数学思想方法在“图形世界”中的渗透

汪丽萍

数学学习有两条线：一条是明线，即数学知识的学习；一条是暗线，即数学思想方法的学习. 而数学思想方法是数学的精髓，是我们形成良好认知结构的纽带，是知识转化为能力的桥梁. 数学思想在“走进图形世界”这章也有所渗透，下面让我们一起来感受一下.

一、 分类思想

分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法.

例1 将图1所示的几何体进行分类，并说明理由.

【分析】 几何体的分类不是唯一的，我们首先观察各个几何体，努力发现其共同点，然后可根据其共同点进行适当的分类. 若按柱体、锥体、球体分：①③④⑤是柱体；②⑦⑧为锥体；⑥是球体. 若按几何体表面有无曲面分：①②④⑤⑧都是平面围成的几何体；③⑥⑦都是带曲面的几何体；若按有没有顶点分：①②④⑤⑦⑧都是有顶点的几何体；③⑥是无顶点的几何体.

【点评】 分类的原则是“不重不漏”. “不重”也就是说同一个几何体不能隶属于统一分类标准下并列的两个种类，“不漏”就是说题中所列举的所有图形都要能属于某个种类.

二、 转化思想

所谓“转化”就是将要解决的问题归结为另一个较易问题或已经解决的问题. 常见的转化有：未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面转化，多元向一元转化等，都是转化思想的体现.

例2 已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上. 一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到点P时所爬过的最短路线的痕迹如图2所示. 若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）.

【分析】 蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误；又因为蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合.

【点评】 解决路线最短问题，应转化为“在同一平面内，两点之间线段最短”，也就是将原来的曲面或多面体表面展开成一个平面，然后连接需求最短路线的两点.

三、 数形结合思想

数形结合思想是一种通过数的抽象严谨、形的直观表意之间的相互转化来研究和解决问题的数学思想.

例3 在一个正方形的纸板内有若干个点（称为内点），用这些内点和正方形的4个顶点为三角形的顶点，能画出多少个不重叠的三角形？如图3中分别画出了正方形内有一个内点、两个内点、三个内点的情形.

（1） 根据上图，完成下表.

（2） 正方形内有100个内点，能画出多少个不重叠的三角形？

【分析】 （1） 有1个点时，内部分割成4个三角形；有2个点时，内部分割成4+2=6（个）三角形；那么有3个点时，内部分割成4+2×2=8（个）三角形；有4个点时，内部分割成4+2×3=10（个）三角形；有n个点时，内部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）（个）三角形；（2） 求出n=100时，2n+2的值即可解答问题.

【点评】 解决此类探究性问题，一方面观察图形，根据图形的形成过程探究规律，另一方面分析已知数据，根据数量特征探究规律，将数与形有效结合起来，寻找它们之间的联系，从而解决问题.

四、 类比归纳思想

归纳也叫做归纳推理，是从个别或特殊的事物所作的判断扩大为同类一般事物判断的一种推理. 类比就是相似，换言之，类比就是类似比较.

例4 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式. 请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1） 根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

（2） 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______.

（3） 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.

【分析】 第（1）题只要数一数即可；第（2）题利用表格中的数据类比归纳得出E=V+F-2；第（3）题要注意每个顶点引出3条棱，但每条棱都计算了两次，所以棱数实际只有36条.然后根据前面关系式求出面数即可.

【点评】 在“走进图形世界”这一章中，用类比归纳的思想去研究图形中的数量关系的问题有很多，希望同学们能仔细品味，领悟其真谛！

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）