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叶励城

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）24-119-03

1.学贵有疑，有问题，有动力，有希望

高三市质检一结束，我们高二年级的许多同学便拿高三的质检卷来做练习，我表扬了同学们的这种积极进取的学习精神。同学们的问题主要集中在解析几何的这道直线过定点的问题：

已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切.

（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；

（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为 和 ， ①当 = 时，求证直线AB恒过一定点M；

②若 为定值 ，直线AB是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标； 若不存在，请说明理由.

有8个同学在晚自习的时候问同样的这个问题。恰好圆锥曲线部分刚学完正好处于复习阶段，于是我准备将类似问题做一个小结。当天晚自习就布置任务，要求全体同学都要完成这道题目，并且安排了一些问题让同学们思考。

2.观察

观察是有目的、有计划、比较持久的知觉。它是以视觉为主，融其他感觉为一体的综合感知，是知觉的一种高级形式。观察中包 含着积极的思维活动，因此，人们也把它称为思维的知觉。观察对于学习的重要性不言而喻，没有观察就没有一切，一切问题的解决都是从观察开始的，首先要做的是让同学们学会观察。

师：我们知道直线方程的几种形式，对于直线 恒过定点是什么含义呢？

生：k与b之间有联系，可以用一个字母k或b表示，令其前面系数为0消除掉其影响就得到定点了。

师：很好，如果k与b都带着呢？它们之间的关系又不能明确表述出来。

生：那就依据直线系方程理论使k与b前面系数均为0即可。

师：很好，谁能上前面来展示下我们的作业。

同学A在投影仪上展示其解答（解法1）：

解： （Ⅰ）方程为y2=4x.

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）.

由题意得x1≠x2（否则 ）且x1x2≠0，则

所以直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+b，

则将y=kx+b与y2=4x联立消去x，得ky2-4y+4b=0

由韦达定理得 -------※

当 = 时， 所以 ，

所以y1y2=16，又由※知：y1y2= 所以b=4k；因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，所以直线AB恒过定点（-4，0）.

②当 为定值 时.若 = ，由①知，

直线AB恒过定点M（-4，0）

当 时，由 ，得 = =

将※式代入上式整理化简可得： ，所以 ，

此时，直线AB的方程可表示为y=kx+ ，

所以直线AB恒过定点

所以当 时，直线AB恒过定点（-4，0）.，当 时直线AB恒过定点 .

师：很好很漂亮的解答，讨论的够仔细，标准解答也不过如此，有其他解法吗？

同学B在投影仪上展示其解答（解法2）：

解： （Ⅰ）方程为y2=4x.

（Ⅱ）设 ，

则直线AB： 即： ，

①当 = 时， ，所以

直线AB： ，所以直线AB恒过定点（-4，0）.

②当 为定值 时，若 = ，由①知，线AB恒过定点M（-4，0）

当 时，由 ，得 = =

，直线AB：

所以直线AB恒过定点

所以当 时，直线AB恒过定点（-4，0）.，当 时直线AB恒过定点 .

3.尝试

尝试，是做别人不敢做的事。尝试，是勇气，是去超越自我的勇气； 尝试，是一种意志，要尝试，除了勇气还要意志，有意志才能尝试，才能做得更好。尝试，让我们明白了劳动的可贵，明白了什么是快乐！

师：同学们给出的解答都很好，很漂亮，现我们玩一个小游戏，假设你是命题者，请你对此题稍加“加工改造”，并给出其解答。

尝试1：同学C展示：在不改变所有题目的条件下，分别设OA，OB的斜率为 ，若 ，则直线AB恒过定点 。证明如下：

借助解法2的一些结论，若

直线AB为： ，直线AB恒过定点 。

师：很好，不过我这里有个问题， 时情况如何？

沉默一会后，有同学回答了： 时两倾斜角互补， ，此时直线即： ，这些直线都与X轴垂直，之间相互平行。

师：对了，这时候这些直线不过定点，但是定向。

尝试2：同学D展示：在不改变所有题目的条件下，分别设OA，OB的斜率为 ，若 ，则直线AB恒过定点 。证明如下：

借助解法2的一些结论，

直线AB为： ，直线AB恒过定点 。

师：这里一定要有 这个条件的，否则没有意义。

尝试3：同学E说：在不改变所有题目的条件下，不妨设 当 时，直线AB恒过定点（4，0）. 当 时，情况不知道。同学E很不好意思。

师：没关系，做到哪里算哪里，拿出来让同学们看一下。展示如下：

当 时， 所以 直线AB为： ，直线AB恒过定点（4，0）。

当 时， ，所以

直线AB为： ，算到这里算不下去了。

师：为什么算不下去了呢？因为约束条件不够强，也就是说当 时不足以使直线过定点，并且也不能保证直线定向。

尝试4：同学F说：在不改变所有题目的条件下，若 ，则讨论无法进行，我弄不清楚。同学们都睁大了眼睛，想看看同学F下一步怎么做。

若 ，则

即： ，当 时，由 得

此时， 有两个值从而直线AB： ，直线是什么样子我弄不清楚了。同学们也都很疑惑了。

师：你看看你的操作多么规范，思维多么严谨，讨论多么清晰啊！呵呵。。。只差最后一小步，直线一定过两定点 中的一个。

尝试5：同学G：设 是抛物线 上任意一点，过M做AM，BM交抛物线于A，B两点，当 时，直线AB过定点 。仿同学B的解法如下：设 ，

则直线AB： 即： ，

所以 ，即

直线AB为： ，

直线AB恒过定点 即 。

师：这个同学的思路宽，视野开阔，同学G的做法还可以推广：当抛物线是 时，定点为 ，同学们也可以对尝试1，2，3，4及题目进行类似5的尝试或推广。

4.更进一步

师：同学们做了一些很了不起的工作，也基本能弄懂直线恒过定点的本质了，下面检查一下同学们学习效果。

练习1：（07山东理）1.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，最小值为 .

（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；

（Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点（ 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.

练习：2：（12福建理）如图，椭圆E： 的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 。过 的直线交椭圆于A、B两点，且△ 的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E的方程。

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

5.不同的风景同样的心情

因为一些现实的原因，学校的生源状况总会出现了一些变化。老师们教学的时候可能要有一些变化。笔者认为以下几点是重要的：

1，教会学生学习的方法，学会学习。记得一位资深老教师在一次给学生上课时对课堂学习的要求作了最精辟的解释：第一，想到；第二，会写；第三，写的清楚，明白。

2. 教会学生学会面对困难，解决困难。如何面对困难，面对困难时应当拿出一个什么样的态度，这都是我们要做的。青春没有失败，今天不会，明天再来。在高中阶段我们更注重对人的培养，如何培养人？给学生一颗坚强勇敢的心。

3，给学生爱，教会学生对自己的行为负责。阳光学校的理念是全员育人，全程服务，。。。。。。只有更多的关心与爱护你才能更多的了解学生，学生才会更多的理解你。

4，教会学生学会交流合作互相学习。两个人把两个苹果互换，每个人只得到一个苹果，而两个人互相交换思想方法，那么每个人都能得到两种思想方法。