借助模型 轻松突破

蔡青

有的数学问题，如果借助适当的数量关系模型，会使问题的分析解决变得很轻松。在人教版小学数学六年级下册教材里，当教学完圆柱、比例这两个内容后，有些练习题中偶尔会出现一种难题：蜡烛问题。因为题目涉及的是两根粗细不同的蜡烛的燃烧时间及相应的蜡烛长度的关系，所以姑且将这类问题叫做蜡烛问题。

解决这种问题着实困难。有人把这个问题看作工程问题，将蜡烛长度看作工作总量，燃烧时间看作工作时间，单位时间内蜡烛燃烧的长度看作工作效率，利用方程解决问题，但要用算术方法解决问题却很难。其实，如果看清了蜡烛问题的数学本质，借助圆柱体积这个模型，用算术方法解题就会很轻松地突破。

相同材质蜡烛的燃烧时间是由蜡烛的体积决定的。蜡烛问题通常是告诉两根蜡烛各自能够燃烧的总时间及长度关系，再告诉燃烧一段时间后的长度关系，求这段燃烧的时间。两根蜡烛同时燃烧的过程中，剩余蜡烛燃烧时间的差（即蜡烛体积差）是不变的，将这个不变的差作为单位“1”，利用分数应用题的原理，就很容易求出这个时间。下面，笔者通过几个例子来讲解这种方法。同时，以工程问题的数量关系模型探讨用方程解决的方法，仅供参考。

例1.两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，明明同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来电了，明明将两根蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问停电多少分钟？

方法一：

两根蜡烛的燃烧总时间分别为2小时、1小时，则它们的体积之比为2：1，原来同样长，则高的比为1：1，故底面积之比为（2÷1）：（1÷1）=2：1，后来高的比为2：1，则后来体积比为（2×2）：（1×1）=4：1，体积比由2：1变为4：1后，体积差没有变，通过计算粗蜡烛或细蜡烛剩下体积占体积差的分率即可计算燃烧时间为（2-1）×（[22-1]-[44-1]）×60=40（分钟）。

体积比变化 粗蜡烛 细蜡烛 粗占差 细占差

原来 2 ： 1 [22-1] [12-1]

后来 2×2 ： 1×1 [2×22×2-1×1] [1×12×2-1×1]

综合算式：（2-1）×（[22-1]-[2×22×2-1×1]）×60=40（分钟）

或：（2-1）×（[12-1]-[1×12×2-1×1]）×60=40（分钟）

方法二：

粗细蜡烛的燃烧时间分别为2小时、1小时，燃烧速度可看作每小时分别燃烧蜡烛的[12]、1，将两根蜡烛原来的长度看着单位“1”，根据剩下蜡烛长度比2：1，可看作剩下工作总量的比为2：1，即：

工作效率 × 工作时间 = 工作总量 剩下工作量

燃烧速度 × 燃烧时间 = 燃烧长度 剩下长度

粗蜡烛 [12] × X = [12]X 1-[12]X

细蜡烛 1 × X = X 1-X

解：设停电了X小时，

（1-[12]X）：（1-X）=2：1

X=[23]

停电的时间：[23]×60=40（分钟）

答：停电了40分钟。

例2.有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛长度是粗蜡烛长度的2倍，点完细蜡烛需要1小时，点完粗蜡烛需要2小时。有一次停电，将这两根蜡烛同时点燃，来电时，两只蜡烛的长度一样，那么，此次停电共停了多少时间？

方法一：

利用例1的数量关系模型直接对比得

体积比变化 粗蜡烛 细蜡烛 粗占差 细占差

原来 2 ： 1 [22-1] [12-1]

后来 2÷1 ： 1÷2 [2÷12÷1-1÷2] [1÷22÷1-1÷2]

综合算式：（2-1）×（[22-1]-[2÷12÷1-1÷2]）=[23]（小时）

或：（2-1）×（[12-1]-[1÷22÷1-1÷2]）=[23]（小时）

方法二：

利用例1数量关系模型直接对比得：

工作效率 × 工作时间 = 工作总量 剩下工作量

燃烧速度 × 燃烧时间 = 燃烧长度 剩下长度

粗蜡烛 [12] × X = [12]X 1-[12]X

细蜡烛 [21] × X = 2X 2-2X

解：设停电了X小时，

（1-[12]X）：（2-2X）=1：1

X=[23]

答：停电了[23]小时。

例3.有两根粗细相同、材质相同、长度不同的蜡烛。开始时短蜡烛长度是长蜡烛长度的[35]，将其同时点燃10分钟后，短蜡烛长度是长蜡烛长度的[25]，那么长蜡烛比短蜡烛能多燃烧多长时间？

方法一：

粗细相同，说明长度比就是总时间的比，也就是体积比，与前面例题相反，例1、例2都是告诉总时间差求燃烧时间，此题是告诉燃烧时间求两根蜡烛的燃烧总时间，根据分数应用题的原理，只需将两根蜡烛的燃烧总时间差看作单位“1”，通过长蜡烛或短蜡烛找到燃烧时间占总时间差的分率即可求得。

长蜡烛 短蜡烛 长占差 短占差

原来 5 ： 3 [55-3] [35-3]

后来 5 ： 2 [55-2] [25-2]

综合算式：10÷（[55-3]-[55-2]）=12 （分钟）

或：10÷（[35-3]-[25-2]）=12 （分钟）

方法二：

此题并不知道两根蜡烛的燃烧总时间，也就不知道燃烧速度，因此不能借助工程问题的模型，但可利用比例知识来解决。

解：设两根蜡烛原来的燃烧时间分别为3X分钟、5X分钟，endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃烧的时间：5×6-3×6=12（分钟）

答：长蜡烛比短蜡烛能多燃烧12分钟。

例4.两只蜡烛长度不同，粗细也不同，长蜡烛能燃烧7小时，短蜡烛能燃烧10小时，现在同时点燃4小时后，两支蜡烛的长度相同，那么原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几？

方法一：

要求原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几，实际就是要求短蜡烛的高占长蜡烛的高的几分之几，这就需要分别算出两根蜡烛的高，再相除即可。

后来 底面积 × 高 = 体积

长蜡烛 （7-4） × 1 = 7-4

短蜡烛 （10-4） × 1 = 10-4

原来 底面积 × 高 = 体积

长蜡烛 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蜡烛 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

综合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

设短蜡烛长度为A，长蜡烛长度为B，则短蜡烛每小时燃烧[A10]，长蜡烛每小时燃烧[B7]，同时点燃4小时后，短蜡烛剩余[6A10]，长蜡烛剩余[3B7]，由剩余长度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃烧速度 × 燃烧时间 = 燃烧长度 剩下长度

短蜡烛 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

长蜡烛 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：设短蜡烛长度为A，长蜡烛长度为B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原来短烛长度是原来长烛长度的[57]。

通过以上几个例题，不难发现，借助圆柱体积公式这个数量关系模型及分数应用题原理，我们能够轻松地突破蜡烛问题算术解法的难点，借助工程问题数量关系模型及比例知识我们能够轻松地使用方程进行解答。面对问题，我们往往可以借助已经认识的数量关系模型及配套的原理、知识轻松突破难点。

责任编辑 林云志endprint

（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃烧的时间：5×6-3×6=12（分钟）

答：长蜡烛比短蜡烛能多燃烧12分钟。

例4.两只蜡烛长度不同，粗细也不同，长蜡烛能燃烧7小时，短蜡烛能燃烧10小时，现在同时点燃4小时后，两支蜡烛的长度相同，那么原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几？

方法一：

要求原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几，实际就是要求短蜡烛的高占长蜡烛的高的几分之几，这就需要分别算出两根蜡烛的高，再相除即可。

后来 底面积 × 高 = 体积

长蜡烛 （7-4） × 1 = 7-4

短蜡烛 （10-4） × 1 = 10-4

原来 底面积 × 高 = 体积

长蜡烛 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蜡烛 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

综合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

设短蜡烛长度为A，长蜡烛长度为B，则短蜡烛每小时燃烧[A10]，长蜡烛每小时燃烧[B7]，同时点燃4小时后，短蜡烛剩余[6A10]，长蜡烛剩余[3B7]，由剩余长度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃烧速度 × 燃烧时间 = 燃烧长度 剩下长度

短蜡烛 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

长蜡烛 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：设短蜡烛长度为A，长蜡烛长度为B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原来短烛长度是原来长烛长度的[57]。

通过以上几个例题，不难发现，借助圆柱体积公式这个数量关系模型及分数应用题原理，我们能够轻松地突破蜡烛问题算术解法的难点，借助工程问题数量关系模型及比例知识我们能够轻松地使用方程进行解答。面对问题，我们往往可以借助已经认识的数量关系模型及配套的原理、知识轻松突破难点。

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（3X-10）：（5X-10）=2：5

X=6

多燃烧的时间：5×6-3×6=12（分钟）

答：长蜡烛比短蜡烛能多燃烧12分钟。

例4.两只蜡烛长度不同，粗细也不同，长蜡烛能燃烧7小时，短蜡烛能燃烧10小时，现在同时点燃4小时后，两支蜡烛的长度相同，那么原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几？

方法一：

要求原来短烛长度是原来长烛长度的几分之几，实际就是要求短蜡烛的高占长蜡烛的高的几分之几，这就需要分别算出两根蜡烛的高，再相除即可。

后来 底面积 × 高 = 体积

长蜡烛 （7-4） × 1 = 7-4

短蜡烛 （10-4） × 1 = 10-4

原来 底面积 × 高 = 体积

长蜡烛 （7-4） × [ 7÷（7-4）] = 7

短蜡烛 （10-4） × [10÷（10-4）] = 10

综合算式：[10÷（10-4）]÷[ 7÷（7-4）]=[57]

方法二：

设短蜡烛长度为A，长蜡烛长度为B，则短蜡烛每小时燃烧[A10]，长蜡烛每小时燃烧[B7]，同时点燃4小时后，短蜡烛剩余[6A10]，长蜡烛剩余[3B7]，由剩余长度相等，得[6A10]=[3B7]，即[AB]=[57]

燃烧速度 × 燃烧时间 = 燃烧长度 剩下长度

短蜡烛 [A10] × 4 = [4A10] A-[4A10]=[6A10]

长蜡烛 [B7] × 4 = [4B7] B-[4B7]=[3B7]

解：设短蜡烛长度为A，长蜡烛长度为B，

A-[4A10]=B-[4B7]

[6A10]=[3B7]

[AB]=[57]

答：原来短烛长度是原来长烛长度的[57]。

通过以上几个例题，不难发现，借助圆柱体积公式这个数量关系模型及分数应用题原理，我们能够轻松地突破蜡烛问题算术解法的难点，借助工程问题数量关系模型及比例知识我们能够轻松地使用方程进行解答。面对问题，我们往往可以借助已经认识的数量关系模型及配套的原理、知识轻松突破难点。

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