关于五行理论数学模型的参数反演

舒彬

（陕西学前师范学院，陕西 西安 710100）

在各个技术领域中，经常见到以待定未知参数这类反问题，要待定未知参数，最直接的方法是测量这些未知参数在一些离散点处的值，但似乎这类方法又行不通。此时只好通过测量微分方程组在若干点处的解的信息，来推算方程中的未知参数。对于参数估计的优化方法，其实是要在计算量和算法稳定性之间有一个权衡，而信赖域方法用较少的计算成本提高了算法的稳定性。信赖域法是一种比较复杂但很有效地优化算法，本文以信赖域算法为基础，讨论了五行理论数学模型的参数反演问题，最后给出了数值模拟。

1 问题的提出

金木水火土相生关系是木生火，火生土，土生金，金生水，水生木，就类似于大自然中，木燃烧为火，金属产生于土中，金属熔化则为水，水滋润则木长，五者相生，金克木，火克金，水克火，土克水，木克土，互相联系[1]。自然界万事万物都可取类比归于这五个系统，这五大系统之间有生我，我生，克我，我克四种关系，因此构成了四种关系五个方面。这种生中有克，克中有生的观点基本上反映了控制论中的输入与输出的作用。

如果用y1,y2,y3,y4,y5分别代表五行木，火，土，金，水，并从五行之间的相互生克关系可得到五行动力系统的微分方程组，如下[2,3]：

上式中，pi(i= 1 ,2,...,10)代表输入输出的速率，yi(i= 1 ,2,...,5)代表五行阴与阳的绝对值，t代表时间。在五行之间产生了阴阳的输出流动，从而维持了生态间的阴阳平衡。pi(i= 1 ,2,...,10)通常未知，它们的确定有着重要的理论价值和实际意义[4]。

2 分析并实现算法步骤

将上述模型推广到更为一般的数学模型，如下：

初始条件为：

其中，p1,p2,...,pm是参数，表示为向量：

假设已知参数p1,p2,...,pm和初始条件，那么求解(3)则可知此方程的变化规律。在实际生产问题中，物体特性的参数用p1,p2,...,pm来表示，并且不可知，怎样利用已知信息和上述方程组来确定未知的参数，即可构成参数识别的反演问题。

要反演参数p1,p2,...,pm，必须附加先验条件，可取有限个时间点上的已知解，假设已知：y1(tl) ,y2(tl) ,...,yn(tl)，l= 1 ,2,...,r。但在实际问题中，数据的已知，难免有一定的误差，从而实际应得数据是：

其中，ε1l,ε2l,… ,εnl为扰动量。

那么，参数反演可描述为求解以下的最小二乘优化问题：

其中，yi(tl,p1,p2,...,pm)是以p1,p2,...,pm为参数解原问题(1)获得的相应的计算值。

在信赖域内通过求解一个二次规划取到可行点，即是信赖域算法的思想。在解(3)时，可行点 (p1(k),p2(k),...,pM(k))处，给出信赖域半径rk下只需求解以下的子问题便可得出搜索方向：

满足

搜索方向得到后，修正信赖域半径。

实现算法的过程：

步骤2 计算梯度

步骤4 如果ρ≤μ,令

否则，

步骤5 按下式修改信赖域半径：

其中，μ= 0.25，η=0.75。

步骤6 置k=k+ 1 ,转步骤2。

3 数值算例

3.1 参 数反演

模拟数值时，取初始条件

为了反演参数，需要附加一定的先验条件，先给出p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10真值，取

由数值计算得出y1,y2,y3,y4,y5在任意时刻t的数值解，并且把y1(t),y2(t),y3(t),y4(t),y5(t)在

处的值加上一定扰动的δ＞0作为已知条件来反求参数。应用信赖域算法时，参数的初始取值

μ=0.25,η=0.75，它的反演数据结果见表1：

表1 参数反演数值模拟结果

从表1可以看出，经过8次迭代的反演值是与真值相比精度还要高。还可看到不同的初始猜测值得到了不同的反演结果，进一步知对参数的初始猜测值，信赖域算法并不敏感。

4 结语

本文对非线性动力系统中常微分方程的未知参数应用信赖域方法进行了反演，模拟数值的结果说明此算法的有效性。文中选择了五个方程组和十个参数作为数值算例，证明了对多个方程组和多个参数信赖域算法也是可行的。

[1] 彭绍发.浅析易学在行政管理中的应用［J］.佳木斯大学社会科学学报，2011，29(1).

[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].北京：高等教育出版社.2003.

[3] 东北师大微分方程教研室.微分方程[M].北京：高等教育出版社.2005。

[4] 刘慧.宋广华微分方程在数学建模中的应用探究［J］.科技信息（科学·教研）2008,6(13).