基于物理防控害虫的单种群模型研究

□梁志清，张 叶，郭雨婷，龙清兰，曾夏萍

（玉林师范学院 数学与信息科学学院，广西 玉林 537000）

基于物理防控害虫的单种群模型研究

□梁志清，张 叶，郭雨婷，龙清兰，曾夏萍

（玉林师范学院 数学与信息科学学院，广西 玉林 537000）

建构灯光诱杀和水枪喷杀手段组合的害虫防治的单种群模型. 借助数学方法，对模型进行分析，在有限时间内，获得将害虫控制在经济临界值范围之内的防控策略.

灯光诱杀；水枪喷杀；害虫防控策略

1 引言

物理防治是害虫防治的一种主要手段.物理防治以灯光诱杀、水枪喷射害虫为主.在倡导绿色无污染的今天，物理防控害虫已成为农林业中防控害虫的一种重要手段.灯光诱杀技术作为物理防治的一项重要内容，得到了越来越多的应用.灯光诱杀可减缓害虫增长.水枪喷射可以迅速降低害虫的数量，从根本上减少下一代害虫的发生量，降低害虫密度，有利于将害虫危害控制在允许的范围之内.文献[1-3]对物理防治农作物害虫的效果进行了研究.

建立数学模型，利用数学方法研究害虫防控为生物数学研究的一个重要方向，其中利用微分方程、脉冲微分方程理论及方法研究害虫防治已经成为害虫防治中的一个重要内容.许多学者用数学模型在有害生物综合治理研究方面做了大量工作[4-12].这些学者的工作主要着眼于研究把投放天敌、染病害虫或病毒的生物防治和喷洒农药杀虫剂(或微生物制剂)结合起来在固定时刻及不同时刻实施害虫管理的防治策略.而有关物理防治手段进行害虫管理的数学模型研究很少见.

本文以害虫发展的“状态”，考虑灯光诱杀和水枪冲杀的害虫防治的方法，构建灯光诱杀、水枪喷射防控害虫的数学模型，研究在有限时间内将害虫控制在经济临界值范围之内的防控策略.

2 模型建立

按作物的害虫生长的规律，虫害一般发生在作物生长周期的某个时段.基于这个特点，给出如下的假设：

(1)在[0,T]时间内研究害虫防控策略.

(2)在[0,T]时间段内，害虫的发展服从Malthus模型.

(3)当害虫的数量达到一定数值时，开始使用灯光诱杀，记这个数值为x1.单位时间灯光诱杀的杀死率为α(0＜α＜1).

(4)当害虫密度达到一定数量时会对农作物引起危害，这个数被称之为经济临界值，记为x2.当害虫数量达到x2时，采用水枪喷杀的脉冲方式降低害虫数量，杀死的害虫数量与种群数量成正比，比例系数为p(0＜p＜1).

所考虑的模型为

其中，t为时间(以天为单位)，t∈[0,T]，x为t时刻害虫数量；x0为初始时刻害虫的数量，a为出生率，d为死亡率，记r=a-d为内禀自然增长率.

3 模型分析

情况1：自然增长

当害虫数量从x0自然增长到x2所用的时间θ0大于等于T时，即在植物生长周期内害虫没有对作物产生危害，这种情况不用采用任何害虫防治策略；当害虫数量从x0自然增长到x2所用的时间θ0小于T时，害虫开始对作物产生危害，需要对害虫使用防治策略.因此采取防治措施的前提条件为＜T.下面总假设

图1 τ1θ0示意图

情况2：灯光诱杀

当害虫数量达到x1时，开始通过灯光诱杀减缓害虫增长.因此实施灯光诱杀防治策略的条件为x>x1.

当α>r时，x＜x1.

由此可知：加强灯光强度，害虫的数量增长减慢，所以在此种情况下，α越大，对农作物的生长越有利.在作物生长周期，若第一次使用灯光诱杀时，害虫数量还没达到x2或x(T)=x2，则只需考虑使用一次灯光诱杀.

情况3：灯光诱杀与灯光诱杀的组合

图2 θ1与τ1示意图

当害虫数量达到x2时，采用水枪喷杀的脉冲方式降低害虫数量.若灯光诱杀后害虫种群数量大于x1，则考虑继续对害虫使用灯光诱杀；若水枪喷杀后害虫种群数量低于x1，暂时不考虑灯光诱杀.当害虫数量达到x1后重新考虑灯光诱杀.在害虫数量再一次达到经济临界值x2时，再次使用水枪喷射.在一个生长周期内需要多次重复使用水枪喷射和灯光诱杀策略来控制害虫.

当x=x2时，这是对害虫实施灯光诱杀防治策略后，害虫数量从x1增长到x2所用的时间，记如图2所示：

由上述分析知，从初次时刻到第一次实施水枪喷杀经历的时间为因为水枪冲杀是瞬时的，用水枪喷射后种群数量为(1-p)x2.

根据水枪冲杀的程度不同，可能出现以下两种情况：

情况3.1：(1-p)x2≥x1

当害虫数量达到x2时，采用水枪喷杀的脉冲方式降低害虫数量.水枪喷杀后害虫残余数量为(1-p)x2.因(1-p)x2≥x1，故考虑继续对害虫使用灯光诱杀，抑制害虫的增长.在这种情况下得模型(1)的子系统：

方程(2)是一个脉冲微分方程.由方程(2)知，从T0时刻开始，再次到达x2的时间为记τ=τ完全由系统的参数决定.对方程(2)有如下的结论.

定理2当t>T0时，方程(2)有以为周期的周期解，且x(T)＜x2.

种群数量与时间周期关系如图3所示：

图3 种群数量与时间周期关系图

情况3.2：(1-p)x2＜x1

当害虫数量达到x2时，采用水枪喷杀的脉冲方式降低害虫数量.水枪喷杀后害虫残余数量为(1-p)x2.因(1-p)x2＜x1，故暂时不考虑对害虫诱杀.当害虫数量达到x1后重新考虑灯光诱杀.在害虫数量再一次达到经济临界值x2，即灯光诱杀不能再抑制害虫的数量时，再次使用水枪喷射.在这种情况下得如下模型：

由方程知，从T0时刻开始，再次到达x1的时间为从x1再次到达x2的时间为由此知从T0时刻开始，再次到达x2的时间为t1+t2，对方程(3)有如下的结论：

定理3当t>T0时，方程(3)有以为周期的周期解，且x(t)≤x2，0＜t＜T.

种群与时间周期关系如图4所示：

图4 种群与时间周期关系图

4 生物结论与数值模拟

在一个给定的时间[0,T]内，

（3）由定理2，定理3知，在灯光诱杀与水枪喷射相结合进行害虫防控的情况下，系统有周期解，均能在规定时间内，将害虫数量控制在经济阈值之下.

I 在(1-p)x2≥x1的情况下，周期显然τ完全由系统的参数决定.对τ进行分析得以下结论：

结论1：当α一定时，若p增大，则τ增大，脉冲控制的次数为n减小，即当灯光诱杀的强度一定时，脉冲控制的周期随水枪喷射的强度增大而增大，用灯光诱杀及水枪喷射组合的防控次数减少，如图5：

图5 P与τ、n关系图

结论2：当p一定时，若α增大，则τ增大，脉冲控制的次数为n减小，即当水枪喷射的强度一定时，脉冲控制的周期随灯光诱杀的强度增大而增大，用灯光诱杀及水枪喷射组合的防控次数减少；如图6：

图6 α与τ、n关系图

结论3：当p、α同时增大时，τ增大，脉冲控制的次数为n减小，即当水枪喷射的强度和灯光诱杀的强度同时增加时，脉冲控制的周期随灯光诱杀的强度增大而增大，用灯光诱杀及水枪喷射组合的防控次数减少.如图7：

图7 P、α与τ关系图

II 在(1-p)x2＜x1的情况下，周期λ显然完全由系统的参数决定.对进行分析得以下结论：

结论1：当α一定时，p增大，τ增大，n则减小.即当灯光诱杀的强度一定时，使用水枪脉冲喷杀周期随水枪喷射的强度增大而增大，从而使用灯光诱杀与水枪喷射组合的次数减少；如图8.

图8 P与τ、n关系图

结论2：当p一定时，α增大，τ增大，n则减小.即当水枪喷射的强度一定时，使用灯光诱杀的周期随灯光诱杀的强度增大而增大，所以使用灯光诱杀与水枪喷射组合的次数减少；如图9.

图9 α与τ、n关系图

结论3：当p，α同时增大时，τ增大，则n减小，即当水枪喷射的强度和灯光诱杀的强度同时增加时，从而使用灯光诱杀与水枪喷射组合的次数减少，如图10.

图10 P、α与τ、n关系图

[1]倪建伟.以灯光诱杀为主的水稻荸荠轮作田主要害虫防治研究[D].华中农业大学，2012.

[2]王明亮，张玥，王小平.频振式杀虫灯在农业害虫防治上的应用[J].湖北植保，2009，S1：59-61.

[3]李瑞莲，王文经，杨金凤.太阳能杀虫灯在不同作物田应用效果研究[J].宁夏农林科技，2012，53(10)：161-162.

[4]B S Goh. Management and analysis of biological populations[M]. New York: Amsterdam Oxford,1980.

[5]Bing Liu, Yujuan Zhang, Lansun Chen.The dynamical behaviors of a Lotka-Volterra Predator-prey Lotka-Volterra Predator-prey model concerning integrated pest managemen[J]. Nonlinear Anal. Real.,2005, 6: 227-243.

[6]Jiao Jianjun,Chen Lansun,Luo Guilie.An appropriate pest management SI model with biological and chemical control concern[J].APPlied Mathematics and Computation,2008, 196(1): 285-293.

[7]Ruiqing Shi,Chen Lansun.An impulsive predatorprey model with disease in the prey for integrated pest management[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2010,15:421-429.

[8]Jianjun Jiao, Xinzhu Meng, Lansun Chen.Global attractivity and permanence of a stage-structured pest management SI model with time delay and diseased pest impulsive transmission[J].Chaos,Solitons & Fractals, 2008, 38(3): 658-668.

[9]Sanyi Tang, Robert A.Cheke. Stage-dependent impulsive models of Integrated Pest Management (IPM) stategy and their dynamic consequences[J].J. Math. Biol., 2005, 50: 257- 292.

[10]陈兰荪.害虫治理与半连续动力系统几何理论[J].北华大学学报(自)，2011，12(01)：1-9.

[11]Sanyi Tang,Yanni Xiao,Lansun Chen et al.Integrated pest management models and their dynamical behaviour[J]. Bulletin of Mathematical Biology,2005,67(1):115-135.

[12]傅金波，陈兰荪.无公害害虫治理策略的数学研究[J].数学的实践与认识，2011，41(2)：144 -150.

【责任编辑 谢文海】

The study on single-species model with physical control for pest management

LIANG Zhi-qing, ZHANG Ye, GUO Yu-ting, LONG Qing-lan, ZENG Xia-ping

In this paper, a pest management of single-species model with the combination of light trapping and water cannons is constructed. The model is analyzed with mathematical method. Within the finite-time, the control strategy for controlling the pest in the range of economic threshold value is obtained.

Light trap; water cannons; Pest prevention and control strategies

O193

A

1004-4671（2015）05-0018-07

2015-09-10

国家自然科学基金（61364020，11161052）。

梁志清 (1965～)，女，广西玉林人，玉林师范学院数学与信息科学学院硕士，教授。主要研究方向：生物教学。