区域，将其划分为9×13个子区域，通过构造的7个对应的轨迹控制点，已知坐标为（χ，y，z），终点设置坐标为（χ′，y′，z′）。

实验采用的识别位置点为（3.10，2.50，-80.00），单位为cm，首先确定三维控制点序列Q0～Q6为：（3.10，2.50，-80.00），（3.10，2.50，-65.00），（-1.44，4.59，-60.00），（-19.05，8.75，-60.00），（-30.46，17.91，-60.00），（-35.00，20.00，-65.00），（-35.00，20.00，-80.00），如图2所示。

随后求取关节坐标，由Delta机器人的静平台参数为200 mm，动平台参数为50 mm，主动轴长度为360 mm，从动轴长度为810 mm。经过Delta机器人的逆运算，可以求得关节空间的控制点坐标如表1所示。

表1 Delta各关节控制点角度 （°）

其次，由图 5和图 6可确定隶属度函数为fχz0（χ）=0.38，fχP1（χ）=0.62，fyz0（y）=0.5，fyP1（y）=0.5。由粒子群算法寻优得到4个周边标准位置 Dz0P1，Dz0z0，DP1P1，DP1z0的时间节点间隔。标准点未知的时间间隔由离线计算得到，实验构建的Delta机器人采用无锡信捷电气股份有限公司的MS80ST-20P7伺服电机作为动力机构，电机的额定转速为3 000 r/m in，额定转矩为2.37 N。为保证时间最短并且Delta机器人动力机构运作正常，设置式（9）的参数VCj=720°/s，ACj=5 000°/s2，JCj= 80 000°/s3。由时间间隔参数［Δt11Δt12… Δt16］T，［Δt21Δt22… Δt26］T，［Δt31Δt32… Δt36］T和［Δt41Δt42… Δt46］T，则通过式（16）确定其时间序列为［0.178 0.043 0.010 0.060 0.040 0.149］，单位为s。则得到Delta机器人3个轴的速度、加速度和加加速度曲线如图8～图11所示。从图8～图11可以看出，整个系统完成一次动作的时间为571 ms。同时，文中对所有117个控制点做了测试，动作时间范围在0.543 s～0.735 s，满足工业现场对Delta机器人快速动作的需求。

图8 Delta机器人各轴位置曲线

图9 Delta机器人各轴速度曲线

图10 Delta机器人各轴加速度曲线

图11 Delta机器人各轴加加速度曲线

6 结束语

针对并联Delta机器人的轨迹规划问题，本文提出一种时间最优轨迹规划方法，通过传送带抓取物件。本文所提出的针对并联Delta机器人的轨迹规划方案，构建传送带抓取物件的方法。采用 5次B样条插值控制点，在满足电机机械结构限制的条件下通过分数阶的粒子群算法对B样条的时间节点进行寻优，以运动时间最短为目标，搜寻最佳的运动轨迹方案。同时在Delta机器人工作区域中，通过模糊规则快速选择既定的轨迹规划方案，无需在线寻优，可以提高机器人运动速度，适合高速轻载机器人的特点。实验结果表明，在保证电机机构不损伤的前提下，机器人运动速度满足工业现场快速性的需求，可提升机器人控制系统的实时性。

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编辑 顾逸斐

A Method of Parallel Robot Time Optimal Trajectory Planning

YIN Guoliang1，BAI Ruilin1，WANG Yongjia1，LI Xin2
（1.Key Laboratory of Advanced Control for Light Industry Process，Ministry of Education，Jiangnan University，Wuxi214122，China；2.Wuxi Xinje Electronic Co.，Ltd.，Wuxi214072，China）

A method of time-optimal trajectory planning is proposed in order to improve the Delta robot movement speed.Dividing the robot working area，it selects the center point of each area as a standard，and converts them into the joint space through the inverse kinematics.It uses 5 th order B-spline interpolation to constructed joint space curve. Fractional particle swarm optimal method is used to optimize the global optimum point and plan time optimal motion curve.Under the premise of the joint angular velocity，angular acceleration，angular jerk smooth and constraints，the operating speed is improved.The fuzzy controller is used to divide the distribution of time node.Experimental results show that the method is simple and practical.Delta robot in laboratory picks up object from the work area to the target position，the time range is 0.543 s～0.735 s.So the method overcomes the shortcomings of traditional trajectory planning method speeds.

Delta robot；trajectory planning；time optimal；B-spline；particle swarm algorithm；fuzzy rule

殷国亮，白瑞林，王永佳，等.一种并联机器人的时间最优轨迹规划方法［J］.计算机工程，2015，41（10）：192-198.

英文引用格式：Yin Guoliang，Bai Ruilin，Wang Yongjia，et al.A Method of Parallel Robot Time Optimal Trajectory Planning［J］.Computer Engineering，2015，41（10）：192-198.

1000-3428（2015）10-0192-07

A

TP18

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.10.036

江苏高校优势学科建设工程基金资助项目（PAPD）；江苏省产学研前瞻性联合研究基金资助项目（BY 2012056）。

殷国亮（1989-），男，硕士研究生，主研方向：人工智能；白瑞林，教授、博士生导师；王永佳，硕士研究生；李 新，高级工程师。

2014-07-09

2014-10-11E-mail：yinguoliang@126.com