《对数函数及其性质》（第一课时）教学设计

邢晓燕

● 创新整合点

◇运用几何画板软件的作图功能、动态演示功能、反射功能，突出学习重点、突破学习难点。设计“动手实践1”，运用作图功能，使学生在同一坐标系中绘出多个对数函数图像，提高学生动手实践能力，加深对对数函数定义的认识，突出学习重点;设计“动手实践2”，运用动态演示功能，呈现对数函数图像随底数的变化情况，验证底数取定义范围内任意值时，对数函数所具备的性质，增强学生对图像的直观感知，突破学习难点;设计课件，运用反射功能，验证函数与函数（且）图像间的对称性。

◇运用学霸机房管理系统，借助“广播教学”、“文件分发”、“学生演示”功能，实现图像共享，提高学习效率，突破学习难点。“广播教学”功能，实现教师集中授课与学生自主学习相结合;“文件分发”功能，将教师机课件分发至学生机D盘，快速便捷，避免一一拷贝;“学生演示”功能是小组代表发言活动得以实施的关键。如果没有学霸机房管理系统，学生所绘图像只能呈现在自己的计算机上，无法实现共享，而“学生演示”功能的使用，使得全班同学能快速共享大量图像，提高了学生对研究过程的参与程度，学习效率明显提高。

● 教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》（人教A版）第二章第一节第二课《对数函数及其性质》。本节课的内容在教材中起到了承上启下的关键作用。一方面，对数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上，进行研究的第一个重要的基本初等函数。作为基本初等函数，它是继指数函数之后对高中函数概念及性质的又一次应用;另一方面，对数函数是后续学习幂函数的基础，对于研究幂函数及其他基本初等函数，在研究方法上起到示范作用。

● 学生分析

从学生的知识上看，学生已经学习了函数的定义、图像、性质，对函数的性质和图像的关系已经有了一定的认识。学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法，会用此来研究对数函数。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与理解，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，初步具备了抽象、概括的能力。通过教师启发式引导，学生能自主探究完成本节课的学习，会进行几何画板的基本操作。

● 教学目标

知识与技能目标：①通过具体实例了解对数函数模型的实际背景;②初步理解对数函数的概念、图像和性质。

过程与方法目标：①借助几何画板绘制对数函数图像，加深对定义的认识，增强对对数函数图像的直观感知;②学生观察对数函数图像，通过小组讨论，代表发言等活动，探究对数函数性质;③通过对对数函数的研究，体会数形结合、由具体到一般及类比思想。

情感态度与价值观目标：通过小组讨论、代表发言活动，培养合作交流意识。

● 教学环境与准备

多媒体网络教室、几何画板课件、学霸机房管理软件。

● 教学过程

1.创设情境

观察事例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依此类推，一个细胞分裂次后，得到的细胞个数为个，思考与的函数解析式：;指数式化对数式：，用表示自变量：。

观察事例2：一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的一半，第二次剪掉剩余绳长的一半，……剪了次后，剩余绳子的长度为米，思考与的函数解析式：;指数式化对数式：，用表示自变量：。

观察事例3：已知一个正方形的面积是1，第一次取其四分之一生成正方形，再取的四分之一生成，以此类推，求第次取后生成的正方形的面积与截取次数之间的函数解析式：;指数式化对数式：，用表示自变量：。

设计意图：课上播放PPT动画，回顾“指数函数及其性质”一节的三个观察示例：“细胞分裂”、“剪绳动画”、“截纸动画”，引出对数函数定义，同时使学生体会到对数函数与指数函数的联系。

2.探究新知

（1）归纳定义

问题1：上述观察事例中的三个函数解析式有什么共同特征？

学生思考得出，三个函数解析式，结构都是对数的形式，自变量在真数位置，定义域为。

设计意图：通过对三个实例函数解析式的分析，突出对底数取值的认识，引导学生把解析式概括为的形式，为形成对数函数定义作铺垫。

对数函数的定义：一般地，形如（且）的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域为 。

师生共同分析定义要点：①定义域为;②对数函数是形式化的定义;③且。教师引导学生将指数函数定义与对数函数定义作对比。

练习1：根据对数函数定义，判断下列函数是否为对数函数。

设计意图：通过题目判断加深学生对对数函数定义的认识和理解，为学生自主选择底数，应用几何画板绘制对数函数图像作铺垫。

（2）作图探究

问题2：我们研究函数的一般过程是什么？

教师启发学生思考：归纳定义，画出图像，观察图像，总结性质，继而进行性质应用。

设计意图：对数函数作为基本初等函数，是继指数函数后对高中函数概念及性质的再次应用，学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法，会用此来研究对数函数。

作图1：画出函数的图像。

学生独立在坐标纸上作图，教师巡视个别辅导，正投对比展示学生作圖结果，总结作图要点，规范列表、描点、连线的每一步。

设计意图：描点法作图是画函数图像的基本方法，用正投呈现学生作图结果，培养学生画图基本功。

作图2：自主选择底数绘制对数函数的图像。

教师：为了研究对数函数性质，我给同学们传送了几何画板课件“动手实践1”，在D盘，这里有两个任务，请相继完成。对于任务1，全班同学分为6组，小组中每位同学设想一个具体的对数函数解析式，小组汇总，每位同学在同一坐标系中，绘制每组所确定的对数函数的图像，之后完成任务2（如图1）。

设计意图：设计任务1，是为了加深学生对对数函数定义的认识，增强对图像的直观感知。设计任务2，是将本节课的重点以任务形式呈现，使任务1的实施更具方向性，使课堂教学更具灵活性和机动性。

每位学生自主选择底数，确定一个

对数函数解析式，小组汇总。

设计意图：学生自选底数，确定对数函数解析式，加深对对数函数定义的认识。

学生小组讨论之后，每位同学打开D盘，双击进入几何画板课件“动手实践1”，在同一坐标系中，绘制每组确定的对数函数图像。

设计意图：学生通过几何画板课件“动手实践1”，在同一坐标系中，绘制多个对数函数图像，在绘制过程中，可以更加直观地感知底数对对数函数图像的影响，能更好地观察图像特征，总结图像性质。

学生自主选择底数，绘制对数函数图像，完成“任务1”之后，思考、讨论“任务2”，各小组根据所绘制的对数函数图像，观察图像特征，总结性质，每组自荐一名代表发言。

教师适时发问、点拨，引导学生总结，师生、生生互动交流。

设计意图：应用学霸机房管理系统，“学生演示”功能，逐个呈现每组学生作图结果，快速大量共享图像，加深学生对对数函数图像特征的认识，有助于攻克教学难点，课堂效率明显提高。

小组学生发言，师生交流过程中，解决问题3、问题4和问题5。

问题3：观察图像，你认为如何对对数函数进行分类研究？

各小组学生共提出两类标准：①按图像上升和下降分两类;②按底数分两类。经教师引导，学生发现这两类标准可以统一：与图像上升统一;与图像下降统一。

问题4：你能结合屏幕上所呈现的对数函数图像，观察它们的图像特征，并总结其性质吗？

各组学生从图像位置、特殊点、图像变化趋势等方面总结图像特征，概括性质如表1。

设计意图：学生通过观察具体对数函数图像，应用数形结合思想，归纳概括性质。

问题5：函数与（且）的图像之间有什么关系？

有的小组作出和的图像，观察、猜想两个函数图像关于轴对称;有的小组作出3对对数函数图像（如图2），观察猜想图像关于轴对称，进而猜想与（且）关于轴对称。

对于学生猜想和的图像关于轴对称，教师引导学生从坐标角度理解，并用几何画板进行验证。在函数图像和函数的图像上，分别取横坐标相同的两个点，点和随之运动，观察纵坐标关系，发现纵坐标相反，点和关于轴对称，所以和的图像关于轴对称。继而，教师操作课件验证：当取定义范围内的任意值时，图像间的对称关系（如图3）。

设计意图：通过具体底数的两个对数函数图像间的关系，观察、归纳、概括一般的两个对数函数与（，且）图像间关系，体会由特殊到一般思想的应用。

各小组总结图像特征，概括函数性质之后，教师总结呈现整理结果。

问题6：我们由具体对数函数分析出它们的图像特征和所具备的性质，所有的对数函数都具备这样的性质吗？

教师操作几何画板软件，通过拖动点，改变底数的大小，得到（且）的对数函数的图像，验证底数取定义范围内所有值时，对数函数的性质。

在几何画板课件“动手实践2”中，学生自己拖动点“”，亲身体验图像随底数的变化情况，进而归纳性质（如图4）。

设计意图：通过几何画板课件的动态演示，学生更直观地观察到对数函数图像随底数的变化情况，以及为什么要把底数分为和两类，有利于学生由图像归纳性质，从而突破本节课的难点。

（3）归纳性质

學生观察图像，讨论总结性质，如下页表2。

设计意图：学生总结性质，培养学生归纳概括能力。

师生共同对学习内容进行总结：①研究函数的一般过程是：定义→图像→性质→应用。②借助图像研究性质，应用了数形结合思想;由具体对数函数入手，到一般对数函数总结性质，应用由特殊到一般思想方法;对数函数对底数分类进行研究性质，应用了分类讨论思想，类比指数函数研究对数函数，应用了类比思想。

3.例题讲解

师：刚才我们共同探究得出性质，下边看性质应用。

例1：比较下列各组中两个值的大小：①;②;③。

设计意图：通过例题使学生体会对数函数单调性应用，设计三题，使学生体会分类讨论思想。

第一题教师引导讲解，示范解答过程，第二题、第三题学生正投讲解。

设计意图：通过学生正投讲解题目做法，培养学生学习数学的信心和勇气，同时，对于出现的错误及时纠错，起到示范作用。

4.归纳总结

◇这节课你学到哪些知识？

◇这节课你体会到哪些数学思想方法？

5.分层作业

◇必做题：P73，2、3;

◇选作题：函数和的图像间有何关系？

● 教学反思

1.设计问题系列，驱动教学

问题是数学的心脏，本节课以6个问题为主线贯穿始终，以问题解决为教学线索，在教师的主导与计算机的辅助下，学生思维由问题开始，由问题深化。

2.借助信息技术突出重点、突破难点

本节课的学习重点是对数函数的概念、图像和性质;学习难点是用数形结合方法从具体到一般地探索概括对数函数性质，为突出重点、突破难点，使用了以下信息技术：

◇探究对数函数概念：课上播放“细胞分裂”、“剪绳动画”、“截纸动画”三个PPT课件，学生总结三个“观察事例”中函数解析式的共同特征，概括到的形式，从而形成概念，突出学习重点。

◇绘制对数函数图像：作图1，学生动手画图，初步感知对数函数图像，教师个别辅导，正投展示，对比分析作图结果，纠正作图错误，总结作图要点，培养学生作图基本功;作图2，设计课件，全体学生参与，自选底数绘制对数函数图像，从而加深了学生对定义的认识，增强了对图像的直观感知，突出学习重点。

◇探究对数函数性质：对数函数性质的获得，需要借助对数函数图像。设计“动手实践2”，教师运用几何画板的动态演示功能，验证底数取定义范围内所有值时，对数函数的性质，学生操作课件“动手实践2”，通过拖动点“”，改变底数的值，观察对数函数图像随底数的变化情况，学生的亲身体验，提高了对研究过程的参与程度，有效突破学习难点。

◇运用学霸机房管理系统，其“广播教学”“文件分发”“学生演示”功能，使得大量图像共享成为可能，使得学生小组代表发言活动得以实施。学霸机房管理系统的使用，提高了学生对研究过程的参与程度，使得学习效率明显提高，更为有效地突破学习难点。