耦合谐振式无线电能传输的传输效率最佳频率

唐治德，徐阳阳，赵茂，彭一灵

（重庆大学输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400030）

耦合谐振式无线电能传输的传输效率最佳频率

唐治德，徐阳阳，赵茂，彭一灵

（重庆大学输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400030）

应用集总参数和耦合模理论，研究了电磁耦合式无线电能传输系统的传输效率问题，提出了使无线电能传输系统传输效率最大的传输效率最佳频率概念，分析了传输系统参数和负载对传输效率最佳频率和传输效率的影响。制作了两线圈无线电能传输实验电路，并进行了谐振频率与传输效率的关系，负载与传输效率最佳频率及传输效率的关系，距离与传输效率最佳频率及传输效率的关系实验和仿真分析。实验和仿真分析证明了:无线电能传输系统有一个传输效率最佳频率;传输效率最佳频率近似与负载成正比，与线圈的互感成反比;传输效率最佳频率随距离增加而增大;当系统工作在传输效率最佳频率且负载电阻远大于线圈电阻时，无线电能传输系统的传输效率最大。

无线电能传输;磁谐振耦合;谐振频率;传输效率;传输效率最佳频率

0 引言

自从2007年MIT学者Andre Kurs［1］等人通过电磁耦合及电路谐振实现中距无线电能传输后，无线电能传输理论和技术受到了广泛的关注和深入的研究。在中国科协成立五十周年的系列庆祝活动中，无线能量传输技术被列为“10项引领未来的科学技术”之一。当今电子设备飞速发展，例如，手机，平板电脑，电动汽车业以及人体植入器件等，使得中距无线电能传输具有广阔的市场前景。

电磁耦合谐振式无线电能传输通过谐振在相同频率上的线圈之间的近场磁耦合来传递能量，谐振频率对系统的性能产生至关重要的影响。为了使系统工作在谐振状态，文献［2］设计频率跟随电路，实现谐振频率对发射源频率的跟随，减小失谐对传输效率的影响。系统中一般添加补偿电容，然而谐振电容会导致系统在不同工况下出现频率分裂，而频率分裂使传输效率急剧减小。文献［3］分析了模式耦合因数及品质因数对系统谐振频率的影响，得出频率分裂的变化规律。目前国内外的研究都还处于理论研究和实验阶段，还有很多问题亟待解决，谐振频率的选择还没有成形的理论指导。文献［4］只提到减小谐振频率的办法，文献［5］对空间电场和磁场，感应电场，感应电流密度和特定人体组织吸收率（SAR）在现有射频辐射和射频接触监管框架和要求下进行频率的选择，都没有找到谐振频率与系统参数之间的关系。

目前，在磁谐振耦合无线功率传输这一领域的理论研究工具可分为2类，即耦合模理论和集总参数理论。本文应用两种理论研究电磁耦合谐振式无线电能传输系统的谐振频率选择，寻求最大传输效率时的谐振频率，并分析系统参数对最佳谐振频率和最大传输效率的影响，为频率选择提供理论依据。

1 模型建立与理论分析

两线圈结构磁耦合谐振式无线电能传输系统如图1所示，包括高频信号源，功率放大器，发射线圈，接收线圈和负载。高频信号经功率放大器放大后激励发射线圈，在发射线圈周围产生高频交变电磁场，将能量耦合到接收线圈并供给负载。当发射线圈和接收线圈同时发生串联谐振时，线圈回路的等效阻抗最小，线圈中流过的电流最大，因此传输功率最大，传输效率最高［6］。图中串联电容是因为线圈的寄生电容小，要自身发生串联谐振则谐振频率很高，串联电容可以降低串联谐振频率［7］。

图1 无线电能传输系统图Fig.1System of wireless power transfer

1.1 互感耦合集总参数模型及传输效率分析

图1的集总参数等效模型如图2所示，设功率放大器的输出电压为U，内阻为Z0，发射线圈和接收线圈的互感为M，它们的等效电感分别为L1和L2，C1和C2是串联电容，RL是负载阻抗值。由于高频集肤效应，线圈电阻随着频率的增大而增大［8］，其近似计算公式为［1］

式中:R1，R2为高频状态下发射线圈和接收线圈电阻;μ0为真空磁导率;σi，ni，ri，ai分别是发射线圈或接收线圈的电导率、匝数、线圈半径、导线线径。m的引入是为了简化计算。

图2 无线电能传输等效模型Fig.2Equivalent model of wireless power transfer

系统工作频率是输入回路和输出回路同时串联谐振的频率，即

考虑到式（1）和式（5），低频时，ωM的值太小，磁耦合效果差，使能量传输效率低;高频时，因为集肤效应，使得发射和接收线圈的阻值R1和R2过大，亦使能量传输效率低。因此，必有一有限的系统工作频率使系统传输效率最大，称该频率为传输效率最佳频率。将式（1）代入式（5），并令传输效率对角频率的一阶导数为零，得

高频时，ω的数量级为106，因此仅考虑式（6）中角频率的2次项，则传输效率最佳角频率近似为:

因此，传输效率最佳频率近似与负载成正比，与线圈的互感成反比。

1.2 耦合模理论分析

耦合模理论也是分析耦合谐振式无线电能传输的常用理论，耦合模理论是一种近似的分析方法，其省略了微分方程的高阶项，使得计算量减小。耦合模理论主旨是:共振系统中，能量只在具有相同本征频率的物体之间传递，与其他本征频率不同的物体之间基本没有能量的传递，可以忽略不计;而且共振时物体振动的振幅达到最大，传递的能量最多［9］。可用以下微分方程描述系统之间的能量传递［10］。式中αi（t）线圈i的时域场幅值，且线圈i包含的能量为:|αi（t）|2。当电源信号是正弦信号时，αi（t）可以表示成αi（t）=Aie－jwt。ωi是线圈i的谐振角频率，发生共振传递能量时，ω1=ω2=ω。Γi是线圈i的固有衰减率，能量的衰减是由线圈吸收和辐射损耗引起的。ΓL是由负载产生的衰减率。Κ12，Κ21是发射线圈和接收线圈之间的耦合率Κ12=Κ21。线圈i消耗的功率Pi=2Γi|Ai|2，负载消耗的功率PL=2ΓL|A2|2。那么系统传输能量的传输效率可表示为［10］

将式（11）代入式（10）中即可得到简化的传输效率公式［10］

在高频下，线圈的欧姆损耗电阻一般都在1Ω以下，计算中的省略项都是欧姆电阻的相关项，其实质是忽略线圈的欧姆损耗。虽然忽略欧姆电阻，但结果仍能较为精确地跟随效率最佳频率，使得计算方法便捷，计算量大大减小。为系统选择传最佳频率提供便利。

2 传输效率和传输效率最佳频率的影响因素

2.1 线圈结构参数和距离对传输效率最佳频率的影响

在发射线圈与接收线圈同轴放置时，传输距离与互感的近似关系为［11］

可见传输距离D增大，传输效率最佳频率也将增大，可以通过调谐电容使系统工作在传输效率最佳频率，即通过频率跟踪技术维持最大传输效率;传输效率最佳频率还随着线圈半径r和匝数n的增大而减小。这与文献［5］的结论一致。另外，同轴线

线圈电感值随着线圈半径r和匝数n增大，系统谐振工作频率减小，这亦应证了前述结论。

传输效率最佳频率还是负载的函数，随着负载增大，传输效率最佳频率也随之增大。

2.2 负载和距离对最大传输效率的影响

在线圈结构一定和系统工作在传输效率最佳频率的情况下，将式（7）代入式（5）中，得最大传输效率与负载的关系为:圈的电感为［12］

可见在传输效率最佳频率下最大传输效率是负载的递增函数。此时如果RL/R1＞10，RL/R2＞10，则理论最大传输效率可达87%以上。而且RL/R1与RL/R2的比值越大，最大传输效率则越大。此外，接收线圈的电阻R2比发射线圈的电阻R1对最大传输效率影响更大，这是因为R2影响发射接收子系统的输入阻抗，见式（4），从而影响整个系统的传输效率。

定义频率耦合因子ζ为:

与线圈结构及距离固定时相同，在负载一定时，接收线圈电阻R2对最大传输效率的影响仍然是发射线圈电阻R1的3倍，因此在设计传输系统时，在R1和R2尽量小的前提下，可通过增大R1/R2的比值实现最大传输效率的提高。文献［13］中发射线圈采用普通铜线绕制，而接收线圈使用超导材料减小接收线圈的电阻，既是增大R1/R2的比值实现最大传输效率的提高。

传输距离增大，若系统谐振频率不变，则传输效率随距离的增大而急剧减小，此时即使系统工作频率为传输效率最佳谐振频率，系统传输效率虽然增大，但仍低于近距时的最大传输效率。

3 仿真和实验

为验证理论的正确性，采用MathCAD软件进行仿真，并搭建了实验平台如图3所示，由信号发生器（普源DG5072），功率放大器（自制），发射线圈，接受线圈和负载电阻组成。测试仪器主要是DS1104B数字示波器，泰克电流探头和频率扫描仪。发射线圈和接受线圈的参数如表1。

图3 实验装置图Fig.3Picture of experimental device

表1 无线电能传输系统各元件参数Table 1Component values of wireless power transfer system

3.1 谐振频率对传输效率的影响

系统发射线圈和接收线圈之间的距离不断减小，耦合率Κ12不断增大，当增大到某个点而继续增大时，将发生频率分裂现象，称此时的耦合率为临界耦合率。集总参数下的临界耦合率为［14］

同轴放置的线圈在传输距离为100 mm，负载为10 Ω时，系统临界耦合率为0.234，而此时系统耦合率为0.171，当耦合率小于临界耦合率时，系统没有频率分裂现象［3，14－15］，因此系统存在一个最佳的谐振频率使得系统的工作传输效率达到最大。仿真结果显示谐振频率894 kHz时传输效率达到最大，传输效率最佳频率的计算结果为903 kHz，实验测得频率为948 kHz时，最大传输效率达到85%，传输功率为1.25 W。如图4所示，在最佳谐振频率之前，传输效率随谐振频率的增大而增大，而当谐振频率超过最佳谐振频率继续增加时，传输效率反而减小。部分实验数据如表2。有效证明了传输效率最佳频率选择方法的正确性。实验与仿真，计算不一致的原因是由于理论分析中未考虑电容损耗电阻，线圈辐射电阻，线圈寄生电容等。但误差小可以接受。

图4 距离D=100 mm时传输效率与谐振频率关系曲线Fig.4Efficiency-frequency characteristic curve at D=100 mm

表2 无线电能传输部分实验数据Table 2Some experimental data of wireless power transfer

3.2 负载对传输效率最佳频率和最大传输效率的影响

线圈同轴放置传输距离为100 mm负载分别为10 Ω和15 Ω，如图5所示，当负载增加到15 Ω时，传输效率最佳频率仿真结果为1.2 MHz，计算值为1.31 MHz，实验结果频率为1.39 MHz时，最大传输效率达到87%，传输功率为2.01 W。此时同样没有发生频率分裂［3，14－15］。可见当负载由10 Ω增加到15 Ω时，传输效率最佳频率增加到1.31 MHz，同时系统的传输效率也随之增大到87%。证明了传输效率最佳频率和最大传输效率与负载的关系正确性。

图5 距离D=100 mm不同负载下传输效率与谐振频率关系Fig.5Efficiency-frequency characteristic curve at D=100 mm when load changed

3.3 距离对传输效率最佳频率和最大传输效率的影响

负载为10 Ω，传输距离为100 mm和150 mm时，如图6所示。传输距离为150 mm时，仿真结果表明频率为1.58 MHz时传输效率最大，计算值为1.591 MHz，实验结果传输效率最佳频率为1.64 MHz，最大传输效率为82%，传输功率为2.48 W。传输距离为150 mm时，此时系统耦合率0.087，而临界耦合率为0.141，同样没有发生频率分裂［14］。由图6可知，当距离增大到150 mm时，传输效率最佳频率随距离的增大而增大到1.591 MHz，而最佳谐振频率对应的最大传输效率也随着距离的增大而减小到82%。仿真和实验证实了距离对传输效率最佳频率和最大传输效率的影响。

图6 负载RL=10Ω不同距离下传输效率与谐振频率关系Fig.6Efficiency-frequency characteristic curve at RL=10Ω when distance changed

用频率扫描仪测得的发射线圈和接收线圈的电阻（包括外接电容在内）R1≈R2≈0.8 Ω，在负载为10 Ω时，RL/R1≈RL/R2≈12.5，使得最大传输效率达到85%，当负载增加到15 Ω时，RL/R1≈RL/R2≈ 18.75，此时的最大传输效率也增大到87%。实验误差主要是线圈有手工绕制，忽略辐射损耗和电路寄生参数的影响，以及测量的误差造成的。因此设计传输系统时，系统传输效率的提高，可通过增大负载并减小线圈的电阻实现。同时减小接收线圈的电阻，系统的最大传输效率将进一步提高。

4 结论

1）本文根据传输系统的等效模型，分别进行了电路集总参数理论和耦合模理论的分析，提出传输效率最佳频率的概念和计算方法，在两种理论下得到相同的结论，使得两种理论互为证明。

2）分析了传输效率最佳频率与距离，负载以及线圈参数之间的关系。同时对传输效率最佳频率时，最大传输效率与负载和传输距离之间的关系进行分析，仿真和实验结果表明传输效率最佳频率随负载和传输距离的增大而增大。最大传输效率随负载的增大而增大，随传输距离的增大而减小。

3）分析了负载与传输线圈电阻的比值RL/R1与RL/R2对最大传输效率的影响。发现负载与线圈电阻的比值越大传输效率越大，并得出接收线圈电阻对最大传输效率的影响比发射线圈电阻更大的结论。

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（编辑:张诗阁）

Transfer efficiency maximum frequency of wireless power transfer via magnetic resonance coupling

TANG Zhi-de，XU Yang-yang，ZHAO Mao，PENG Yi-ling
（State Key Laboratory of Power Transfer Equipment＆System Security and New Technology，Chongqing University，Chongqing 400030，China）

By applying lumped parameter circuit theory and coupled mode theory，the efficiency of wireless power transfer system via magnetic resonant coupling was researched，and the concept of transfer efficiency maximum frequency was proposed when transfer efficiency is maximum.Influence of system parameters and load on transfer efficiency maximum frequency and transfer efficiency were analyzed.Two coils transfer system was set up，and the relationship between the frequency and transfer efficiency，the relationship between load and transfer efficiency maximum frequency and between load and transfer efficiency were studied，and the relationship between distance and transfer efficiency maximum frequency and between distance and transfer efficiency were carried out.Experiments and simulation prove that:there is a transfer efficiency maximum frequency in wireless power transfer system;and this transfer efficiency maximum frequency is proportional to the load and inversely proportional to mutual inductance approximately;transfer efficiency maximum frequency increases with the increase of distance;when the system work in transfer efficiency maximum frequency and the load resistance is much greater than the coil resistance，the transfer efficiency of wireless power transfer system is maximum.

wireless power transfer;magnetic resonant coupling;resonant frequency;transfer efficiency; transfer efficiency maximum frequency

10.15938/j.emc.2015.03.002

TM 724

A

1007－449X（2015）03－0008－06

2014－05－24

国家自然科学

（51277189）

唐治德（1958—），男，博士，教授，研究方向为耦合谐振式无线电能传输;

徐阳阳（1987—），男，硕士研究生，研究方向为耦合谐振式无线电能传输;

赵茂（1989—），男，硕士研究生，研究方向为耦合谐振式无线电能传输;

彭一灵（1989—），男，硕士研究生，研究方向为耦合谐振式无线电能传输。

徐阳阳