一类不稳定系统的PID控制器整定

罗嘉， 张曦， 李东海， 胡轶超

(1.广东电网公司电力科学研究院热工所， 广东 广州 510080;2.清华大学 热能系 电力系统国家重点实验室，北京 100084)

一类不稳定系统的PID控制器整定

罗嘉1， 张曦1， 李东海2， 胡轶超2

(1.广东电网公司电力科学研究院热工所， 广东 广州 510080;2.清华大学 热能系 电力系统国家重点实验室，北京 100084)

借助系统辨识的思想，改进了基于预期动态法的二自由度PID控制器(DDE-PID)的参数整定过程，并将其应用到不稳定系统上。采用先PD稳定对象，然后根据PD稳定后的控制对象的开环阶跃响应曲线即可得到所需参数，该方案具有参数整定过程简洁、实用性强、不依赖于精确模型等优点。针对改进前后的DDE-PID控制方案，选取4个典型的不稳定对象，分别与设定值跟踪实验和蒙特卡洛实验做了对比。仿真结果表明，本文所提方法对不稳定对象简单易用，在保证较好的控制性能的条件下，具有较好的鲁棒性，同时该方法可以根据需要方便地进行参数调整，实用性强。

预期动态法； 系统辨识； 阶跃响应； 不稳定系统

半个多世纪以来，PID控制器参数整定方法得到了不断的丰富和发展。然而，传统PID控制器只能设定一套PID参数，即所谓一自由度PID控制。这种控制存在局限性：只能针对设定值跟踪和扰动抑制两种情况之一进行设计[1]。Horowitz I.M.将二自由度概念引入PID控制系统，二自由度PID算法是在一个传统PID控制器的基础上通过增加相应的补偿环节，另外增加一些调整系数，使得该控制器的结构能够按照外扰抑制特性最佳和目标值跟踪特性最佳分别整定，从而使两种特性同时达到最优，控制品质得到改善。

至今二自由度PID控制器参数整定方法仍然是个开放问题，如何调整控制器参数令控制系统动态特性尽量接近预期动态特性尚有待解决。王维杰[2]等针对二自由度PID控制器，基于预期动态法(Desired Dynamic Equation)，提出了一种参数有着明确物理意义的整定方法——基于预期动态法的二自由度PID控制器(简称DDE-PID)。该方法的原理是将二自由度PID控制器表示成闭环系统预期动力学特性方程的函数。通过选取预期动力学特性方程系数和观测器参数作为控制器参数，分析参数与性能之间的关系，来得到整定规则，同时也在包括分数阶的各类对象上做了一些尝试[3]。

开环不稳定过程经常出现在各类工业系统中，并且很难获得有效控制，这主要是受到它不稳定的动态特性和右半平面极点的限制。由于右半平面极点的存在，使得控制对象在闭环的条件下很难达到稳定的状态。另一方面，很多系统中含有延迟环节，如流化床锅炉的给煤通道[4]，又会大大提高控制难度。因此，不稳定系统以及时滞系统的控制历来是控制研究中的难点。本文针对既不稳定又含有时滞的系统，设计一种有效的PID控制器。

对于不稳定对象，典型的有以下四种。

1) 一阶不稳定延迟系统：

2) 二阶不稳定延迟系统：

3) 有积分环节的不稳定延迟系统：

4) 有两个不稳定极点的二阶不稳定系统：

关于不稳定对象控制的文献大致可分为两类，一是针对某一类不稳定对象进行整定，如文[5-8]是针对不稳定一阶延迟系统的控制方法，文[9]是针对不稳定二阶系统，文[10]针对含有一个零点的一阶不稳定系统；二是选择了不稳定对象中的某几类对象进行了讨论，如文献[11]、[14]。但是这些文献对于每种类型的对象都是分别给出整定方法，也就要求对象的模型必须已知，而这在实际中往往难以获得。另一方面，给出的整定公式也是复杂的，难以进行实际应用。

在方法上，多数文献主要集中于采用内模控制方法。但由于内模控制器须包含控制对象的模型信息，而实际中往往难以获得。同时，控制器设计往往是复杂的，难以符合现实的控制要求。另一方面，由于简化过程引起的误差，如纯滞后的近似问题，也会影响控制效果。因此，不稳定对象始终是过程控制中的一个难点。

张敏[15]将DDE-PID初步应用到不稳定系统，证明了DDE-PID可以使不稳定系统稳定并获得良好动态性能。但该方法的参数整定依靠反复手调，不利于推广应用。

针对不稳定系统参数整定过程复杂、依赖于系统模型等问题，本文借助系统辨识的思想[16]，改进了基于阶跃响应的二自由度PID控制器的参数整定方法，采用PD控制器先稳定对象，再将针对稳定系统的DDE-PID整定方法推广到不稳定对象，使得控制器参数只需已知控制对象的开环阶跃响应曲线即可得到，方法简单，不依赖于对象模型，同时有着后续调整控制器参数的方法。并且通过仿真实验与其它方案[15,17]对比验证了所提方法的有效性。

1 二自由度PID控制器

考虑如下单变量系统：

(1)

其中N(s)与D(s)为互质多项式，τ为正有理数。

采用图1中的闭环反馈控制系统：

其中，yr和y分别为系统设定值输入和输出信号，u为控制信号，b为前馈控制器，PID控制器：Gc(s)=Kp+Ki/s+Kds。控制信号u可表示为：

(2)

当b≠0时，式(2)即为2自由度PID控制器，当b=0时，式(2)即为传统的PID控制器。

1.1 基于预期动态法的PID控制器 (DDE-PID)

Tornambe[18]引入状态观测器参数k和权重系数l，设计了一种非线性鲁棒控制器(TC)。其所希望的预期动态特性为:

结合PID的结构是个二阶形式，使闭环系统满足：

(3)

根据TC控制器设计思想得到控制律u为:

(4)

由式(2)得：

(5)

类似地，对于二自由度PI，其控制律为：

(6)

其中Kp=(h0+k)/l,Ki=kh0/l,b=k/l。

根据经典控制理论对二阶系统的分析并考虑实际动态性能与预期动态存在偏差，需要保证足够的性能裕量，故取：

(7)

对PI控制器，取：

(8)

其中tsd为预期调节时间。二自由度PID控制器参数Kp、Ki、Kd的整定归结为对参数tsd、k、l的整定。

虽然该方法有着参数物理意义明确、不依赖于系统的物理模型的特点，但是系统的初值选取以及之后如何调整参数来满足预期特性依然存在问题，需要丰富的整定经验来支持。

1.2 基于阶跃响应的DDE-PID控制器

为了推导出DDE-PID控制器的各个参数和系统阶跃响应之间的关系，设被控对象形式为：

(9)

因为延迟不可避免，所以设预期的动态响应为:

(10)

则有：

(11)

将(10)式代入可得：

(12)

利用一阶帕德近似以及对应项系数相等可得DDE-PI参数：

(13)

如果有确定的预期目标，可按预期目标来设定，否则可以简单地取为tsd=τ/100(对于τ很大的对象，如果对调节时间不满意，可继续减小tsd)。

同理可推广至DDE-PID参数：

(14)

2 整定方法

2.1 稳定系统整定

二自由度控制系统结构如图1所示，通过大量的仿真实验并结合控制器参数的物理意义，文献[16]提出了稳定系统DDE-PID参数整定过程如下。

1) 作阶跃响应曲线(见图2)。

3) 求取阶跃响应变化率最快的点y(ta)(对于离散采样得到的曲线，可采用差分法求得)。

4) 在y(ta)处做切线，并得到该切线与y=0和y=K的交点处的t值，即t0和tk。

即可分别得到DDE-PID的初始值，其中tstart是加入阶跃的时刻。

2.2 不稳定系统整定

对于不稳定系统，由于采用简单的PID控制结构难以达到控制要求，因此本文基于系统辨识思想，在PID闭环反馈控制系统中再引入了一个PD控制器，然后将针对稳定系统基于阶跃响应的DDE-PID整定方法推广到不稳定对象，并给出一种仅依赖于系统阶跃响应的整定不稳定对象的方法。

对于含不稳定极点的过程，本文将其典型情况统一表示为：

(15)

控制框图如图3所示。在该控制结构中，首先采用PD控制器将系统稳定下来，再通过稳定系统的整定方法进行整定。

整定过程如下。

1) 确定一个不稳定极点。对于如上形式的Gp(s)，其阶跃响应可以表示为：

2)θ的确定。在阶跃响应曲线上，y≠0的第一个点的t值即为θ。

3) 取θ+1和θ+1.1两点的y值y1和y2，求解方程组(16)，即可得到K和b。

(16)

4) 根据辨识得到的模型选择合适的kd/kp，并画根轨迹图，选取留有一定裕量的PD控制器。

5) 按照稳定系统的整定方法进行参数整定。如果整定效果不理想，可尝试改变kd/kp的值。

随着非最大不稳定极点逐渐增大时，其在PD控制器作用下的稳定域在不断减小，kd/kp的选择值应逐渐减小。

3 仿真实验

本文选取了4个典型不稳定对象的例子进行了仿真，这4个具有延迟特点的不稳定对象包括一阶不稳定延迟对象、二阶不稳定延迟对象、含有积分环节的不稳定延迟系统和二阶不稳定系统含有零极点特性的典型类型的不稳定对象如下：

3.1 设定值跟踪实验

由于绝大多数热工对象都具有延迟特性，所以本文主要研究具有延迟特性的不稳定系统。在实际热工生产过程中，不稳定系统的模型信息并不是精确已知的，所以基于系统辨识的方法对不稳定系统进行辨识。表1给出了不稳定对象的辨识结果、PD参数以及根轨迹。

由以上分析可以看出，借助系统辨识的方法对非稳定系统进行辨识处理以后，由根轨迹分析方法确定PD控制器参数，当系统具有积分环节或不稳定极点较多的时候，kd/kp的比值宜取大一些，以保证其具有较大的稳定域。

当确定了不稳定系统的PD控制器参数以后，基于开环阶跃响应，对4个典型的不稳定系统的二自由度PID控制器参数进行整定，图5给出了经过PD控制器稳定后的对象的开环阶跃响应，表2给出了DDE-PID控制器参数表。

Rames C[17]采用一般PID控制结构，提出了一种改进的IMC-PID控制方法，并应用到不稳定对象上。将本文所设计的DDE-PID控制效果与文[17]和文[15]基于预期动态法的二自由度PID控制器作了对比，其设定值跟踪响应曲线如图6所示。

Rames C在不稳定对象上实现了将IMC控制化为PID控制，但其仿真结果与二自由度PID相比，无论是调节时间还是超调量，效果都很差，甚至会出现震荡现象。对比两种DDE-PID方案，从典型的不稳定对象的控制效果来看，本文所提控制方案可以获得比文[15]更优越的动态响应过程，其调节时间更短，响应更快。从参数调整过程来看，本文参数整定过程不存在系统的初值选取以及之后如何调整参数来满足预期特性的问题，参数整定过程快速简捷。

3.2 蒙特卡洛实验

蒙特卡洛方法是一种以概率统计为理论基础、以随机抽样为主要手段，使用随机数来解决特定计算问题的方法。实际工业对象往往都具有时变性，这也对控制器的鲁棒性能提出了较高的要求。为了更好地说明本文所提方案的优越性能，笔者采用蒙特卡洛实验来验证其鲁棒性能，并与另外两个方案进行对比。

假设对象模型的所有参数都在其标称模型参数上下随机摄动10%，加入正向单位阶跃设定值，进行400次蒙特卡洛随机实验。统计该实验过程中摄动系统的调节时间ts和超调量σ(%)，并绘制其散点分布图。本文以一阶不稳定延迟对象G1(s)为例，其蒙特卡洛实验散点图如图7所示。

从图7可以很明显地看出，本文所提方案鲁棒性能更好。

综合上文设定值跟踪实验和蒙特卡洛实验分析，本文给出的DDE-PID整定方法，仅需已知对象的阶跃响应曲线即可得出控制器参数，并能获得与文[15]相当甚至更好的控制效果，尤其是针对不稳定对象，其优越的鲁棒性能也得到了验证。同时本文所提方法的另外一个明显优势即方法简单，整定过程更快捷简便，此外，参数可以根据需要进行调整，因而在很大程度上也方便了实际应用。

4 结 论

本文借助系统辨识的思想，针对不稳定系统，在改进后基于阶跃响应的二自由度PID控制器参数整定过程中，先采用PD控制器使得不稳定对象稳定，再根据PD稳定后的对象的开环阶跃响应曲线得到所需参数，同时给出了系统的后续调整方法。针对本文所提的针对不稳定对象的DDE-PID参数整定方法，分别对设定值跟踪实验和鲁棒性实验做了对比分析。仿真结果表明，本文所提方案对不稳定系统的控制效果远远优于一般PID控制，与基于预期动态法的二自由度PID控制器相比，调节时间小，鲁棒性能优，而且其过程不依赖于对象的模型，参数整定过程简便，实用性好，同时可以根据需要方便地进行参数调整，适用范围广泛，证明了所提方案的有效性和实用性。

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(责任编辑 王卫勋)

Tuning of PID controller for unstable plant systems

LUO Jia1, ZHANG Xi1, LI Donghai2, HU Yichao2

(1.Thermal Institute of GPGC Electric Power Research Institute, Guangzhou 510080, China;2.State Key Lab of Power Systems, Dept of Thermal Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

According to the idea of system identification, two degree of freedom PID based on desired dynamic equation (DDE-PID) has been improved. In this paper, DDE-PID has been applied in unstable plant systems. This method adopts a PD controller first, and then, the required parameters can be obtained in accordance with the open-ring step response curves after PD stable control object， and it has advantages in simple tuning, better practicability and does not rely on the accurate model of plant. With an aim at the improved DDE-PID control scheme, the 4 typical unstable objects are selected to carry out the contrast of the set value tracking experiment with Monte-Carlo experiment. The simulation results indicate that the method suggested in this paper is simple and easy to be used in the unstable objects, and has had the better robustness in the case of guaranteeing better controlling performances, meanwhile this method can regulate the parameters based on the requirements conveniently and with better practicity.

desired dynamic equation; system identification; step response; unstable system

1006-4710(2015)04-0475-07

2014-06-06

国家自然科学基金资助项目(51176086)；广东电网公司电力科学研究院与清华大学产学研合作项目。

罗嘉，男，博士，高级工程师，研究方向为火电厂热工过程控制。E-mail：jialuo@126.com。

李东海，男，副教授，博导，研究方向为热工及过程控制。E-mail: lidonghai.thu@gmail.com。

TP273

A