基于量子粒子群算法的判断矩阵一致性修正*

陈 强，陈长兴，牛德智，程蒙江川

（空军工程大学理学院，西安 710051）

基于量子粒子群算法的判断矩阵一致性修正*

陈 强，陈长兴，牛德智，程蒙江川

（空军工程大学理学院，西安 710051）

对层次分析法中判断矩阵一致性调整存在的问题进行了分析。把原始判断矩阵认为是理想矩阵受干扰后形成的构造偏差矩阵，在达到基本一致性阈值的前提下使偏差矩阵修改量最小，建立了判断矩阵一致性修正的非线性规划模型。针对遗传模拟退火法收敛结果陷入局部最优的问题，设计了量子粒子群算法求解非线性规划，并和文献的算法进行对比，最后给出算例结果证明该优化算法更简单有效。

判断矩阵，一致性，非线性规划，量子粒子群算法

0 引言

层次分析法［1］（Analytical Hierarchy Process,即AHP）是于20世纪70年代由美国运筹学家萨迪（T. L.saaty）提出来的一种多准则决策方法，它把一个复杂的决策问题表示成一个有序的递阶层次性结构，再把各属性问题数学化，将人为主观性判断的定性分析通过两两比较的形式构造判断矩阵转化为定量化数值，AHP以其思路条理清晰、方法结构简单、适用实用性强、系统性显著等诸多特点，目前已在工程应用、社会生活和经济管理方面得到了广泛的应用，是目前系统建模领域的重要方法和理论之一［1-4］。但是AHP在实际应用中由于专家水平观念的差异导致形成的判断矩阵往往不具备基本的一致性。目前，一致性调整的方法很多，主要有：诱导矩阵法［5］，利用原判断矩阵和通过构造的完全一致性矩阵加权求和的修正方法［6］、模式识别法［7］、向量余弦夹角法［8］等，但大多都是局部修正，没有较好地保留专家信息，偏差太大，所以都不是行之有效的方法。其中文献［9］的基本思路是将一致性调整问题转化为BP神经网络模型，通过构建完全一致性矩阵作为BP神经网络的调整方向（教师信号），运用BP神经网络算法使得原判断矩阵一致性逼近教师信号，输出结果返回专家组确认符合萨迪标度。文献［10］通过建立非线性规划，同时设定一致性阈值，运用模拟退火算法寻求最优解。

针对文献［10］提出的：①全局最优解是否存在且唯一；②求解线性规划更简单有效的算法，本文在总结和综合前人工作和研究成果基础上，笔者提出了运用量子粒子群算法优化非线性规划问题，最后给出算例证明。

1 判断矩阵一致性调整算法

1.1 基本概念与基本定理

为了论述的合理性和严密性，以下简要引述了部分相关的AHP概念,完整信息可查阅文献［2］。

定义1 若矩阵A=（aij）n×n满足：

1）非负性：aij＞0，（i，j=1，2，…n）。

2）互反性：aijaji=1，（i，j=1，2，…n）。

3）对角线元素为1：aii=1，（i=1，2，…n）。

则称A为n阶正互反判断矩阵。

定义2 A为n阶正互反判断矩阵，若以下成立aij=aikajk，（i，j，k=1，2，…n）则称矩阵A为n阶完全一致性正互反矩阵。

定理1：对于正互反矩阵A=（aij）n×n，如果施加式（1）的数学变换，则由此构造的矩阵为完全一致性矩阵。

1.2 算法模型

为了力求最大限度地忠实于原判断矩阵，尽可能地保留专家的有用信息，用最少的修改量达到最好的满意度，基于文献［10］的部分思想笔者设计如下。

2 非线性规划模型的求解

给出定理：

根据和积法的求解公式有：

若A=（aij）n×n为完全一致性矩阵，则A中任意两列的对应元素成比例（证明见文献）。

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能理论的新兴优化算法，它是通过群体中粒子间的竞争与合作过程产生的群体智能引导优化搜索［11］。PSO的本质思想是利用自身信息、个体的极值信息和全局极值3个数值信息指导粒子下一步迭代位置。量子粒子群优化算法（Quantum Delta-Potential-Well-based Particle Swarm Optimization,QDPSO）是在量子空间基于量子理论针对PSO陷入局部最优解的问题推导出来的一种优化算法，其优点是能在整个空间最大限度地搜索全局最优解，不容易陷入局部最优，克服了遗传退火法“过早收敛，收敛速度慢”等问题，极大地提高了算法的性能，在充分保留专家信息的前提下，提高了判断矩阵的一致性，达到了满意的一致性要求［12］。笔者是基于文献［10］求解非线性规划的最优解，寻求最佳的一致性调整方法。

2.1 适应度函数

2.2 约束条件的处理

非线性规划中有2个约束条件，即：

由于在PSO算法中需要对粒子赋初值，对约束条件的处理就是要使代表决策变量的粒子值位于不等式约束条件的范围内。此处决策变量βij共有（n2-n）／2个，即分别为β12，β13，…，βn-1,n，对βij所赋的粒子初值要同时满足不等式（5）中的两个不等式。由于式（5）中的第1个不等式为非线性不等式较难处理，所以采用前（n2-n）／2-1个βij在满足式（5）中第2个不等式的条件下赋初值。获得了前（n2-n）／2-1个βij的初值后，式（5）中的第1个不等式变为只含有一个未知量βn-1,n的非线性不等式，在该不等式的条件下对βn-1,n赋初值，这样就完成了所有βij的赋初值要求，且可以保证各初值满足不等式（5）。

接下来给出βij赋初值的具体实现过程。首先在满足式（5）中的第2个不等式条件下对前（n2-n）／2-1个βi赋初值，使得βij＞-αij。给定任意随机数randn，randn∈（-∞，+∞）， 则 erandn＞0， 这 样erandn-αij＞-αij，这样就可以对 βij赋初值为：βij=erandn-αij，显然βij满足αij+βij＞0的要求。

在得到前（n2-n）／2-1个βij的初值后，式（5）中第1个不等式转化为：

其中αn-1,n为已知，c为根据式（5）中第2个不等式对βij赋初值后的前

3 算例分析

为了便于比较和分析，采用文献［10］的判断矩阵A=（aij），如下所示：

文献基于遗传模拟退火法求得非线性规划得到的修改量β=（βij）（i＜j）（针对矩阵的上三角），如下所示：

修正后的判断矩阵为：

求解经过修正后的判断矩阵的权重向量为 ω=（0.316 0,0.231 1，0.337 1,0.115 8）T，CI=0.088 9；

下面采用量子粒子群算法进行优化修正：

Step1：求解矩阵的偏差矩阵

Step2：基于量子粒子群优化算法，编写MATLAB QDPSO程序求解非线性规划，运行结果β=（βij）（i＜j）（说明：为了简化计算，根据矩阵的正互反性，这里仅修改了判断矩阵的上三角）如下：

显然总修改量

远小于文献［10］偏差矩阵的修改量

Step4：经过修正后的新判断矩阵

Step5：求解经过修正后的判断矩阵的权重向量及一致性检验标准CI.

从以上算例可以分析得出采用量子粒子群优化算法总修改量小于文献［10］的算法，存在全局最优解，修改前后权重向量变化不大，最大限度地保留了专家的判断信息，而达到了满意的一致性要求，且算法简单参数设置较少，算例证明优化算法可行且较优越。

4 结束语

本文针对总修改量最小，最大限度地保留专家信息，寻求一种求解非线性规划更简单有效且存在全局最优的优化算法即量子粒子群算法，它把一致性调整转化为非线性规划模型的求解，再利用算法搜索全局最优解，结果证明比遗传模拟退火法收敛效果好，达到了全局最优，在满足一致性阈值的前提下总修改量较少，总体达到了预期。但是还是存在以下问题：

①单纯从数学角度分析考虑问题，文中出现小数点标度，与AHP方法的1～9标度不吻合，需要重新经过专家组的认可评比确认才能应用于决策；

②非线性规划设计是否合理，因为它只是寻求上三角的总修改量，是否存在更简单有效的规划使之更合理有效。

［1］Saaty T L.Decision Making with the AHP：Why is the Principal Eigenvector Necessary［J］.European Journal of Operational Research，2003，145（1）：85-91.

［2］张炳江.层次分析法及其应用实例［M］.北京：电子工业出版社，2014.

［3］孙守群，于建华，杨凡，等.一种利用神经网络改善判断矩阵一致性的方法［J］.运筹与管理，2011，20（3）：81-86.

［4］金菊良，魏一鸣，潘金锋.修正AHP中判断矩阵一致性的加速遗传算法［J］.系统工程理论与实践，2004，24（1）：63-69.

［5］李梅霞.AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法［J］.系统工程理论与实践，2000，20（2）：122-125.

［6］华中生，吴云燕，徐晓燕.一种AHP判断矩阵一致性调整的新方法［J］.系统工程与电子技术，2003，25（1）：38-41.

［7］王雪华，秦学志，杨德礼.AHP中判断矩阵一致性修正的模式识别法［J］.系统工程理论与实践，1997，17（11）：56-59.

［8］刘万里，雷治军.关于AHP判断矩阵校正方法的研究［J］.系统工程理论与实践，1997，17（6）：30-34，39.

［9］于建华，孙守群，杨凡.基于BP神经网络的AHP判断矩阵调整方法［J］.现代制造工程，2011，26（3）：13-16.

［10］王迅，董玉成，陈义华基于遗传模拟退火法的判断矩阵一致性修正［J］.系统工程学报，2006，21（1）：107-111.

［11］Kennedy J,Eberthart R.Particle Swarm Optimization［C］//In: Proc of IEEE Int Conf on Neutral Networks,Perth,Australian,1995:1942-1948.

［12］王利锋，白瑞林.求解约束优化问题的一种新方法——基于量子粒子群优化算法［J］.计算机工程与应用，2005，34（4）：124-126.

Consistency Modification of Judgment Matrix Based on Particle Swarm Optimization with Quantum Behave

CHEN Qiang，CHEN Chang-xing，NIU De-zhi，CHENGMENG Jiang-chuan
（School of Science,Air Force Engineering University,Xi’an 710051，China）

It is assumed that the inconsistency of judgment matrix is formed after its ideal matrix is disturbed.As a result，a nonlinear programming model is proposed for improving the consistency of the judgment matrix.In the model,disturbance quantity can be minimally modified and consistency threshold is also attained.Then a Quantum Delta-Potential-Well-based Particle Swarm Optimization（QDPSO）is designed to solve the nonlinear programming model.Numerical calculation examples show that the presented model is more feasible and effective compared with existing literature methods.

judgment matrix，consistency，nonlinear programming，QDPSO

TP301.6

A

1002-0640（2015）09-0124-05

2014-08-05

2014-08-27

陕西省自然科学基础研究计划基金资助项目（2014JM8344）

陈 强（1989- ），男，江西南昌人，硕士。研究方向：数据链效能评估与仿真建模。