巧用线段图解决行程问题

刘佳

数学解题策略有很多种，其中画线段图是最基本的一种. 行程问题类型较多，有的问题文字叙述比较抽象，数量关系比较复杂，解决起来有些困难. 利用线段图可以将一些抽象的数学问题具体化，把一些复杂的问题简单化，帮助我们找到问题中的数量关系.

一、 相遇、追及类问题

【例1】 甲、乙两站相距480 km，一列慢车从甲站开出，每小时行90 km，一列快车从乙站开出，每小时行140 km.

（1） 慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？

【解析】 设快车开出x小时后两车相遇. 根据题意画出线段图：

从图中可以看出，本题的等量关系为：慢车1小时的路程+慢车x小时的路程+快车x小时的路程=480 km.

用方程表示为：90+90x+140x=480，解得：x=.

（2） 两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600 km？

【解析】 设x小时后两车相距600 km.

根据题意画出线段图：

从图中可以看出，本题的等量关系为：快车行驶路程+慢车行驶路程+480 km=600 km，用方程表示为：90x+140x+480=600，解得x=.

（3） 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 km？

【解析】 设x小时后快车与慢车相距600 km.

根据题意画出线段图：

从图中可以看出，本题的等量关系为：快车行驶路程+480 km=慢车行驶路程+600 km，用方程表示为：140x+480=90x+600，解得x=.

（4） 慢车开出l小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

【解析】 设快车开出后x小时追上慢车.根据题意画出线段图：

从图中可以看出，本题的等量关系为：慢车1小时的路程+慢车x小时的路程+480 km=快车x小时行驶的路程，用方程表示为：90+90x+480=140x，解得x=.

【说明】 由这道题我们可以看出，在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言——线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰. 我们只要设出未知数，并把线段图表达的意义用代数式表示出来，便可得到方程.

二、 利用线段图帮助分析，间接找到解决问题的方案

【例2】 从甲地到乙地的路程有一段平路和一段上坡路. 如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡每小时行10 km，下坡每小时行18 km，那么从甲地到乙地需29 min，从乙地到甲地需要25 min，从甲地到乙地的路程是多少？

【解析】 首先根据题中的描述画出线段图：

由线段图我们可以看出，往返过程中上坡路程等于下坡路程，而平路路程是相同的，且平路的行驶速度不变，故往返过程中在平路所花时间相同，由此可知，往返的时间差主要是上坡路和下坡路的时间差，即：上坡所花时间-下坡所花时间=29 min-25 min.

设上坡路为x km.

-=-，解得：x=.

甲地到乙地的路程为：

15×

-+=6.5（km）.

【说明】 本题虽不能直接由线段图找到等量关系，但是线段图却可以帮助我们找到问题中隐含的数量关系，从而挖掘出解决问题的等量关系.

三、 利用线段图解决环形跑道问题

【例3】 一条环形跑道长400 m，小虎每分钟跑450 m，小兵每分钟跑250 m.

（1） 两人同时同地背向起跑，多少分钟后他们首次相遇？

【解析】本题是环形跑道，虽不是直线，但是我们可以将跑道拉直，转化成线段图，如图：

设x分钟后他们首次相遇.

由图可得：450x+250x=400，解得：x=.

（2） 两人同时同地同向起跑，多少分钟后他们首次相遇？

设x分钟后他们首次相遇.

由图可得：250x+400=450x，解得：x=2.

【总结】掌握一种解题方法比做一百道题更重要，实践证明，利用线段图具有直观性、形象性、实用性，对于解答应用题有很大帮助. 希望同学们能养成画线段图的好习惯，体会线段图的优点，找到解题的乐趣.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）