计算一类循环码的重量分布

张爱仙， 李江华， 孙晓青

(西安理工大学 理学院，陕西 西安 710048)

计算一类循环码的重量分布

张爱仙， 李江华， 孙晓青

(西安理工大学 理学院，陕西 西安 710048)

在本研究中，笔者应用有限域上的二次型理论以及有限域上指数和的计算技巧，完全确定出了一类循环码的重量分布，这类循环码的对偶码有两个零点。

循环码；重量分布；二次型

循环码是一类特殊的线性码，由于循环码有快速的编码和译码算法，它已被广泛应用在消费电子、数据存储和通信系统中。有多个零点的循环码以及它的对偶码的重量分布的计算，多年来一直是编码、密码学家，也是数论学家感兴趣的研究课题，这是由于循环码的重量分布和有限域上的指数和是一一对应的，而有限域上指数和的确定在数论和算术代数几何中是非常重要并且困难的问题。

对循环码重量分布的计算目前已有比较丰富的研究成果，可参见[1]～[10]以及它们的参考文献。曾祥勇等在[6]中应用有限域上的二次型理论计算出了一类p-元循环码的重量分布。在本研究中，笔者综合应用有限域上的二次型理论以及有限域上指数和的计算技巧，完全确定出了一类循环码的重量分布，这类循环码的对偶码有两个零点。

对Fp上长度为n的循环码C，笔者用Ai表示C中汉明重量是i的码字的个数。1+A1x+A2x2+…+Anxn称为码C的重量计数多项式。{A1,A2,…,An}称为C的重量分布，它是编码中非常重要的研究对象。若A1,A2,…,An中有l个数非零，则称C是l重码。

由Delsart’s定理可知, 以h(x)=h1(x)h2(x)为校验多项式的循环码C(p,k)可以表示成：C(p,k)={c(a,b):a,b∈Fq}，其中：

本文笔者的目的是完全决定出C(p,k)的重量分布。

1 预备知识

则称f是Fqs上的二次型。Fq上向量空间W的余维数定义为二次型f的秩，其中，

设η是Fq上的二次乘法特征，罗金权等在[5]中得到如下结果：

引理1 设f(x)是Fq上s个变量，秩是r的二次型，则有：

2 重量分布的确定

本小节中，笔者计算循环码C(p,k)的重量分布。定义：

Ω(a,b)(x)=Tr(axpk+1+bxp3k+1)

码字c(a,b)的重量可由等式表示为：

WH(c(a,b))=pm-1-#{t|0≤t≤pm-2,

(1)

其中：

(2)

证明：由T(a,b)的定义，可知：

从而由引理 2 可知Ω(a,b)(x)的秩是m、m-1或m-2。

引理4 当 (a,b) 跑遍Fq×Fq中元素时，指数和T(a,b)的值分布如下：

2(p-1)pm：1次

0：p2m-1(p-1)+pm-1-1次

证明：显然,T(0,0)=2(p-1)pm，笔者定义

一方面：

(3)

(4)

另一方面：

(5)

(6)

其中：

计算得到：

#S1=#S2=#S3=#S4=pm(p-1)2

综合(3)、(4)、(5)和 (6)，笔者得到：

从而引理得证。

0：1 次

pm-pm-1，p2m-1(p-1)+pm-1-1次

证明：循环码C(p,k)的长度和维数可由它们的定义直接得出。笔者由方程(1)和引理4可知道码C(p,k)的最小距离和重量分布。

例1 当p=3,m=3，k=1时，C(p,k)是参数为[26,6,12]的循环码，且重量计数多项式为：

1+156x12494x18+78x24

例2 当p=3,m=5，k=1时，C(p,k)是参数为 [242,10,144]的循环码，且重量计数多项式为：

1+10890x144+39446x162+8712x180

例3 当p=3,m=7，k=1时,C(p,k)是参数为 [2186,14,1404]的循环码，且重量计数多项式为：

1+826308x1404+3189374x1458+767286x1512

[1]Ding C，Liu Y，Ma C，et al. The weight distributions of the duals of cyclic codes with two zeros[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2011，57(12)：8000-8006.

[2]Ding C，Yin J. Sets of optimal frequency-hopping sequences[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(8)：3741-3745.

[3]Feng K，Luo J. Weight distribution of some reducible cyclic codes[J]. Finite Fields and Their Applications，2008，14(2)：390-409.

[4]Luo J，Feng K. On the weight distributions of two classes of cyclic codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(12)：5332-5344.

[5]Xiong M. The weight distributions of a class of cyclic codes[J]. Finite Fields and Their Applications，2013，(21)：84-96.

[6]Zeng X，Hu L，Yue Q，et al. The weight distribution of a class of p-ary cyclic codes[J]. Finite Fields and Their Applications，2010，16(1)：56-73.

[7]Feng T. A characterization of two-weight projective cyclic codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2015，61(1)：66-71.

[8]Ding C，Yang J. Hamming weights in irreducible cyclic codes[J]. Discrete Mathematics，2013，313(4)：434-446.

[9]Zhou Z，Zhang A，Ding C，et al. The weight enumerator of three families of cyclic codes[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2013，59(9)：6002- 6009.

[10]Zhou Z，Ding C，Luo J，et al. A family of five-weight cyclic codes and their weight enumerators[J]. IEEE Transactions on Information Theory，2013，59(10)：6674-6682.

(责任编辑 周蓓)

The weight distribution of a class of cyclic codes

ZHANG Aixian， LI Jianghua， SUN Xiaoqing

(Faculty of Science，Xi’an University of Technology，Xi’an 710048，China)

In this paper, the authors determine the weight distribution of a class of cyclic codes by using the theory of quadratic form and the calculation technique of exponential sums over finite fields, and the dual codes of this class of cyclic codes have two zeros.

cyclic codes; weight distribution; quadratic form

1006-4710(2015)02-0180-03

2014-12-05

国家自然科学基金资助项目(11401468, 11426172)；陕西省教育厅科研计划资助项目(2014JK1544)。

张爱仙，女，讲师，博士，研究方向为代数数论、编码与密码学。E-mail: zhangaixian1008@126.com。

O236

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