几种整环之间的探讨

卢梦霞，凡美金，赵廷芳

（周口师范学院 数学与统计学院，河南 周口466001）

1 预备知识

引理1［1］设R是唯一分解整环，则R为主理想整环的充要条件对 ∀a，b∈R∃u，v使得d＝ua＋vb为a，b的最大公因子.

引理2［2］环R是整环当且仅当R［x］是整环.

引理3［2］环R是唯一分解整环，则R［x］也是唯一分解整环.

引理4［3］域R上多项式环R［x］是一个欧氏环.

定理1［2］主理想整环是唯一分解整环.

此定理逆定理不成立.即一个唯一分解整环不一定是一个主理想整环.

定理2［2］欧氏环必为主理想整环，因而是唯一分解整环.

此定理逆定理不成立.即一个主理想整环不一定是一个欧氏环.

定理3［2］凡域一定是欧氏环.

证 设F是任意一个域，故F是整环，定义φ：x→1，x∈F，x≠0，则φ是F＊到N的一个映射，其中F＊＝F－｛0｝，N是非负整数集，∀a∈F＊，∀b∈F，则

b＝ （ba－1）a＋0.故F是一个欧氏环.

2 主要结论

2.1 欧氏环、主理想整环和唯一分解整环之间的关系

定理4 设R是唯一分解整环，则下列条件等价：

1）R是主理想整环；

2）R中任一有限生成的理想是主理想；

3）对∀a，b∈R，必存在u，v∈R使d＝ua＋vb为a，b的最大公因子.

证 1）⇒2）显然.

2）⇒3）∀a，b∈R，由a，b生成的主理想记为＜d＞ ，即 ＜d＞＝＜a，b＞ ，则 ∃u，v∈R使d＝ua＋vb，且易证d是a，b的最大公因子.

3）⇒1）见引理1.

推论 设R是唯一分解整环，则下列条件等价：

1）R是主理想整环；

证 1）⇒2）显然.

2）⇒1）由分解定理知，若M为无扭的有限生成模，则必为自由模，设a，b为R中任意两个元，则Ra＋Rb的秩为1，设基元为d，则Ra＋Rb＝Rd，于是有u，v∈R使d＝ua＋vb，由定理4知R是主理想整环.

2.2 整环和整环上的多项式环

定理5 设R是一个阶大于1的整环.证明：R是域⇔R［x］是主理想整环.

证 ⇒由引理4和定理2结论显然.

⇐设R［x］是主理想整环，∀a∈R，a≠0.则 ∃f（x）∈R［x］，使 ＜f（x）＞＝＜a，x＞ ，从而

故R的每个非零元都有逆元，故R是域.

定理6 环R是唯一分解整环当且仅当R［x］是唯一分解整环.

证 ⇐ 设R［x］为唯一分解整环，则R［x］是整环，由引理2知R是整环，∀a∈R，a≠0，a不是单位，由于a∈R［x］，故a在R［x］中能唯一分解，设

a＝f1（x）f2（x）…fr（x）（fi（x）是 R［x］的素元，i＝1，2，…，r）

故∂（f1（x））＋∂（f2（x））＋…＋∂（fr（x））＝∂（a）＝0，由于R是整环，无零因子，f1（x）≠0，f2（x）≠0，…，fr（x）≠0.

于是∂（f1（x））＝∂（f2（x））＝ … ＝∂（fr（x））＝0.即fi（x）∈R从而a＝f1（x）f2（x）…fr（x）也是a在R中的唯一分解，因此，R为唯一分解整环.

⇒见引理3.

定理7 下列三个命题是等价的：

（1）R 为域.

（2）R［x］为欧氏环.

（3）R［x］为主理想整环.

证 （1）⇒ （2）由引理4可得.

（2）⇒ （3）由定理2可得.

（3）⇒（1）设R不是域，则存在R的非零非单位的元a.下证R［x］不是主理想整环：取R［x］的理想 ＜a，x＞ ，假设 ＜a，x＞ 是R［x］的一个主理想，设 ＜a，x＞＝＜p（x）＞ ，p（x）∈R［x］.由a∈＜p（x）＞，x∈＜p（x）＞ ，存在q（x），h（x）∈R［x］，使a＝q（x）p（x），x＝h（x）p（x），由a＝q（x）p（x）可得p（x）∈R.事实上，若p（x）∉R，则可设p（x）＝b0＋b1x＋…＋bnxn，n为正整数，b0，b1，…，bn∈R，bn≠0，q（x）＝c0＋c1x＋…＋cmxm，m 为非负整数，c0，c1，…，cm∈R，cm≠0.

若R不是整环，则由引理2知R［x］不是整环，R［x］更不是主理想整环；

若R是整环，则R无零因子，于是cmbn≠0，从而q（x）p（x）＝c0b0＋…＋cmbnxm＋n≠a与假设矛盾，从而p（x）∈R，记p（x）＝b∈R，则b≠0且x＝bh（x），设h（x）＝d0＋d1x＋…＋dnxn，n为非负整数，d0，d1，…，dn∈R，dn≠0，则x＝bh（x）＝bd0＋bd1x＋…＋bdnxn，比较等式两边可得bd1＝1，于是1＝bd1∈＜b＞＝＜a，x＞.从而存在d∈R使得1＝da.因此，a为R的一个单位，与a的取法矛盾.矛盾说明 ＜a，x＞ 不是R［x］的主理想，即R［x］不是主理想整环.

定理8 对于任何整环R，R［x］都不是域.

证 R［x］至少有非零元x没有逆元，事实上，假设x有逆元q（x），则xq（x）＝1，设

q（x）＝c0＋c1x＋…＋cmxm，m为非负整数，c0，c1，…，cm∈R，cm≠0，从而xq（x）＝c0x＋c1x2＋…＋cmxm＋1≠1，矛盾.矛盾说明R［x］的非零元x没有逆元，即R［x］不是域.

推论 对于任何整环R，R［x］都不是除环.

［1］喻方元.主理想整环的几个等价刻画［J］.南昌大学学报，2000，24（3）：240－241.

［2］杨子胥.近世代数［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［3］郭世乐.整环上的一元多项式环［J］.福建师范大学福清分校学报，2004（2）：3－4.