《利息理论》教学中关于累积值求解的探析

王学金，戴泽兴



《利息理论》教学中关于累积值求解的探析

王学金，戴泽兴

摘要:累积值作为利息理论中的基本但又非常重要的概念，贯穿于利息理论各个章节之中，所以对累积值求解的重要性毋庸置疑，因此，本文结合笔者的教学实践对累积值的求解过程中多数学生存在的问题进行探析，以期开拓学生的思路、提高学生的逻辑思维能力，进而提高学生的学习效率。

关键词:累积值；累积函数；利息强度

利息理论是精算学课程体系中最基础的课程之一，它的基本原理在绝大多数后继课程中都有应用和体现，如寿险精算、投资学、利率风险管理等。同时，利息理论也是中国精算师考试的必考科目之一，也是保险学专业和数学与应用数学专业保险精算方向学生的必修课[1]。累积值作为该课程的基本知识点，对其计算本应该要熟练掌握，但是在笔者的教学中发现了关于累积值存在一些看似矛盾的地方，而很多精算类考试丛书或者教学参考资料对此都没有做出详细的讨论，导致学生不知如何去理解，因此，为了学生和相关教师在教学过程中更加清楚地理解掌握累积值的计算，在此我对其计算及应用举例进行比较分析，希望有助于学生的理解，提高学生的学习效率。

1问题引入

例1[2]王某在t=0时投资100元，t=5时累积到180元。若王某在t=5时

投资300元，按照a(t)=at2+b累积，试求在t=8时的累积值。

解法一一般的教学参考资料中都是按照如下过程解决的：

解得a=0.032,b=1

所以所求的累积值为 300×[0.032×(8-5)2+1]=386.4

解法二由题可知：

所以所求的累积值为

2问题分析

很明显，乍看之下，感觉例题中的两种解法都是没有任何问题的，可是对于同一道题目，不可能会得到两种完全不同的结果，那么问题究竟出在什么地方？经过细细分析不难看出，例题中的解法一仅仅考虑了投资经历的时间长度，而没有考虑投资的起始时间点，而解法二中通过利息强度进行求解，实际上已经考虑到了投资累积的变化速度与时间相关这一结论，所以解法二并不是简简单单地考虑了时间长度，而是考虑了投资开始和结束的时间点，正因为如此，同样是求解累积值的问题，累积函数和利息强度的解题思路是不一样的，从而其计算结果也不一样。

3问题解决

对于例1中的两种解法，哪一种才是最优的？我们知道，不同的投资额度经过一个相同的累积过程，其最终的累积额之比应该等于其初始投资额度之比，基于此，在此我们假设所求的最终累积值为X，则有

解得X=508。因此，采取这种解法的话无论是通过利息强度还是累积函数，计算结果都是相同的。

4问题拓展

解析由题可知

故

在此，需要注意的是此处积分的上下限分别是0和64，不过许多学生在求解此类题时，经常会将上下限弄错，写成36和100，最终导致结果错误。之所以会发生此类错误，原因和累积值的求解是一样的，即学生并没有深刻领悟到时间段和时间点在解题过程中的重要性。

5结语

投资额的累积值的计算中之所以会出现这样的问题，主要是因为考虑累积函数中的投资时期跟投资的经历时间段有关，还是与投资的起始时间点有关。而根据笔者实务中的认识，任何投资都应该建立在其他投资基础之上，或者认为现在行情不佳，或者认为现在追加投资回报更高等。因此，科学的累积值的计算方法应该考虑投资的起始时间点，而不能仅仅考虑其经过的时间段。同样地，累积值计算过程中体现的思想也适用于其他章节内容或者其他学科的内容，如贴现值的计算与寿险精算数学中连续型寿险的趸交净保费的计算等。

[参考文献]

[1]张连增.利息理论[M].天津：南开大学出版社，2014.

[2]金圣才.复利数学过关必做1000题[M].北京：中国石化出版社，2011.

[3]艾小莲.浅谈利息理论中的投资积累值计算[J].科技教育，2011(1):173.

[4]金圣才.寿险精算数学过关必做1000题[M].北京：中国石化出版社，2011.

责任编辑：刘海涛

收稿日期：2015-03-06

基金项目：安徽省级金融工程教学团队(2013jxtd035)；滁州学院教研项目(2015JYY005)

作者简介：王学金，戴泽兴，滁州学院数学与金融学院教师(安徽 滁州 239000)。

中图分类号:G642

文献标识码：A

文章编号：1673-1794(2015)05-0095-02