数学教学的具体形态

文 / 陈之华（自由作家、专栏作者）范文贵（天津师范大学初等教育学院）

早在20世纪60年代，芬兰就受到西方数学教育潮流的冲击，注入了“新数学”（1960至1970年）的概念，并逐步以“回到基本面”（1968至1980年）、“解决问题能力”（1978年以后）、“运用数学能力”（1994年以后），为学生建构数学能力的主体。

芬兰人认为，数学不只是计算，数学的学习必须要与学生的身心成长、思想发展、未来生活的形塑等，都有所关联。因此，芬兰教育以强调问题的界定与培养解决问题的整体能力为主，从而培养学生的数学逻辑思考，以及相应而生的教育方式。所以，芬兰现今的数学教育基础概念就在于：

1.必须要发展学生对于所处世界与周遭环境事物的分类能力，并能学会研究、分析和寻求各类型解决方法。也就是说，教师不应该只给予学生已经编撰或思想定型化的概念与事物，必须在学习过程中，强调学生自主研习与思想的启发。

2.教师必须视学生为主动搜集、分析和知识的累积者，学生的学习应该是在修整、完成数理架构，以及建立解决问题模式的思考中，不断累积学习而达成。

3.教师必须鼓励学生运用更多思考的模式。数学必须对于所有新的观念、知识、创新、应用等，持开放态度。

4.数学学科应与其他的学科知识相互结合，并创造出不同学科间的整合和运用。建立新的数学评量方式，其中包含学习与思考的过程，让学生明了自己的学习进度。

5.数学课程必须具有足够的弹性，让新的科技与思维得以融入日后的教学模式里，法令规章也必须对日后可能运用到数学上的科技，提供相当的弹性空间。

6.数学的课程设计，必须要让学校和地方县市政府可以提供更多或进阶的学习，而且教育必须要投注在不同学生的学习能力上。

在就读七年级时，芬兰学校就要求学生购买工程用计算器，因为教学概念上认为，虽然算式与演练是学生要学习的重点，但是学生必须要学会使用适当的工具来进行运算。也就是，任何电脑与机械可以算出的答案，实在不需要耗费过多的人脑去训练与记忆。

演算能力固然重要，但芬兰却相信数学的有趣与能力建构，是让学生了解、适应、喜爱数字的各种变化，以及学会去思考各种数理上的关联性、数字背后无穷尽之趣味性的关键。

翻开芬兰的初中数学课本，学生在“正常”的上课时数里就能完成所有的学习，从不需要补习；学期期间从来没有所谓的统一标准化考题，也不会以不断的大小考和竞赛来测验学生的学习程度，更不会不断进行排名和比序。

尊重学生的个别发展，回归教学基本理念，让芬兰的数理成绩占了多年全球评比的上风。

教科书案例

芬兰Laskutaito系列小学数学教科书（以下简称“L版小学数学教科书”）是依据国家核心课程，以及回应今日数学教学的挑战所编写。L版小学数学教科书的编写集结了许多在职教师的看法，以及众多实验和研究发现的成果，其目的希望能协助学生广泛地获得数学概念的学习并且发展学生的推理能力，从数学的学习过程当中培养学生思考、推理、问题解决能力及创造力。

1.表征形式多样，素材生动丰富

L版小学数学教科书的印刷精美，从外观上即可以看到有不同颜色的页面。这些不同颜色的页面像标签一样有指示作用，教科书前面的页面是白色和黄色相间，后面的页面则是蓝色和红色。

依照编者的设计，不同的颜色可以具有不同的学习功能，白色的页面包含每单元的教学例题与练习题，黄色页面是在每个单元后面。题目的类型多样：包括开放性问题、挑战脑力、选修性练习，其目的是培养学生思考、推理、问题解决能力和创造能力。而每一册的最后会出现蓝色与红色的页面，是额外的单元练习题及家庭作业。蓝色页面放置在教科书后面，属于额外的单元练习题，其目的是让觉得开放性问题或挑战性问题太难的学生有解决另一种练习题的机会。红色页面则是家庭作业，更特别的是芬兰教科书会在比较难的数学问题旁，以一只模样可爱的小动物图案提醒学生试着挑战自己的数学能力。若是“开放性问题”属性的教学活动，通常没有标准答案，学生可以依照自己的喜好及判断依照题目指示进行回答。

L版小学数学教科书有“图画情境”、“图画配合文字情境”、“图表情境”、“拟真情境”及“文字情境”五种，变化更为多元有趣。一至六年级教材，都有很多样的表征方式，既有内容丰富、形式多样的图案和图形，又有多种符号和颜色。例如，面对计算问题的答案结果，学生将答案依题目所要给的代号或颜色来填写，让答案能以代数表征呈现，让学生在潜移默化的过程中熟悉与理解代数表征。

教科书形式图文并茂，除了用文字来表述情境内容外，还有色彩丰富的图片。这些图片不仅增加了版面的精彩，令人赏心悦目，还为学生提供了解题的重要线索。除了一般类型的教学活动之外，L版小学数学教科书还安排了不同种类与单元配合的数学游戏，例如连连看、字谜游戏、代换游戏等。

2．体现生活化、本土化、国际化

（1）生活化。L版小学数学教科书的内容与学生日常生活的所见所闻相联系。有学生日常生活中会遇到的活动，如露营营地气温，不同物品掷远比赛等问题。

（2）本土化。L版小学数学教科书的问题情境形式多样：有比较芬兰境内最粗的各树种间树围大小的问题，有介绍芬兰境内麋鹿和梅花鹿且比较两者的身长及体重的问题，有介绍芬兰著名景点芬兰堡的问题，有介绍芬兰人利用钓竿的钓鱼记录，比较各鱼种间的重量的问题。

（3）国际化。L版小学数学教科书中有芬兰邻近国家（挪威和冰岛）首都的一周气温图表问题、喜马拉雅山脉各山峰高度排序、欧洲境内各高山高度排序、新加坡夜间动物园参观路线距离、历届奥运会男女标枪获奖距离记录、世界各地大树的树围计算、芬兰与波罗的海国家及北欧各国人口数的比较。

3.重视数学知识内部的联结

在不同主题的联结方面，L版小学数学教科书将几何、数据分析、数与代数等内容进行有效联结。

该教科书已经在“数与计算”主题中融入“数据处理与统计”的“柱状图”的读写与制作。在几何部分，虽然让孩子学会几何形体分类（如图1）是教科书的目标，但分类后并不是让学生直接以填充题的方式回答点数后的答案，而是要将答案转化成统计图或统计表。且统计表不仅涉及分辨、点数再记录，还必须在分辨、点数后，依照二维统计表所要求的内容将同一类的图形，再区分出大和小的类别，才进行统计。在小数的认识介绍中，我们发现：编写者将小数与统计图表相结合，将小数知识融入柱状统计图、折线统计图之中（如图2）。

图1：几何形体的分类“同样形状的有多少种？数出同样形状的物体的数量”

L版小学数学教科书有较多的统计图表，学生有较多机会进行数据信息分析，以建构解决问题的方法。在设计“邮票”为主题的教学活动时，除了介绍邮票的相关知识外，所有的问题均与主题相关，且结合学生所学的概念及内容加以统整，以激发其学习的兴趣。因此，在学习某一主题内容时，统整其他数学主题（如统计图表）或连续性问题的编排，值得中国教科书编写者借鉴。

4.融合其他学科的内容

L版小学数学教科书将天文、地理、生物、建筑、地方文化、风俗民情等议题所蕴含的数学知识相联结。在代数“发现规律”部分教材编写者将“美术”学科知识融入数学课程中，让学生画出其图片或图形的规律性；还有将“语文”学科知识融入数学课程中，由例题给予的语文线索来进行逻辑推理，进而解决问题；也会将“自然”学科知识融入数学课程中，让学生体验大自然的变化，理解物体与影子的关系。

在“放大的比率”“缩小的比率”课程中，介绍了生活中的小昆虫、蝴蝶、鸟类等。透过教学活动并利用填表格的方法，除了学习数学的放大和缩小的比率之外，也认识到了自然界的昆虫和其实际大小。

透过课程内容的介绍，让学生理解数学与现实生活的相互联系。在数学解题过程中，学生也能够获得其他领域的知识，打破数学独立于其他学科的传统印象。学生仔细阅读教科书中这些学科内容，犹如阅读百科全书一般，这也使得数学学习更有趣了。

5.重视逻辑推理和发现规律

L版小学数学教科书相当重视培养学生的逻辑推理以及发现规律的能力，包括“图形样式推理”“文字推理”和“数字推理”等。该教科书不仅仅是让学生立即可以得到问题的答案，而是需要透过多次的逻辑思维或转化学习后才能解决问题。该部分知识内容有助于学生形成发散式思考的数学学习方式。教科书编写者设计了培养学生逻辑推理能力与观察能力的题目，以激发学生的思维潜力。如图3，芬兰一年级数学教科书设置观察与推理的例题，为学生提供发现问题情境中的线索，以获得合理的答案，颇具有挑战性。

图3：一年级教科书中设置的观察推理问题“谁是小偷？”

L版小学数学教科书很特别地提出空间感的训练，期盼学生在场景中能够从多个角度观察物体，发掘学生的视觉推理能力，进而培养学生想象物体在空间中的各角度样貌、空间情形，以理解长方体的体积公式，进而用来计算长方体的体积。如图4，L版小学数学教科书1B第8页配合奇数与偶数的概念进行游戏的教学活动，若是不照规则，猫咪将无法走出迷宫吃到鱼。

从语言身份分类角度来说，傈僳与拉祜、哈尼诸民族都属于藏缅语族，在“无文字”的神话中有相通之处，即他们的文字都是“被吃掉”的，所以没有流传下来。详细的文本载于《四川省苗族傈僳族傣族白族满族社会历史调查》之《盐边县岩门公社傈僳族调查报告》一文中：

图4：奇数与偶数的概念教学活动“沿着偶数走”

L版小学数学教科书引导学生利用符号、图像表示数学概念，揭示推理与判断中的规律性和关系性。该教科书编写者重视让学生发现题目中的各项规律性，除了“数列规律性”，还包括“数字规律性”与“图画规律性”，甚至是“大自然现象的规律”。

图5：推理能力提升图“根据事件发生顺序为图片排序”

如图5，按照事件发生的顺序给图片1和图片2编写序号。通过这种形式培养学生挖掘图形、数字、符号、口头表达的潜在信息，提升学生的有效推理能力。

6.预留发展空间，培养学生创新能力

L版小学数学教科书为学生发展预留空间，设置“Decide for yourself”等教学内容，让学生自己决定取舍。这些问题是较灵活、需推理的题目，在解决问题过程中学生可以自由发挥。此部分题目主要为促使学生动脑，培养学生在问题情境中进行观察与推理，发现其规律性或解题的思路，提供各种生活情境及没有标准答案的开放式问题，让学生能灵活思考，并运用各数学概念及技能解决问题。

L版小学数学教科书在每个单元的末尾有类似脑力激荡的拓展问题，问题设计充满挑战性，是培养学生创新能力的资源。在各册的最后一个单元都会安排该册所有单元的复习题及应用题。而“挑战脑力”的问题通常难度高且更为复杂，这样的问题常出现在智力测验或是优秀班测验中。学校成为教学的创新天堂，学校教学的目的旨在尊重学校宝贵教育遗产的同时，积累新的教育财富。

2014年12月，芬兰完成7至16岁义务教育的全国核心课程改革规划，将用未来一年半的时间，交付地方教育主管机构研究，根据这份核心课纲，自主、创意发展新课程。新课纲将在2016年秋天实施，芬兰教育委员会课纲发展主任哈乐宁（Irmeli Halinen）形容，新课纲是一种结合能力导向与主题导向的教学及学习新模式。

新课纲总目标，是培养孩子的横向能力（transversal competence）。横向能力由7种能力组成：

1．思考与学习的能力

2．文化识读、互动与表述能力

4．多元识读（multi-literacy）

5．数位能力

6．工作生活能力与创业精神

7．参与、影响，并为可持续的未来负责

这7种能力涵盖知识、技能、价值、态度，也包含能在不同情境使用这些技能的能力。更值得一提的是，新课纲的目标，还包含孩子使用这些能力时，愿意遵守伦理规范。

芬兰教育委员会指出，新课纲强调教室内的协作练习，学生可同时和几个老师一起练习。学生在学习数学、历史、艺术、音乐与其他传统科目之外，每年至少要参加一项主题式（phenomenon-based）的跨科学习，学生甚至能参与规划自己的学习进度。

从芬兰新课纲改革可以看出，芬兰教育者着眼的是，如何培养孩子的现实感、未来感与责任感，这或许正是我们在教育改革最缺乏的“三感”。

延伸文章

芬兰高中：选择性的课程体系和模块化课程内容