基于进化动力学的企业创新模型研究

○班晓倩

（贵州财经大学数学与统计学院 贵州 贵阳 550025）

基于进化动力学的企业创新模型研究

○班晓倩

（贵州财经大学数学与统计学院 贵州 贵阳 550025）

本文建立于进化动力学理论基础之上，引入创新系数和滞后系数，分别讨论了企业晋级模型和企业晋级—降级模型，运用微分方程稳定性理论分析了其稳定性，并进行了数值仿真。结果表明，模型有效模拟了企业创新的动态演化过程。

企业竞争 晋级模型 晋级—降级模型

一、引言

近年来，许多学者尝试利用生态系统中的种群间竞争分析经济系统中的企业竞争，得到了良好的结论。几乎所有这方面的论文都是利用生物数学中经典的 Lotka-Volterra方程对企业行为进行分析，这些研究是富有成效的，但是既然企业间的竞争和合作都是动态的，那么从生物进化动力学的角度分析企业间竞争和合作将是非常贴合实际的。因此，下面我们尝试利用进化动力学的思想方法，构造企业创新动态演化发展模型，并对模型进行分析。希望我们的工作对于当前的研究有所补充。

假设A，B为某一种群的两个亚种，考虑到生态系统中总是存在最大容量，因此下面我们假设两个亚种总的数量保持不变。X1，X2为这两个亚种在某时刻的相对多度（即比例），那么必然有X1+X2=1。根据进化动力学理论，建立如下的选择动力学方程：

其中，a，b为两个亚种的适合度（即繁殖率），φ=aX1+bX2为两个亚种的平均适合度。显然A，B两个亚种的适合度决定了它们的未来：如果某亚种的适合度超出平均适合度，则该亚种的相对多度将持续增加，换句话说，另外一个亚种可能面临被淘汰的命运；当满足一定的条件时，两个亚种也可能实现某种形式的稳定共存。

企业在面对激烈的市场竞争时，如果没有周期性的有计划的创新决策，就很难创造企业新的核心能力，就会使企业在激烈的市场竞争中处于被动的局面，就会使企业内部失去生存与发展的动力。但是，由于创新需要冲破原有的企业结构和思想观念，需要追加高额的风险投资成本，因而许多企业会因为惰性而不愿意进行创新。于是，我们可以将市场上生产同一产品的企业视为同一种群的两个亚种，其中的一个亚种属于技术创新型企业，另一个亚种属于落后淘汰型企业。基于以上讨论，可以利用进化动力学对企业间的动态发展进行分析，从而可以建立如下企业创新动态演化模型。

二、模型和分析

1、晋级模型

假设在某一市场上生产同一产品的企业分为两类：一类为技术创新型企业，另一类为落后淘汰型的企业。考虑到技术革新性企业往往污染小、社会效益好，所以往往能够得到国家政策的支持；而那些落后淘汰型企业往往因为环境污染大、社会效益差，属于国家要求停产关闭的对象，因此要保持生存，必然要求它们不断改进生产工艺，于是有一部分落后淘汰型企业会向技术创新型企业转变。考虑到市场存在最大的饱和量，因此我们总假设市场上生产该产品的企业数量保持不变，基于以上的考虑，我们得到如下的模型：

其中，X1为技术创新型企业的相对多度（即比例），X2为落后淘汰型企业的相对多度，且满足X1+X2=1；φ为两类企业的平均适合度，φ=aX1+bX2；a为技术创新型企业的适合度，b为落后淘汰型企业的适合度，因为落后淘汰型企业的所需成本低，更易扩张，因此我们假设a＜b；假设μ为落后淘汰型企业向技术创新型企业转变的系数，且称0＜μ＜1为创新系数。如果我们将淘汰落后型企业转变为技术创新型企业称作“晋级”，那么我们称系统（2）为企业晋级模型。

下面利用微分方程定性理论，求解系统（2）的平衡点。由φ=aX1+bX2及X1+X2=1，容易得到φ=aX1+bX2=b+（a-b）X1，将其代入系统（2），并令

2、晋级—降级模型

晋级模型（2）刻画了落后淘汰型企业和技术创新型企业的动态竞争过程，但是此处暗含了技术创新型企业一直保持良好的技术创新状态。然而，从较长的周期来看，两类企业的状态应当是相对的、动态的。事实上，许多企业在企业生命周期的成熟期，整个企业处于惰性状态，缺少创新所需的内部条件，因此技术创新型企业也同样可能会转变成落后淘汰型企业。在实际观察中，我们也不乏这样的案例。所以，在建立模型时需要考虑这一因素，即我们需要考虑技术创新型企业和落后淘汰型企业相互转变的可能性。仿照之前的分析，我们称技术创新型企业转变为落后淘汰型企业的过程称为“降级”。

显然，技术创新型企业相对多度的变化率就应当等于落后淘汰型企业的晋级率减去技术创新型企业的降级率。因此，在对晋级模型（2）进行修正后，我们得到了如下的企业晋级—降级模型：

其中，μ1为技术创新型企业向落后淘汰型企业转变的系数，称0＜μ1＜1为落后系数；μ2为落后淘汰型企业向技术创新型企业转变的系数，即创新系数且满足0＜μ2＜1。其余变量和参数的意义均与系统（2）保持一致。

同样利用微分方程定性理论，求解系统（4）的平衡点。令

图1 μ=0．2时，——X1（t）的曲线，— —X2（t）的曲线

图2 μ=0．4时，——X1（t）的曲线，— —X2（t）的曲线

由φ=aX1+bX2及X1+X2=1，得到φ=aX1+bX2=b+（a-b）X1，代入方程（5），得（b-a）X21+（a-b-μ1a-μ2b）X1+μ2b=0，解得

对于企业晋级—降级模型（4），显然有

这说明X*1是稳定正平衡点。此时

于是我们得到如下的结论。

定理2说明，无论两类企业在初始状态下的相对多度是多少，最终两类企业的相对多度X1和X2一定会达到稳定的状态，即两类企业的比例保持稳定不变。

三、数值仿真与分析

1、例1

对于晋级模型（2），考虑X1（0）=0.3，X2（0）=0.7，a=0.2，b=0.3，可得到如下系统：

其中φ=0.2X1+0.3X2。然后在分别取μ=0.2和μ=0.4，得到数值仿真图1和图2。

2、例2

对于晋级—降级模型（4），考虑X1（0）=0.3，X2（0）=0. 7，a=0.2，b=0.3，μ1=0.1，μ2=0.25，可得到如下系统：其中φ=0.2X1+0.3X2，得到数值仿真图3。

图3 μ1=0．1，μ2=0．25时，——X1（t）的曲线，— —X2（t）的曲线

从图3可以看出，X1（t）和X2（t）最终都趋于稳定平衡解。这意味着，随着时间的推移，技术创新型企业和落后淘汰型企业的比例最终将趋于稳定。

四、讨论

（注：基金项目：2014年度贵州财经大学教学质量与教学改革项目。）

[1]袁桂秋：企业投资活动中模仿学习行为的经济学解释[J]．生物数学学报，2009，24（1）．

[2]姚奕：基于生态竞争方程的企业竞争动态演化研究[J]．经济数学，2011，28（2）．

[3]贾庆菊、冯文俊、杨建中：企业受金融危机影响的数学模型[J]．数学的实践与认识，2011，18（9）．

[4]周浩：企业集群的共生模型及稳定性分析[J]．系统工程，2003，21（4）．

[5]陈金波：企业竞争的进化博弈论与种群生态学模型[J]．数学的实践与认识，2009，39（1）．

[6]张睿、钱省三、高臻：基于生态学理论的企业竞争模型[J]．系统工程，2008，26（2）．

[7]Martin A．Nowak．：Evolutionary dynamics，exploring the equations of life[M]．Harvard University Press，London，2006．

[8]Christine Taylor，et al．：Evolutionary game dynamics in finite populations[J]．Bulletin of Mathematical Biology，2004（66）．

（责任编辑：胡婉君）