关于分数阶导数定义的商榷

吴 佳 施伟辰

(上海海事大学物流工程学院，中国 上海201306)

0 引言

分数阶微积分[1-3]的研究历史很久远，要上溯到17世纪。1695年，在L’Hospital在给Leibniz的著名信中提到了关于某一函数的n阶导数，当n为二分之一时，结果会是如何，从而产生了分数阶微积分。对于分数阶微积分的研究， 首先是在数学上，Euler、Laplace、Abel、Fourier、Liouvile 对分数阶微积分的研究做了一些工作。但是，第一本关于分数阶微积分理论的专著[4]直到 1974 年才出版。 随着 Caputo、Riemann、Grünwald、Hadamard、Letnikov、Hardy、Riesz、Marchaud、Littlewood、Ross等数学家或物理家对分数阶微积分的贡献，形成了现在被公认的几种分数阶导数的“定义”，其中包括 Riemann-Liouville“定义”和 Caputo“定义”[5]。

在最近几十年间，对于分数阶微积分应用的研究有了较大的发展，在科学及工程中的很多领域都有重要的应用，这些领域包括生物材料[6-7]，控制和机器人[8-9]，粘弹性动力学[10-11]，量子力学[12-13]等等。 在这些众多涉及到分数阶导数理论应用的文献中，都是直接引用上述“定义”的说法。

本文经仔细回顾R-L和Caputo的所谓“定义”，发现它们都是源自于分数阶导数（0＜α＜ 1 ）而得到的两个不同的表达式，含义相同并且互为等价。因此，我们认为，分数阶导数的定义仍然为（0＜α＜ 1 ）。 而RL和Caputo或者其他的所谓“定义”应称作R-L和Caputo等的分数阶导数的计算公式。

1 数学归纳法推导分数阶导数的计算公式

对任何自然数n有

对连续函数f（t），反复应用分部积分法可得

当 n＝2 时，有

假设 n=k-1 时式（3）成立，则

从而当时，

因此式（7）成立。

对于非正整数的正数a＞0，记[a]为不超过a的最大整数，取m＝[a]+1。令

显然，由式（8）我们知道式（9）和式（10）是等价的，他们只是表达形式不同，含义相同。 所以，分数阶导数的定义应该是（0＜α＜ 1 ），而式（9）和式（10）只是两种不同的计算表达式。把式（9）和式（10）称作“定义”并不妥当，而把它们称作计算公式更为贴切。

由此可见，或许可能还有很多其他所谓的分数阶导数的“定义”，但如果都是源自于式，他们也只是不同的计算公式，而非定义。

由于R-L和Caputo的所谓 “定义”都是是等价的源于（0＜α＜ 1 ），所以被称作“定义”并不妥当。 分数阶导数的定义是（0＜α＜ ）1 ，而R-L和Caputo的所谓“定义”应该改称为R-L和Caputo的分数阶导数的计算公式。

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