一种SPA集记分函数的构造法

王万军， 晏 燕

(1.兰州文理学院 信息工程学院 甘肃 兰州 730000；2.兰州理工大学 电气工程与信息工程学院 甘肃 兰州 730050)



一种SPA集记分函数的构造法

王万军1， 晏 燕2

(1.兰州文理学院 信息工程学院 甘肃 兰州 730000；2.兰州理工大学 电气工程与信息工程学院 甘肃 兰州 730050)

在集对分析(SPA)集的基础上，构造了一种SPA集记分函数方法，该记分函数能有效地反映SPA集中联系数函数的同(同一)、异(不确定)、反(对立)3者之间的联系变化趋势，克服了传统SPA集中采用集对势进行刻画同一证据与对立证据联系变化的不足与缺陷，并分析了SPA集记分函数构造准则及涵义.最后，通过算例验证并分析了该记分函数的有效性、合理性和可分辨性.

SPA集； 记分函数； 构造法

0 引言

自从赵克勤1998年在中国包头会议上提出集对分析理论[1](sets pair analysis，缩写SPA)以来，SPA集已经广泛地应用在政治、社会、文化、管理、交通、环境及经济等诸多领域.SPA集是通过定义在[0,1]区间上的一个集合对子，对集合对子之间的联系、变化、制约，通过建立一个联系数函数μ=a+bi+cj来反映事物之间同a(同意、支持或肯定)、异b(不确定或犹豫)、反c(否定、对立或反对)的证据.联系数理论弥补了Fuzzy集[2]用隶属函数来表示模糊信息的单一性，同时也克服了Vague集[3]和直觉模糊集[4-5]只能采用支持真隶属度函数和假隶属度函数刻画模糊信息的不足，弥补了对Vague集或直觉模糊集中信息异态(不确定或犹豫)变化无法描述的缺陷.SPA集能更有效地反映事物之间确定、不确定及模糊之间的变化规律，对人类模糊信息处理的思维规律和认知信息有一定启发作用.虽然SPA集在人工智能、信息处理、决策分析、模式识别、环境工程、水文资源及工业控制等方面得到较好应用，并取得了相应研究成果[6-12]，但作为SPA集重要内容之一的记分函数研究，目前尚处于空白，仍然有许多问题亟待解决和研究.

本文基于上述分析及SPA集相关文献资料研究，试图借鉴Vague集和直觉模糊集中记分函数[13-16]概念，并将其引入到集对分析联系数中，提出了SPA集记分函数概念及构造方法，并分析了该记分函数的涵义、构造准则及相关特性.该记分函数能有效刻画联系数同、异、反3者之间的联系变化趋势，克服了传统SPA集中采用集对势刻画支持证据与反对证据变化的不足及不可分辨性的缺陷.最后结合具体算例分析了该记分函数的有效性、合理性及可分辨性.

1 SPA集及记分函数

1.1 SPA集及相关概念

集对分析[1](SPA集)是一种数学、系统科学和认知科学交叉的边缘学科，是处理模糊不确定性信息的一种有效工具.它从事物的同、异、反3个方面通过联系数函数定量描述事物属性的确定与不确定性.

定义1设N是一个论域，对∀x∈N，有N上的一个SPA集用一个同一(支持或肯定)度函数tA(x)，一个不确定(犹豫)度函数πA(x)和一个反对(否定或对立)度函数fA(x)来描述其联系数(度)函数uA(N).即

tA(x):N→[0,1]，πA(x):N→[0,1]，fA(x):N→[0,1],uA(N)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j,

其中,tA(x)+πA(x)+fA(x)=1，i为差异标记符号，i∈[-1,1]，其值视不同情况而确定；j为对立标记符号，规定取值为-1，有时视情况可作为表达式的标志不起实际意义.其实tA(x)描述了支持或肯定证据的隶属度下界，πA(x)描述了不确定或犹豫证据的隶属度下界，fA(x)描述了反对或否定证据的隶属度下界.

定义2在联系数uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，称H(x)=1-πA(x)=tA(x)+fA(x)为SPA集x的精确度或已确知度.

H(x)反映了x相对A的确知信息量，H(x)值越大，确知信息量就越多.

定义3在联系数uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，称P(x)=tA(x)-fA(x)为SPA集x的优度或偏度.

H(x)和P(x)在SPA集中相当于统计学中方差和均值的概念.H(x)值越小且P(x)值越大，构造的记分函数值应该越大，反之亦然.

定义4在联系数uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，称δ(x)=P(x)/H(x)为SPA集x的相对优度或相对偏度.

相对优度或相对偏度δ(x)反映了决策者乐观、中立或悲观等心态对决策证据偏向的程度，δ(x)值越大，决策者处于乐观心态；δ(x)值越小，决策者处于悲观心态，δ(x)值为0，决策者处于中立心态.

定义5在联系数uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，当fA(x)≠0，称Shi(x)=tA(x)/fA(x)为SPA集x的势态或集对势.

如果当fA(x)=0时，则认为Shi(H)→∞.势态或集对势反映了SPA集中支持证据与对立证据之间的一种趋势变化关系.势态或集对势可以分为均势、同势和反势.

定义6[17]在联系数uA(x)中，如果势态或集对势Shi(x)=1称均势；Shi(x)>1称同势；Shi(x)<1称反势.

集对势Shi(x)越大，说明支持证据相对反对证据越大，反之说明支持证据相对反对证据越小.

1.2 SPA集记分函数

SPA集记分函数是集对分析信息处理的核心与关键，合理有效地构造SPA集记分函数能客观准确地反映联系数同、异、反3者属性之间所包含的信息.它是SPA集中进行确定与不确定信息集结处理的直观体现，是用来衡量决策属性满足同、异、反联系程度的有效衡量标准.不同SPA集确定与不确定信息集结归根到底是记分函数构造形式决定的.不同的SPA集记分函数反映了SPA集中联系数同、异、反3者之间信息属性值力量对比影响.如何有效地构造SPA集记分函数直接决定了SPA集中决策结果的准确、有效与合理，甚至是决策结果的正确与否.因此，在SPA集中构建高效的记分函数对集对分析多属性决策有重要的影响和作用.

2 SPA集中势分析及缺陷

在SPA集中，势Shi(x)=tA(x)/fA(x)是一个非常重要的概念，它是集对分析中支持证据(同)与否定证据(反)的两种力量对比，同时它也体现了同、反两种证据力量走向趋势变化.表1给出了不同势值等级[17]之间的tA(x),πA(x),fA(x)大小关系.

从表1分析可知：

集对势越大，说明πA(x)趋向tA(x)的程度就越大，即：不确定证据偏向于支持证据，记分函数值越大；反之，集对势越小，说明πA(x)趋向fA(x)的程度就越大，即：不确定证据偏向于反对证据，记分函数值越小.

集对势的概念有很大的局限性和缺陷，主要体现在如下4个方面：1) 当反对证据fA(x)=0时，此时的势定义是无效的，但实际上问题本身具有实际意义，无法用势进行这种情况的信息决策处理；2) 集对势定义中只包含了支持证据tA(x)和反对证据fA(x)的信息，没有包含不确定度πA(x)的信息，缺乏客观依据和说服力；3) 采用集对势进行衡量决策属性极易丢失有价值信息，容易出现决策结果的不合理甚至结论错误；4) 集对势无法体现或反映属性决策者乐观、中立或悲观等情绪下偏好心态对决策嗜好程度的影响.

因此，如何建立SPA集中衡量同、异、反3者属性满足程度的记分函数要比采用集对势值来衡量更加科学、合理和有效.

表1 不同势值等级大小关系Tab.1 Relationship of different Shi values grade size

3 SPA集记分函数构造法

3.1 SPA集记分函数及构造准则

为了构造SPA集记分函数S(x)，应该将SPA集联系数中tA(x),πA(x),fA(x)所包含的信息进行全面系统地分析.SPA集中信息有两部分：一部分就是信息P(x)=tA(x)-fA(x)的值，它给出了支持证据对否定证据变化趋势的优度或偏度程度，P(x)值越大，SPA集记分函数S(x)的值越大；反之，P(x)值越小，SPA集记分函数S(x)的值越小.另一部分就是不确定度πA(x)信息，πA(x)值越大，不确定信息越多；πA(x)值越小，不确定信息越少.

SPA集的记分函数是将信息P(x)，确知信息H(x)和不确定信息πA(x)有效地进行重新分配来衡量决策满足属性的程度要求体现.对于不确定信息πA(x)，应按照支持证据与反对证据力量对比程度将πA(x)分配到信息P(x)或确知信息H(x)中，得到一个新的确知信息，即为SPA集记分函数.

在构造SPA集记分函数S(x)时，为了合理、有效、准确并能体现决策者乐观、中立或悲观等心态，则SPA集记分函数S(x)应该满足如下7条准则.

对于两个集对联系数uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j,uA(y)=tA(y)+πA(y)i+fA(y)j,有：

准则1若PA(x)>PA(y)，则S(x)>S(y)；

准则2若PA(x)

准则3若PA(x)=PA(y)，则

1) 若πA(x)=πA(y)，则S(x)=S(y)；

2) 若πA(x)>πA(y)，则S(x)

3) 若πA(x)<πA(y)，则S(x)>S(y)；

准则4决策者乐观偏好，当PA(x)>PA(y)时，有δ(x)≻δ(y)；

准则5悲观决策中，当PA(x)

准则6中立决策中，有δ(x)≈δ(y);

准则7在SPA集定义域x上，P(x)，δ(x)是单调增函数，H(x)是单调减函数.

3.2 SPA集记分函数

在明确了SPA集记分函数含义及构造准则的基础上，本文构造了如下的SPA集记分函数.

定义7在联系数uA(x)=tA(x)+πA(x)i+fA(x)j中，称函数SA(x)为SPA集记分函数，

SA(x)=H(x)+P(x)+δ(x)πA(x)=

对于定义7，其实是由3部分组成：第1部分H(x)为精确度或已确知度部分，反映确知信息量的多少，与决策者心态偏好无关；第2部分P(x)为优度或偏度部分，与决策者心态偏好无关；第3部分δ(x)πA(x)与决策偏好相关，这部分通过相对优度或相对偏度函数δ(x)，将不确定度πA(x)偏好趋向支持证据进行了有效处理，δ(x)函数体现了决策者在乐观、中立、悲观等不同决策心态下的偏好程度.

显然定义7中的记分函数包含了SPA集中联系数同、异、反3者之间的全部信息在不同决策心态下的偏好趋向总和，同时该函数体现了在没有其他信息下，对不确定度均值分配符合极大熵原理[18].另外定义7的记分函数符合决策中的“马太效应”[16]和少数服从多数的一般决策原则，这与SPA集中采用势态或集对势相比较，利用记分函数更加科学、准确和合理.由此利用定义7的SPA集记分函数来体现属性决策满足程度更具有效性和可行性，并且容易验证定义7的记分函数满足准则1到准则7的要求.

4 算例分析

为了验证本文SPA集记分函数的有效性、合理性和可行性，现进行算例结果分析(见表2所示).

表2 本文构造的SPA集记分函数结果比较Tab.2 The comparison of this paper score results based on SPA sets

从表2分析可知：如果采用传统的集对势是无法分辨联系数0.4+0.2i+0.4j和0.3+0.4i+0.3j的，因为其势值均为1.但通过SPA集记分函数分别得到其值为0.8和0.6，从直觉上感觉该值是符合实际的.另外对联系数0.2+0.8i+0.0j采用集对势是无法处理(无效)的，但利用记分函数得到其值为1.2.由此可知，本文的记分函数具有较好的分辨性.SPA集记分函数能较好地反映出集对分析中同、异、反3者之间属性决策实际客观中确定与不确定要求,并符合人类思维的认知规律，但利用集对势有时无法进行合理属性决策体现，前面已经分析其缺陷和不足.SPA集记分函数能较好地反映出实际客观和直觉模糊的要求，符合人类思维的认知规律.因此本文提出的SPA集记分函数是可行的、有效的和可分辨的.

5 结束语

本文在SPA集联系数理论基础上，结合记分函数的概念，提出了一种SPA集记分函数的构造方法，同时分析了传统集对势在属性决策中的不足.分析了SPA集记分函数的含义，并建立了记分函数构造的相关准则.最后通过算例简要分析了该记分函数的可行性、有效性及可分辨性.

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A Construction Method for Score Function Based on SPA Sets

WANG Wan-jun1, YAN Yan2

(1.InformationEngineeringCollege,LanzhouUniversityofArtsandScience,Lanzhou730000,China；2.SchoolofElectricalandInformationEngineering,LanzhouUniversityofTechnology,Lanzhou730050，China)

A construction method for score function was put forward based on set pair analysis theory. The proposed score function can effectively reflect the connection and diversification trends among countenance (the same), difference (uncertain) and opposite (contrary) of connection number function in set pair analysis, and overcome the deficiencies in characterizing countenance evidence and opposite evidence while using the set pair force in traditional SPA. Construction criteria and meanings of score function of SPA were also analyzed. Finally, some numerical examples were given to illustrate the rationality, effectiveness and separability of the proposed algorithm.

SPA sets; score function; construction method

2014-10-14

国家自然科学基金资助项目，编号613363078；甘肃省青年科技基金计划项目，编号1310RJYA004；甘肃省高等学校研究生导师科研项目，编号1215-04；兰州文理学院科研能力提升计划骨干项目，编号2012GGTS01.

王万军(1974-)，男，甘肃天水人,副教授，主要从事计算机智能信息处理与信息决策分析技术研究,E-mail:wangwanjun1@163.com；通讯作者：晏燕(1980-)，女，甘肃兰州人，讲师，博士研究生，主要从事信息隐私保护及信息隐藏技术研究，E-mail:yanyan@lut.cn.

TP301，O22

A

1671-6841(2015)01-0033-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.007