变尺度法进行管网状态模拟的精度分析

张 卉，黄廷林，徐金兰

（西安建筑科技大学 环境与市政工程学院，陕西 西安710055）

供水管网的状态模拟就是利用数学模型及其优化方法，推求各状态参数最佳估计值的过程［1-4］.采用的数学模型通常是改进的带权重最小二乘数学模型，其解法包括Marquardt法和变尺度法.由于Marquardt法具有全局搜索能力欠佳、易陷入局部最优解等缺陷，因此，变尺度法的求解更为有效［5-7］.本文针对变尺度法的求解过程，从管网规模、测点数量和节点流量伪测量值的选取等方面，分析其对模拟精度的影响，并提出合理的解决方案.

1 状态模拟模型及其求解

1.1 目标函数

采用改进的带权重最小二乘数学模型进行管网运行状态的模拟，其目标函数为［8］：

式中NH为测压点数；NQ为测流管数；JD为节点总数；H0i为实测节点水压；q0i为实测管段流量；Hi为节点水压估计值；qi为管段流量估计值；w1（i）为节点水压参数权重；w2（i）为管段流量参数权重；H0为参照水压；Qd为管网总用水量；Qm为节点流量估计值；Q0m为节点流量伪测量值；w3（m）为节点流量伪测量参数权重.

1.2 变尺度法的求解过程

首先，利用式（2）将管网中的某一个节点流量表示成另外JD-1个节点流量的函数.为了表达方便，设该节点编号为JD，相互之间的关系如下式所示：

而编号为JD的节点流量，则可由式（3）计算得出.

得到了所有的节点流量Q之后，即可通过平差计算求出节点水压H和管段流量q，从而了解管网的运行全貌.

2 精度分析

在描述供水管网运行状态的水力参数中，节点水压是一个重要指标，且节点水压估计值与真值之间总存在一定的误差，这种误差对管网运行管理及优化调度起关键作用.因此，采用各节点水压误差的平方和或方均根，来表示这种误差，以衡量状态模拟结果的准确性［10］，即

式中σ2为所有节点水压误差平方和；β为所有节点水压误差方均根；Hi为i节点水压真值；H＊i为i节点水压估计值；其余符号意义同前.

为了验证变尺度法在管网状态模拟中的应用，分别从以下几方面对模拟结果进行分析与比较：

（1）迭代终止准则 由于目标函数（1）中含有3类不同的变量，且引入了H0、参数权重和节点流量伪测量值等参数，因此目标函数值的意义已不是一般的工程概念，很难确定统一的终止准则.而测压点水压误差平方和与目标函数值具有很好的一致性且意义明确，可作为状态模拟计算的终止准则.其表达式为

式中m为系数；H0i为i节点水压测量值为i节点水压估计值；其余符号意义同前.

利用变尺度法对不同规模、不同数量测点的管网进行状态模拟，结果表明，当m值达到0.1左右时，误差趋于稳定，因此将其作为终止准则.

（2）管网规模的影响 一个城市的供水管网规模，可以通过其节点数、管段数、环数、供水范围以及变化工况等方面来体现.管网规模越大，其构成元素就越多，所以它的复杂性也会越高，从而在一定程度上对状态模拟的精度与迭代过程产生影响.

为了分析管网规模对状态模拟结果所造成的影响，分别选取小、中、大型三个管网进行仿真计算，其中，小型管网包含23个节点、35个管道和13个环，中型管网包含55个节点、94个管段和40个环，大型管网包含167个节点、281个管段和115个环.三个管网的拓扑结构如图1～3所示.

图1 某小型管网结构图Fig.1 Structure of a small-scale network

图2 某中型管网结构图 Fig.2 Structure of a medium-scale network

3种不同规模的城市供水管网的模拟计算结果如图4所示.由图4可以看出，无论对小型管网，还是大中型管网，节点水压误差方均根都呈现逐渐降低的趋势，且整个迭代计算的过程都可以分成2部分，即直线下降区（5步以内）和阶梯下降区（5步以后）.在直线下降区，节点水压误差方均根迅速减小，一般在5步后就可减小50%以上；而在阶梯下降区，节点水压误差方均根则下降缓慢.此外，随着管网规模的增大，模拟计算的迭代次数在不断提高，相同迭代次数下的模拟精度有所降低.

（3）测点数量的影响 供水管网的测点包括测压点和测流管.显然，测点数量越多、位置越恰当，状态模拟的精度就越高，误差越小，但增加测点数量会增加管网投资和运行费用.因此，合理确定测点数量，科学选择测点位置是保证状态模拟精度、降低投资和运行费用的关键.为了明确测点的数量，假定测压点和测流管均为最优布置.

图3 某大型管网结构图Fig.3 Structure of a large-scale network

分别进行不同测压点数和测流管数情况下的状态模拟，模拟精度与测压点数、测流管数的关系.如图5～6所示.

由图5可以看出，测压点的数量越多，状态模拟的精度就越高，误差越小，这一点与理论相一致.在图2中，测压点数存在一个阈值，当测压点数小于该阈值时，模拟精度变化较大，而当超过该值时，模拟精度趋于稳定.此阈值近似为：大型管网测压点数为节点总数的1／9～1／8，中小型管网测压点数为节点总数的1／6～1／5.

由图6可以看出，测流管数量与模拟精度的关系并不明显，但是整体上仍然是随着测流管数量的增多，状态模拟的精度逐渐提高.当测流管数小于最小覆盖集所确定的数量时［11］，状态模拟精度较低；而当超过这一数值时，模拟精度均得到了提高.因此，在保证模拟精度的前提下，选择最小覆盖集所确定的管段作为测流管，能够使管网总体费用达到最省.

（4）节点流量伪测量值选取的影响 尽管自变量的非负约束和一定数量的监测数据会大幅度缩小目标函数可能解的范围，但不同的节点流量伪测量值会使最终的解不同，也影响着求解的过程.随机生成不同的节点流量伪测量值，并在此基础上对管网进行状态模拟，模拟精度与伪测量值的关系如图7所示.其中，节点流量伪测量值与真值之间的差别，用节点流量误差方均根来衡量，其定义为

式中δ为节点流量误差方均根为节点流量真值；其余符号意义同前.

由图7可以看出，管网的状态模拟精度随伪测量值误差方均根的增大而降低，也就是说节点流量伪测量值越偏离真值，模拟精度就越低.其中，大中型管网所受的影响较大，而小型管网的模拟精度基本保持稳定.在图中，各管网的节点水压误差方均根均能降到0.8m以下，其精度能够满足管网模拟的要求.因此，实际应用时，若缺乏相关资料而无法估计出节点流量的伪测量值时，可采用计算机随机生成的方法，模拟管网的运行状态.

3 结 论

利用变尺度法模拟供水管网的运行状态，并对其计算精度进行了分析：

（1）提出了迭代计算的终止准则；

（2）随着管网规模的增大，状态模拟的迭代次数不断提高，相同迭代次数下，其精度有所降低；

（3）测点数量越多，状态模拟的精度就越高，同时提出了满足精度要求的合理测点数量；

（4）模拟精度随伪测量值误差方均根的增大而降低，但基本满足管网模拟的要求，因此，实际应用时可采用计算机随机生成伪测量值的方法，获取管网的运行状态.

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