空间两条直线共面定理的应用

周　明

(亳州师范高等专科学校 教育系，安徽 亳州 236800)



空间两条直线共面定理的应用

周明

(亳州师范高等专科学校 教育系，安徽 亳州 236800)

摘要空间两条直线有共面和异面两种位置关系，对于两条直线位置关系的判定，通常的方法是判定两条直线所通过已知点构成的矢量与两条直线的方向矢量的混合积是否等于零。若混合积等于零，则两直线共面，若混合积不等于零，则两条直线异面。但对于直线的一般方程而言，此判定方法比较繁琐，不易解决实际问题。利用两条直线共面定理可以判定直纹曲面上直母线间的位置关系，更好地帮助研究直纹曲面的性质。

关键词直线；共面；异面；直母线

1两条直线共面定理

定理1若两条直线

证明因为通过l1的任意平面和通过l2的任意平面为：

(1)

(2)

其中λ1,λ2与λ3,λ4都是不全为零的任意实数,因此两条直线l1与l2共面的充要条件是式(1)和式(2)表示同一平面。

即

λ1(A1x+B1y+C1z+D1)+λ2(A2x+B2y+C2z+D2)

且m≠0

化简得

所以

(3)

又因为λ1,λ2与λ3,λ4不全为零，所以式(3)有非零解的充要条件是：

而m≠0,因此两直线l1与l2共面的充要条件是

定理2两条直线

异面的充要条件是

证明由定理1可得证。

2两条直线共面定理的应用

定理3两条直线

异面的充要条件为

证明因为两直线l1与l2的方向矢量{X1,Y1,Z1}与{X2,Y2,Z2}不可能全为零，不妨设Z1Z2≠0,则两直线l1与l2的方程可改写为

整理得

所以

+Z1Z2(Y1Z2-Y2Z1)(x2-x1)-Z1Z2(X1Z2-X2Z1)(y2-y1)

而Z1Z2≠0,所以l1与l2异面的充要条件为

定理4单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面[2]

因为

所以 l1与l2共面。

定理5单叶双曲面上同族的任意两直母线总是异面的

且ω1∶μ1≠ω2∶μ2

因为

而ω1∶μ1≠ω2∶μ2

所以

即 l1与l2异面。

定理6双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交[3]

因为

所以 l1与l2共面。

定理7双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线[4]

且μ1≠μ2。

因为

而μ2≠μ1, 所以D≠0，即l1与l2异面。

由此可见，利用两条直线共面或异面定理，很容易判定空间任意两直线的位置关系，特别是对直纹曲面直母线的位置关系的判定带来方便，以便更好地研究直纹曲面的性质。

参考文献:

[1]吕林根，徐子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社，2006:135.

[2]尤承业.解析几何[M].北京:北京大学出版社，2004:117.

[3]纪永强.空间解析几何[M].北京:高等教育出版社，2003:218.

[4]黄宝国.空间解析几何[M].上海:复旦大学出版社，2004:78.

编辑王菊平

The use of the space of two straight lines coplanar theorem

ZHOU Ming

(Department of Education, Bozhou Teachers College, Bozhou 236800, Anhui, China)

AbstractTwo straight lines have coplanar and different planes in space, the usual method of determine the relationship between the location of the two straight lines is whether two straight lines by vector consisting of known points in the direction of the vector of mixed product is equal to zero. If mixed product equal to zero, the two lines coplanar, if mixed product is not equal to zero, the two lines in different planes. But for general equation of straight line, this determination method is tedious, not easy to solve practical problems. The coplanar theorem of two straight lines can be used to determine on a ruled surface of the positional relationship between the straight generatrix, to better help the study of properties of the ruled surface.

Key wordsstraight line; coplanar; different planes; straight generatrix

基金项目安徽省自然科学研究项目(KJ2013B153，KJ2013Z218)；安徽省教学研究项目(2012jyxm595)；数学教育省级特色专业项目(20101184)；省级精品资源共享课程项目(2015gxk089)；省级教学团队项目(2015jxtD048)。

作者简介周明，男，安徽蒙城人，副教授，硕士，主要研究方向为几何学。

收稿日期2015-04-31

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.02

中图分类号O182

文献标志码A

文章编号1003-8078(2015)06-0004-06