基于排队论的城市交通问题分析

孙 培，刘 凯，杨本朝

(1.信息工程大学；2.数学工程与先进计算国家重点实验室；3.河南工程学院数理科学系)



基于排队论的城市交通问题分析

孙 培1,2，刘 凯3，杨本朝1,2

(1.信息工程大学；2.数学工程与先进计算国家重点实验室；3.河南工程学院数理科学系)

城市道路中，交通事故、施工占道等因素会影响道路横截面通行能力，从而引起交通堵塞，因此，正确估算被占用的车道对城市道路通行能力的影响程度就显得格外重要。就车道被占用的交通问题，用排队论的方法进行了分析，建立了数学模型，给出了通行能力与排队长度、上游车流量等的关系，最后通过仿真验证了模型的正确性。

通行能力；排队论；队列长度；服务时间

1 引 言

由于交通事故、路边停车、占道施工等因素，车道或道路横断面通行能力在单位时间内会降低。城市道路交通密度大，连续性强，一条车道被占用，会影响所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通堵塞。因此，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。

本文针对车道被占用的交通问题，用排队论的方法，详细分析了事故发生路段的车流量、服务时间、排队长度等信息，深入研究了交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，最后通过仿真验证模型的正确性。

2 模型假设与说明

(1)由于只研究交通事故占用车道对交通的影响，因此只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的通行情况，其他车辆不予考虑；

(2)由实际情况知，车辆进入事发路段前，会选择自己在下游路口要转向的车道行驶；车辆进入事发路段后，自动占满三个车道；

(3)假定所有车辆都遵守交通规则，不存在闯红灯情况。

3 模型的准备

交通量观测时，应采取自然车辆数计量，而在统计分析中，可根据需要采用自然车辆数及换算标准车当量数计量，单位为pcu。

公路交通量换算标准车当量数以小汽车当量数计算。对于题目中的问题，将车辆主要分为三种车型，分别为小汽车、电瓶车和大客车，通过查阅文献可得，小汽车、电瓶车和大客车的换算系数分别为1、0.5和2。于是，可以将不同车型的交通量换算为同一标量，从而车流量的单位统一为pcu/h,换算公式为

标准车当量数=小汽车数×1+电瓶车数×0.5+大客车数×2，为方便表述，下文不区分“标准车当量数”和“车辆数”，并默认为前者。

4 模型建立与求解

下面我们构建数学模型，分析监控录像中事故发生路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。首先，由以上的分析知，到达事发路段的车流量呈现一定的周期性，所以车流的到达时间间隔服从一般分布；其次，一辆车通过事故横截面的时间即为服务时间，服务时间也服从一般分布；最后，事故发生前的道路为双向六车道，发生事故后，单向只有一个车道可以通行，相当于一个服务台，因此，由排队论的知识，此问题是G/G/1排队模型。

4.1 车辆到达时间间隔分析

从监控录像中可以看出来，t时刻到达事发路段的车流量数n(t)由三部分构成：从上游路口右转的车流量数n1(t)，从小区出来的车流量数n2(t)，从上游路口直行进入事发路段的车流量数n3(t)，从而n(t)=n1(t)+n2(t)+n3(t)。从小区出来和从上游路口右转的车不受红绿灯限制，所以到达时间间隔服从泊松分布，设其参数分别为λ1和λ2，Pn(t)为在时间段[0,t]内到达n辆车的概率，则

从上游直行的车受上游路口红绿灯影响，所以在一个红绿灯周期内，到达时间间隔服从均匀分布，即每个周期内直行进入事发路段的车流量是相等的。从黄灯时，未通过停止线的车就不能行进了，所以每个周期内车辆通行时间为绿灯时间+绿闪时间=27s，故

4.2 车辆服务时间分析

排队论中，服务时间定义为在忙期内相继离开系统的两个顾客的时间间隔，对应到本问题中，服务时间应为两辆相继通过事故横截面的时间差，即一辆标准当量的车通过事故横截面的平均时间。由监控可以看出，不同的时刻，服务时间不同，当车流量较小时，车辆通过事故横截面的时间短；当车流量大时，车辆通过横截面时间长。令T(t)代表t时刻的服务时间。

观察监控录像可知，当未堵车时，车辆都从右车道(即未被占领的车道)通过，车辆通过事故横截面的时间与事故发生前基本一样；堵车时，随着车流密度的增加，车辆会均匀地占满三个车道，然后加塞通过未被占的车道，导致服务时间变长。

设车辆数较少未持续堵车时，右车道标准当量的车通过事故横截面的平均时间为t0；当发生持续堵车时，其他两个车道的车辆要通过加塞通过右车道，令Δt代表从中间车道加塞至右车道使得服务时间的增加值，Δt1代表从左车道加塞至中间车道使得服务时间的增加值，所以从中间车道经过事故横截面的时间为t0+Δt，从左车道经过事故横截面的时间为t0+Δt+Δt1。设t时刻总车辆数为B，再由问题中各车道车辆的比例知，所有车辆经过事故横截面的时间t总=0.21Bt0+0.44B(t0+Δt)+0.35B(t0+Δt+Δt1)，所以服务时间的平均值为

为了简化模型，可认为Δt=Δt1，故T=t0+1.14Δt。

4.3 排队长度分析

在没有发生持续堵车时，我们研究t时刻道路的实际同行能力Q(t)、车辆速度v(t)与车流量Ls(t)的关系。我们取监控中堵车的路段长度120m为单位长度，则t时刻120m内的车辆数Ls(t)即为t时刻事故路段单位长度的车辆密度，所以，由物理学基本知识，有

Q(t)=v(t)·Ls(t)

(1)

由实际生活中的经验知，速度和密度之间存在密切关系，当道路上车辆增多，车流密度加大时，司机就被迫降低车速。1935年，Greenshields通过大量观测和统计分析，得出了车速与密度之间的一个线性模型

v(t)=vf(1-Ls(t)/Lj)

(2)

其中vf是车流量为0时的车速，即理论上的最高车速，一般取60 km/h;Lj是速度为0时的密度，称为阻塞密度，一般城市道路的阻塞密度为110辆/km,即133辆/120 m。

将(2)式代入(1)式中，得到t时刻道路的实际通行能力与队长的关系

图1 实际通行能力与时间的关系

5 问题的仿真

我们依据监控录像，对此问题进行仿真，步骤如下。

第一步，从监控中统计一些数据信息，例如道路长度M=240 m,事故持续时间T=18 min,车辆进入事发路段的平均速度v=8.5 m/s，两辆车车头的距离6.22 m。

第二步，将车辆转换成标准当量的车，并产生泊松随机数。把这些泊松随机数设置成车辆右拐泊松参数和车辆进出小区参数。

第三步，生成均匀分布，安排直行车辆；有第二步产生的参数安排右拐车辆和进出小区车辆。

第四步，以10 s为间隔进行仿真，中间加入车辆加塞信息作为扰动。

第五步，输出仿真结果，如图2所示。

图2 仿真结果

从图2可以看出，车辆排队长度也呈现上下浮动，以60 s为一周期，车队都呈现先增加后减少的趋势，体现了上游红绿灯的周期性，排队的最长长度在123 m左右，与真实情况符合地较好。

6 结束语

本文用排队论的方法，分析了车道被占用时对城市道路通行能力的影响程度，深入研究了交通事故所影响的路段的车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，并通过仿真验证了模型的正确性，与实际情况相吻合。将本文中的模型和结论进行适当推广，可以用于研究高速公路等不同交通环境下因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象，并为采取有效措施解决这些问题提供参考。

[1] 城市道路工程设计规范[EB/OL]. http://wenku.baidu.com/view/d923118acc22bcd126ff0ccb.html.

[2] 邵敏华，邵显智，孙立军. 对城市道路通行能力定义方法的探讨[J].交通与计算机，2005，6(23):68-71.

[3] 姜启源，等.《数学模型》(第四版)[M].北京：高等教育出版社，1987.

[4] 韩中庚.《数学建模及其应用》(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

2015-02-11

孙培(1982-)，女，河南平顶山人，讲师，研究方向：数学建模及其应用。

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1008-3383(2015)11-0173-02