可测函数的性质

王一

摘 要：可测函数是从测度观点来研究函数时所必然要考虑的一类函数，它一方面包含大家熟悉的连续函数作为特例，另一方面又在应用上和理论上具有足够的广泛性。文章从可测函数的定义入手，给出简单函数的定义，还有提了几个常见的简单函数，在此基础上将讨论可测函数的性质，比如任何非负可测函数都可以用单调递增简单函数逐点逼近，对于一般的可测函数来说也可以利用逐点逼近法，可测函数的收敛性，逐步进入可测函数的主要应用—— 积分领域。

关键词：可测函数 简单函数 可测函数的逼近 可测函数的性质

中图分类号：O174.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（b）-0138-02

实变函数论的核心内容是建立在可测函数类上的Lebesgue积分理论，而可测函数是借助于测度论定义的。因此，三者关系能体现出可测函数是实变函数论的基本概念，理解与掌握它是学好Lebesgue积分理论的关键。由于通常将一般可测函数的L积分定义为它的正部与负部两个非负可测函数L积分的差（要求其中至少一个积分值有限），因此研究非负可测函数L积分的定义具有重要意义。该文将研究非负可测函数L积分的定义方法，文中可测集与可测函数均指L可测集与L可测函数。

1 可测函数的定义

1.1 可测函数

（1）定义：设是定义在可测集的实函数，如果对于任何有限实数，[都是可测集，则称为定义在上的可测函数。

（2）定理：设是定义在可测集上的实函数，下列任一条件都是在上可测的充要件：（1）对任何有限实数，都可测；（2）对任何有限实数，都可测；（3）对任何有限实数，都可测；（4）对任何有限实数，都可测。

例如，区间[]上的连续函数及单调函数都是可测函数。

1.2 简单函数

定义：设的定义域可分为有限个互不相交的可测集，，使在每个上都等于某常数，则为简单函数。

例如，在区间[0，1]上的狄利克雷函数便是一简单函数。

2 可测函数的性质

2.1 基本性质

（1）性质1：若是上的可测函数，可测，则限制在上也是可测函数；反之，若，限制在上是可测函数，则在上也是可测函数。

引理：设与为上的可测函数，则都是可测集。

（2）性质2：设，在上可测，则下列函数（假定它们在上有定义）也在上可测：

①+；②||；③1/；④.；⑤都在上可测。

（3）性质3：{}是上一列可测函数，则，也在上可测，特别当存在时，它也在上可测。

证明（略）。

例：上的可微函数的导函数是可测函数。

注意：函数列收敛与函数列收敛于之间的不同。

（4）性质4：R中的可测子集E上的单调函数必为可测函数。

定义：（几乎处处成立）设是一个与集合的点有关的命题，如果存在的子集，适合，使得在＼上恒成立，也就是说，＼[成立]=零测度集，则我们称在上几乎处处成立，或说a.e.于成立。

2.2 可测函数的收敛性关系与区别

定义：（依测度收敛）设是上的一列a.e.有限的可测函数，若有上a.e.有限的可测函数满足下列关系：对任一有，则称函数列依测度收敛于，或度量收敛于。记为：

改用说法：对任意>0及，存在整数，使时，。

测度收敛和我们熟知的处处收敛或几乎处处收敛概念是有很大区别的。

尽管两种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是下列定理反映出它们还是有密切联系的。

定理1：（里斯）设在上测度收敛于，则存在子列在上a.e.收敛于。

定理2：（勒贝格）设（1）；（2）是上a.e.有限的可测函数列；（3）在上a.e.于a.e.有限的函数，则。

上面定理说明a.e.收敛的函数列在何时成为以测度收敛的。要注意，这个条件是不能去掉的。再结合例1，在条件下，测度收敛弱于a.e.收敛。

定理3：设，，则在上几乎处处成立。

证明（略）。

2.3 可测函数的逼近

在数学分析中知道，一致收敛是函数列很重要的性质，它能保证极限过程和一些运算的可交换性。但一般而言，一个收敛的函数列在其收敛域上是不一定一致收敛的。例如在[]上不一致收敛。但是只要从[]的右端点去掉任何小的一段成为[]，则{}在其上就一致收敛了。其实这一现象在某种意义下是带有普遍性的。但有两个问题是必须考虑的：（1）什么样的函数可以用好的函数按某种收敛意义逼近？（2）几种收敛性的关系如何？这就是下面要讲的Egoroff定理。

引理：设，上的一列几乎处处有限的可测函数，a.e.于，且||a.e.于，则对任意和任意正整数n，作，我们有

推论：设，上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数的可测函数列，则对任意有。

定理：（Egoroff）设，是上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数的可测函数，则对任意，存在子集，使在上一致收敛，且。

3 结语

本文章先给出了可测函数定义，讨论了它的性质，逐步进入了并讨论了一般函数、简单函数、可积函数以及它们之间的关系。这个定理告诉我们，凡是满足定理假设的a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的某点集外）一致收敛的。

参考文献

[1] 程其蘘，张奠宙，魏国强，等.实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 江泽坚，吴智泉，纪友清.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 徐森林.实变函数论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2002.endprint