例谈数学应用问题的建模

顾燕萍

全日制义务教育《数学课程标准》（2011版）在课程目标中指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”近年来，各地中考命题围绕这一目标进行了积极的探索，贴近社会实际、贴近学生生活，体现时代需求，反映市场经济等应用问题如雨后春笋般涌现出来。

解数学应用问题的关键是对问题原始形态的分析、联想、抽象、将实际问题转化为一个数学问题，即构建数学模型。利用数学建模解数学应用题对于多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是进行素质教育的一条有效途径。数学学习不仅要重视数学基础知识、基本技能、思维能力、运算能力等方面的训练，而且要重视在应用数学分析和解决实际问题的能力方面进行训练和提高，要让学生学会提出问题，能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，从而形成比较完整的数学知识结构。

一、构建方程模型

这类问题一般要通过列方程式或方程组求解，首先要明白题意，找出已知量和未知量，并分析各量之间的关系，在此基础上寻找相等的数量关系列出方程式或方程组。必须注意，在求得方程的解之后，要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理。一要检验所求出的解是否为所列方程的解;二要检验方程是否符合应用题的题意，最终写出答案。

例1：有一个允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人.一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校.此时，若绕道而行，需要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少分钟？

解：（1）因为36+7=19>15，所以王老师应选择绕道而行去学校.

（2）设维持秩序的时间为t分钟，则

36-（t+36-3t） =6， 解得t=3

二、构建不等式模型

现实生活中普遍存在着一些量之间的不等关系，应注意相关信息的联想、发现、探索及归纳总结，能有效的考查学生的阅读能力、探索能力和建模能力，培养学生的数学思想和实际应用能力，一般当问题中出现“未超过”、“最多”、“至少”等关键词，可考虑建立不等式的数学模型解之。

例2：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

某人1月份应缴纳税款80元，求他当月工资是多少元？

如果某单位共有50人，某月缴纳税款3080元，且每人的当月的工资都在超过800元而不超过2000元之间，求当月工资不超过1300元的职工最多可能有多少？

解：（1）设他当月工资为x元则，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）

答：他当月工资为1850元.

（2）设当月工资不超过1300元的职工为y人，则当月工资超过1300元，但未超过2000元的职工为（50-y）人，根据题意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，

所以y的最大整数解是y=23

答：当月工资不超过1300元的职工最多为23人.

三、构建函数模型

现实中普遍存在最优化问题，常可归结为函数最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决，这也是近年来中考命题的一个热点，这要求我们在教学中要切实重视最值问题的探究。

例3：某校九年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系.

（1）求y与x的函数关系式;

（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？

（3）当a至少为多少时， 该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？

解：（1）设y=kx+b，∵x=4时，y=400;x=5时，y=320.

∴            解之，得

∴y与x的函数关系式为               .

该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000（元），

当y=380时，380=-80x+720， 得x=4.25，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395（元），显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少.

（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则

W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620

∴当 x=4.5时， Wmax=1620

要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，则50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算。

四、构建几何图形模型

现实生活中，航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常构建几何图形，利用几何图形的性质，用方程、不等式或三角函数知识来解答。

例4：青海玉树地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援.如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在 处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西26°方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄 在北偏西52。方向.

（1）求B处到村庄C的距离;

（2）求村庄C到该公路的距离.（结果精确到0.1km）

（参考数据：             ，            ，

，             ）

解：过C作        ，交AB于D.

（1）           ，        ，

，          ，

即B处到村庄C的距离为70km.

（2）在        中，

即村庄C到该公路的距离约为55.2km.

数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义。只要教师在教学中能根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。

总之，解答数学应用问题，应将其转化为数学语言，脱去其“应用”的神秘外衣，还其数学问题的真面目。根据实际问题的数学模型，用数学知识、思想、方法去解答，最后对数学结果进行解析，并作出准确的判断后返回到实际问题中去。