一种加权Logistic－Richards组合模型的地表沉降预测方法

龙四春 彭 强 黄两宜 张立亚

1 湖南科技大学煤炭资源清洁利用与矿山环境保护湖南省重点实验室，湘潭市桃源路1号，411201

2 湖南科技大学测量工程与形变监测研究所，湘潭市桃源路1号，411201

3 中国建筑第五工程局有限公司隧道公司，重庆市龙山大道，401147

利用已知模型对施工场地地表沉降进行预测主要有单一模型和多模型组合方法［1］。其中单一模型预测方法主要有神经网络方法［2］、灰色理论方法［3］、生长曲线模型［4］、Logistic模型［5］和Richards模型［6］，这些模型都能较好地预测地表沉降。但不同施工场地工程地质、水文和地面荷载等因素均不相同，同一施工场地不同时期内部应力和水文特征也会有所变化，单一模型在施工全过程沉降预测时很难达到较高的精度，可能存在预测失误的情况。多模型组合预测对多个模型赋予不同权重，让它们同时参与地表沉降预测，能更准确地预测施工过程的地表沉降［7］。有学者提出等权多模型组合预测，即对每个模型加相同的权重进行地表沉降综合预测［8］。等权模型的权重是固定的，在不同条件下不能合理地分配权重，导致监测结果有偏差，而加权模型组合可以根据不同的环境对各参与预测模型赋予不同的权重［9－15］，能够更精确地预测施工过程地表沉降情况。

本文将加权组合Logistic模型和Richards模型，用特征值法（利用平移反幂法shifted－inverse power method［16］）求各模型的权重，并用加权Logistic－Richards组合模型对施工现场地表沉降进行拟合和预测，以验证组合模型的优越性。

1 加权Logistic－Richards组合模型

1.1 Logistic－Richards组合模型

Logistic模型函数为：

式中，a、b、k是参数，x是时间序列，y是对应时刻的地表沉降预测值。

Richards模型函数为：

式中，α、β、r、δ是参数，x是时间序列，y是对应时刻的地表沉降预测值。

对Logistic模型和Richards模型进行加权组合，得到加权的Logistic－Richards组合模型：

式中，a、b、k、α、β、r、δ是参数，ω1、ω2是权系数，x是时间序列，y是对应时间的地表沉降预测值。

加权组合模型的误差、方差、标准差和相对误差可用式（4）表示：

式中，ω1、ω2为权系数，e0、e1、e2分别为预测误差，D为方差，cov为相关系数，σ为标准差，R为相对误差，y′为预测值，y为实测值。

1.2 平移反幂法（shifted－inverse power method）的特征值求权方法

令Logistic模型为g（x），Richards模型为w（x），则组合模型可表示为：

整理后得：

式（5）可表示为f（x）＝Ax，其中A为系数阵，x为参数。假设A是一个n×n的矩阵，有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn。对于其中一个特征值λj，可以选择一个常数a，使得是（A－aI）－1的主特征值。序列和｛ck｝可由式（6）、（7）递归产生：

综上，可求得ω1，进而根据式（3）求得ω2。

2 实验与分析

以深圳地铁9号线人民南车站、鹿丹村车站和长沙地铁3号线东四线车站的地表施工沉降数据为例，对比分析Logistic模型、Richards模型和加权Logistic－Richards组合模型对地铁车站地面沉降数据的拟合与预测能力。

2.1 人民南地铁车站实例分析

人民南地铁车站位于春风路高架桥下，南侧为34层德兴大厦，距离车站2.75m；北侧有春风高架桥和19层新都酒店，距离车站2.60 m。车站处于软土层，高楼环绕，施工条件差。表1是人民南车站实测值与加权Logistic－Richards组合模型的预测值比较。

由表1 可见，加权Logistic－Richards组合预测模型预测值与实测值较一致，证明Logistic－Richards加权组合模型能够很好地监控和预测地铁车站的地表沉降。图1 是平移反幂法求加权Logistic－Richards组合模型权值曲线图，权值曲线的斜率代表权值。图2是Logistic模型、Richards模型和Logistic－Richards加权模型预测值与实测值的比较。

表1 人民南车站实测值与预测值比较Tab.1 Comparison between measured and predicted values at South－Renmin subway station

图1 平移反幂法求组合模型权值曲线Fig.1 Combination weight curve by using shift inverse power law model

图2 3模型预测值与实测值的比较Fig.2 The predictive values of three models compared with the real values

图2中加权Logistic－Richards组合模型预测结果比Logistic模型、Richards模型更接近实测值，说明加权Logistic－Richards组合模型比单一的Logistic模型和Richards模型更适合于监控和预测地铁车站地表沉降。表2 是Logistic－Richards组合模型、Logistic模型和Richards模型精度统计。表2中Logistic－Richards组合模型平均误差、方差和标准差3项指标均优于Logistic模型和Richards模型，说明Logistic－Richards模型精度更高、更优越。

表2 模型精度统计Tab.2 Statistics for accuracy of 3models

2.2 鹿丹村和东四线车站实例分析

为验证上述结论的正确性，分别对深圳地铁鹿丹村车站和长沙地铁东四线车站实测数据进行实验。相比于人民南地铁站，此两地铁站周边没有高楼环绕，地面荷载很小。图3是鹿丹村车站Logistic模型、Richards模型、Logistic－Richards加权模型预测值和实测值的比较，图4是东四线车站Logistic模型、Richards模型、Logistic－Richards加权模型预测值和实测值的比较。可以看出图2～4中，加权Logistic－Richards组合模型在不同地质环境、不同地面荷载中，对地表沉降的预测结果均比Logistic模型和Richards模型要好，说明在人民南地铁站所得出的结论在不同水文地质环境、不同地面荷载情况下同样是正确的。

图3 鹿丹村地铁站3模型预测值与实测值比较Fig.3 The predictive values of three models compared with the real value of Ludan village subway station

图4 东四线地铁站3模型预测值与实测值比较Fig.4 The predictive values of three models compared with the real value of East－Four subway station

表3、表4分别为鹿丹村车站和东四线车站3种模型的精度统计表，表5是加权Logistic－Richards组合模型对3个车站不同沉降监测点进行最终预测得到的沉降值与实测值比较。

表3 鹿丹村地铁站3模型精度统计Tab.3 Statistics for precision of three models at Ludan village subway station

表4 东四线地铁站3模型精度统计表Tab.4 Statistics for precision of three models at East－Four subway station

表5 预测值与实测沉降值的比较Tab.5 Comparison between predicted and real values

表3～5结果表明，在不同地质条件和不同地面荷载情况下，加权Logistic－Richards组合模型比Logistic模型和Richards模型预测精度更高，更适合监控和预测地表沉降情况。

［1］施成华，彭立敏.基坑开挖及降水引起的地表沉降预测［J］.岩土工程学报，2006，39（5）：117－121（Shi Chenghua，Peng Limin.Ground Surface Settlement Caused by Foundation Pit Excavation and Dewatering［J］.China Civil Engineering Journal，2006，39（5）：117－121）

［2］张文博，郭云开.基于BP神经网络的建筑物沉降预测模型研究［J］.测绘工程，2013，22（2）：52－56（Zhang Wenbo，Guo Yunkai.Prediction Model of Building Settlement Based on BP Neural Network［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2013，22（2）：52－56）

［3］Xu H F，Liu B，Fang Z G.New Grey Prediction Model and Its Application in Forecasting Land Subsidence in Coal Mine［J］.Nat Hazards，2014，71（2）：1 181－1 194

［4］王军保，刘新荣，李鹏，等.MMF模型在采空区地表沉降预测中的应用［J］.煤炭学报，2012，37（3）：411－415（Wang Junbao，Liu Xinrong，Li Peng，et al.Study on Prediction of Surface Subsidence in Mined－out Region with the MMF Model［J］.Journal of China Coal Society，2012，37（3）：411－415）

［5］郑鹏武，谭忠盛，朱元生，等.地铁施工引起地表沉降的Logistic模型预测及应用［J］.中国安全科学学报，2006，16（3）：23－26（Zheng Pengwu，Tan Zhongsheng，Zhu Yuansheng，et al.Application of Logistic Model in Prediction of Ground Sedimentation Caused by Subway Construction［J］.China Safety Science Journal，2006，16（3）：23－26）

［6］王正帅，邓喀中.采动区地表动态沉降预测的Richards模型［J］.岩土力学，2011，32（6）：1 664－1 668（Wang Zhengshuai，Deng Kazhong.Richards Model of Surface Dynamic Subsidence Prediction in Mining Area［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32（6）：1 664－1 668）

［7］唐佑辉，黄腾，赵兵帅.COM 和时间序列组合模型在地表沉降预 测中的应用［J］.测绘工程，2014，23（2）：70－72（Tang Youhui，Huang Teng，Zhao Bingshuai.Application of Combination Model of COM and Time Series to the Surface Subsidence Prediction［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2014，23（2）：70－72）

［8］邹自力，汤俊.基于加权组合模型的沉降预测讨论［J］.城市勘测，2010（1）：89－91（Zou Zili，Tang Jun.Settlement Prediction is Discussed Based on Weighted Combination Model［J］.Urban Geotechnical Investigation ＆Surveying，2010（1）：89－91）

［9］徐卫东，伍锡锈，欧海平.基于时间序列分析和灰色理论的建筑沉降物预测模型研究［J］.测绘地理信息，2012，37（6）：23－25（Xu Weidong，Wu Xixiu，Ou Haiping.Research on Building Subsidence Prediction Model Based on Time Series Analysis and Grey Theory［J］.Journal of Geomatics，2012，37（6）：23－25）

［10］屈丹安，杨春和，任松.金坛盐穴地下储气库地表沉降预测研究［J］.岩石力学与工程学报，2010，29（增1）：2 705－2 711（Qu Dan’an，Yang Chunhe，Ren Song.Study and Prediction of Surface Subsidence of Salt Rock Caves Used for Gas Storages in Jintan Salt Mine［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2010，29（Supp 1）：2 705－2 711）

［11］罗文柯，施式亮，刘影，等.灰色Logistic I／II模型在煤矿开采沉降预测中的应用［J］.科技导报，2010，28（11）：74－78（Luo Wenke，Shi Shiliang，Liu Ying，et al.Application of Gray Logistic I／II Models in Subsidence Prediction in Mine Exploitation［J］.Science ＆ Technology Review，2010，28（11）：74－78）

［12］龚循强，熊小容，周秀芳.高铁桥墩沉降预测方法研究［J］.测绘通报，2014（4）：48－50（Gong Xunqiang，Xiong Xiaorong，Zhou Xiufang.The Research of Settlement Prediction Methods for the Bridge Pier on High－Speed Railway［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2014（4）：48－50）

［13］徐爱功，张建龙，隋心，等.基于自回归法的滑坡监测数据Kalman滤波的应用［J］.测绘工程，2014，23（9）：52－61（Xu Aigong，Zhang Jianlong，Sui Xin，et al.Application of Kalman Filtering to the Landslide Monitoring Data Procession Based on Auto－Regression Method［J］.Engineering of Surveying and Mapping，2014，23（9）：52－61）

［14］龚循强，李志林.稳健加权总体最小二乘方法［J］.测绘学报，2014，43（9）：52－61（Gong Xunqiang，Li Zhilin.A Robust Weighted Total Least Squares Method［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（9）：888－894）

［15］冷伍明，杨奇，聂如松，等.高速铁路桥梁桩基工后沉降组合预测研究［J］.岩土力学，2011，32（11）：3 341－3 348（Leng Wuming，Yang Qi，Nie Rusong，et al.Study of Post－Construction Settlement Combination Forecast Method of High－Speed Railway Bridge Pile Foundation［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32（11）：3 341－3 348）

［16］任善静，林府标，孙萍，等.Poisson 返程的元和N元特征值法［J］.数值计算与计算机应用，2010，31（1）：20－29（Ren Shanjing，Lin Fubiao，Sun Ping，et al.Eigenvalue Methods of Solving Poisson Equations with Element andNElement［J］.Journal on Numerical Methods and Computer Applications，2010，31（1）：20－29）