从两种不同解法谈发展学生的思维

张刘坤+安国钗

郅庭瑾先生指出：“无论使学生‘学会生存也好，‘学会关心‘学会学习也好，只有学会思维，学会创造性地思维才是最核心和最首要的.”美国教育大师杜威先生也指出：“学习就是要学会思维”，“教育在理智方面的任务是形成清醒的，细心的，透彻的思维习惯.”大师们为教育教学指明了目标与方向. 数学是思维的科学，学数学离不开训练，离不开解题. 但训练的目的和侧重点是解题的技能技巧还是解决问题的思维方法却是一个重大的原则性问题.重在训练技能技巧可能会禁锢学生的思维，而重在训练思维却会促进思维更好的发展. 本文就一个例题的两种不同解法与各位同行交流对发展学生思维的若干思考.

一、题目呈现

如图1，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式;（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在，请说明理由.

二、题目简析

本题是一个以抛物线为背景的综合题，第（1）问较简单，第（2）问由点P的运动导致点E位置及线段PE长度的变化，可建立一个新的二次函数，转化为求二次函数的最大值.第（3）问是一个动态几何问题，不但丰富了（1）（2）问中的数形结合思想，而且增加了分类讨论思想.要使以A，C，F，G四点为顶点的四边形是平行四边形，由于未说明顶点字母顺序，因此需按顶点字母顺序进行分类讨论，F，G是动点，故应抓住定点A，C进行分类，A，C两点是相邻点（即AC为边）或A，C两点是相对点（即AC为对角线）进行讨论.

三、两种解法展示

解法1：①当AC为边时，FG平行且等于AC，F，G有三种不同的位置关系.第一种（如图2），F1G1平行且等于AC，过G1，C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，易证△F1G1M≌△ACN，故G1M=CN=3，G1纵坐标为3，把y=3代入抛物线解析式中，x2-2x-3=3，解得x1=1-■，x2=1+■，即可得出点G1的横坐标为1-■（第二种G2的横坐标为1+■，如图3），由F1M=NA=3可知F1（4-■，0）（第二种F2（4+■，0））;第三种（如图4），CG3平行且等于AF3得G3（0，-3），F3（-3，0）. ② 当AC为对角线时（如图5），CG4平行且等于AF4，得F4（1，0）. 综上所述，满足条件的F点有四个，它们的坐标分别是F1（4-■，0），F2（4+■，0），F3（-3，0），F4（1，0）.

解法2：因为平行四边形的对角线互相平分，运用中点坐标公式，设F（m，0），G（x，x2-2x-3），分以下三种情况：

①当A，F是相对点时，■=■，■=■，解得x1=1+■，m1=4+■或x2=1-■，m2=4-■.

②当A，G是相对点时■=■，■=■，解得x=0（x=2时，点G与点C重合，舍去），m=-3.

③当A，C是相对点时■=■，■=■，解得x=0（x=2时，舍去），m=1.

综上所述，满足条件的F点的坐标为（4+■，0），（4-■，0），（-3，0），（1，0）.

四、分析与讨论

对于解法1，关键是先引导学生画出满足条件的图形. 当AC为边时，向上平移AC，使点A不离抛物线. 当点C平移到x轴上点F1时，点A平移到点G1位置，再可以把G1F1沿x轴向右平移. 当点G1落在抛物线上点G2位置时，点F1平移到x轴上点F2，然后沿x轴向左平移AC. 当点C平移到抛物线与 y轴交点G3（0，-3）时，点A平移到x轴上的点F3. 画出图形后，学生不难求出F3的坐标，而对于F1，F2的坐标，可抓住GF平行且等于AC，求点的坐标可转化为求线段长度. 因此过点G，C分别作x轴的垂线构造全等三角形先求出点G的坐标，然后进一步求出点F的坐标. 当AC为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，则GF必经过AC中点，由AF平行且等于CG，就可确定G与（0，-3）重合，再由AF=CG可得F4的坐标为（1，0）.该解法在数形结合思想的指引下，用变化的眼光去观察和研究图形. 在平移AC的过程中，以静制动，最终捕捉、定格出符合条件的图形，再结合图形探求解题思路.中间用到了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，而后通过列方程求出点G的坐标，再进一步求出点F的坐标. 这种解法的侧重点是在解决问题的思维方法，让学生经历问题逐步转化，获得解决思路的过程.

有的教师说，我是选择解法2进行分析，因为按照解法1很多学生图形都画不出，下面构造全等三角形就更加不会. 而解法2不用画图，只要分成三种情况，机械套用中点坐标公式（列方程时甚至可以把分母2直接去掉），答案马上出来了，方法快捷而实惠，何乐不为呢？答案是出来了，但是否少了什么？

确实，解法2是一种方法，学生掌握是件好事.但如果仅仅是为了求得问题结果而放弃解法1，那中间就缺失了太多的数学思维，而“培养思维能力、发展理性精神”是数学的育人本分.解题教学的目标不仅仅是求得问题的结果，真正的目标是提高学生分析问题，解决问题的能力，培养学生的创新精神. 这个目标的达成，必须以学生亲历解题结果的探索过程，亲历对解题的主要思路，关键因素和解题方法的挖掘和概括过程为基础.解法1对学生尽管不能立竿见影，但思想方法非常深刻，不仅需要掌握坐标与图形相互转换的知识和相关经验，还需要对其转换具有深刻的理解和很强的应用知识.解题过程中渗透的数形结合思想具有普遍意义，迁移能力强，是有思想的教学，是发展数学思维能力的教学. 而解法2最后简化为简单的方法传授，学生只会依葫芦画瓢，缺乏创新能力，结果在稍有变化的情境中，方法失灵，而出现“讲过的不一定会，没讲过的一定不会”的情况.如下题（图6），在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（-1，0），B（0，2），抛物线y=ax2+ax-2经过点C.（1）求抛物线的解析式;（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P，Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P，Q的坐标;若不存在，请说明理由.此题第（2）小题由原例题的平行四边形变成了正方形，如果学生没有从例题的解法1中获取应有的思维能力，而只“记住”了套用中点坐标公式，那么根本应付不了这变化了的问题，求不出结果也在所难免了.endprint

五、几点思考

1.亲历问题解决   暴露思维过程

数学活动归根结底是思维活动，学生的思维能力只有在数学思维活动过程中，才能得以发展.因此，在解决问题的探索过程中，教师要设置具有挑战性的问题，引导学生积极参与分析题意，启发学生寻求解题思路. 让学生用自己的语言把问题表达出来，尽量让他们暴露分析问题和解决问题的思维过程，以便于总结分析问题的方法，提高解决问题的能力.如上述例题的解答过程中，先给学生机会尝试画出符合条件的平行四边形. 学生往往会漏解，老师应抓住契机及时让学生总结. 遇见哪些情形需要分类讨论，分别怎样确定分类标准. 画出平行四边形求点的坐标时，教师不要急于给出辅助线的作法，而是先让学生思考怎样作辅助线，为什么要这样作. 不断激发学生思维的积极性，发展学生思维.在教学过程中，如果只重结果轻过程，那就会损害数学思维过程的完整性，不利于思维能力的培养，没有过程的教学是把思维的体操降格为“刺激——反应”训练. 是教学功利化在数学教学中的集中体现，为使数学教学成为“有思想的教学”，成为发展数学思维能力的舞台，就必须坚持“重结果，更重过程”的原则.

2.优化解题教学   强化思维训练

解题教学是运用数学概念，原理，寻找问题的条件，结论，将问题转化为自己熟悉的表达方式，并连接相关知识领域通道的过程. 在解题思路的获得过程中，我们需要通过学生的思维和操作活动，展现问题转化的过程，理清相关知识领域连接的通道.数学教师应寻找，抓住并利用好思维的关节点，如上述例题的教学中，为什么要分类，怎样分类，如何画出符合条件的平行四边形？如何想到作垂线？怎样求一个点的坐标等都是解决该问题的关节点.抓住和利用好这些关节点，才能训练学生思维，促进思维更好地发展.而如果只是玩解题的技能技巧，那么学生学习就会停留在机械模仿的水平上.正如杜威先生所指出：“纯粹的模仿，采用指定的步骤，机械式的练习，均可能取得最快的效果，然后，对反省思维能力的增强，却可能铸成不可挽回的错误.”

3.学会数学思考   积淀思维经验

在数学学习中，让学生愿意思考，会思考，思维真正参与其中是关键.数学学习中，善于问为什么，善于寻根究底，善于浮想联翩和联系推广，是思维真正参与到数学学习活动的重要方面.要使学生学会数学思考，首先从观察入手，善于发现问题，如例题中画出平行四边形ACF1G1后，如果有一定的思维经验，通过观察就会得到点G和点C纵坐标的绝对值相等，其次学会运用归纳和类比进行猜想，并在猜想基础上学会演绎证明，“点G和点C纵坐标的绝对值相等”可以通过作垂线构造全等三角形加以证明.“任何数学问题的解决都不是单一方法可以奏效的，常常是类比，归纳，演绎与直觉一起起作用，它们之间的关系是‘剪不断，理还乱.”因此要为学生提供对具体事例进行观察、比较、分析、归纳、概括的机会，使学生的思维深度参与到数学知识的建构和应用中来，达到对知识实质性的理解.帮助和引导学生学会数学思考，积淀思维经验，不仅是为了数学学习，更是为了学生一生的发展.日本米山国藏指出：在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益.endprint